2018-2019學(xué)年浙江省寧波市九校高二第一學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2018-2019學(xué)年浙江省寧波市九校高二第一學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題、單選題221 ,橢圓25 16 的短軸長為（）A. 8 B. 10 C. 5D. 4【答案】A【解析】利用橢圓的方程，直接求解即可.【詳解】22x y += 1解：橢圓25 16,可知焦點(diǎn)在x軸上，b = 4,22X y + = 1所以橢圓25 16的短軸長為8.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足= 2 + 其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)*對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】解：

2、由（1 + i） 2?z= 2+i,得 2iz=2+i,2 + i (2 + i|( - i) 1復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（之，-1）,位于第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.3 .已知巾，n是兩條不同的直線， °是兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（）A 若 m_L a nip a IIP 則 m|lnB 若 mil 口 mil B 則 口1邛C 若 m|R 則口 |IBD.若平面口內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面B的距離相等，則戊"0【答案】A【解析】 在A中，由線面垂直的性質(zhì)定理得m/n；在B中，a與3相交或平行；

3、在 C中，3；在D中，“與3相交或平行.【詳解】解：由m, n是兩條不同的直線， a, 3是兩個(gè)不同的平面，知：在A中，若m± a, n± 3, a/ &則由線面垂直的性質(zhì)定理得 m/n,故A正確；在B中，若m / a, m / 3,則a與3相交或平行，故 B錯(cuò)誤；在C中，若m, a, m/ 3,則3故C錯(cuò)誤；在D中，若平面a內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面 3的距離相等，則 a與3相交或平行，故D錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是中檔題.4 .有下列四個(gè)命題：“相似三角形周長相等”的否命題；

4、“若K>v,則Q M ”的逆命題；2“若"I則K的否命題；“若bM。,則方程-2似+ 1 + 1：> =。有實(shí)根”的逆否命題；其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)【答案】C【解析】 寫出命題的逆命題可判斷 ；寫出逆命題，可判斷 ；寫出命題的否命題， 可判斷；由判別式法可判斷原命題的真假，進(jìn)而判斷.【詳解】解：“相似三角形周長相等”的逆命題為“周長相等的三角形相似”不正確，根據(jù)逆否命題同真同假，可得其否命題不正確；"若x>y,則x>|y|"的逆命題為"若 x>|y|,則x>y”正確；“若x=1,

5、則x2+x- 2=0”的否命題為“若 xwl,則x2+x-2W0”不正確；“若 b<0,則方程 x22bx+b2+b=0 有實(shí)根”由4= 4b2- 4 （b2+b） = - 4b>0,可 得原命題正確，其逆否命題也正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查簡易邏輯的知識，主要是四種命題的真假和相互關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5 .已知E, "ER則而丈。且Q0”是拋物線m + nv = D的焦點(diǎn)在丫軸非負(fù)半軸上，的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，建立不等式關(guān)系進(jìn)行判斷即

6、可.【詳解】解：拋物線mx2+ny= 0的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 my=4 （ 4m ） y,對應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4?。?若焦點(diǎn)在y軸非負(fù)半軸上，則 4m 0,即mno,則 m<0 且 n>0 或 n<0 且 m>0,則“mv 0且n> 0”是“拋物線 mx2+ny=0的焦點(diǎn)在y軸非負(fù)半軸上”的充分不必要條 件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.6 .下列命題正確的是（）A.相卜由（怕*b|是向量，b不共線的充要條件B.在空間四邊形 “BCD 中，AB CD + BC -AD

7、+ CA BD = O ,1 AB BC = C.在棱長為1的正四面體ABC。中，2-1 -2 -OP = -0A + -OB + 0CD.設(shè)A, B, C三點(diǎn)不共線，。為平面ABC外一點(diǎn)，若33 ，則P,A,B,C四點(diǎn)共面【答案】B【解析】由向量共線和充分必要條件的定義可判斷A；由向量的加減和數(shù)量積的定義可判斷B；由向量數(shù)量積的定義計(jì)算可判斷C;由四點(diǎn)共面的條件可判斷D.【詳解】解：由戶|-肉|白+ %,向量D，b可能共線，比如共線向量 己，b的模分別是2 3,故A不正確；在空間四邊形 ABCD 中,* , CD + BC AD + CA BD=（AC + C巴）？CD-匚Z?AD-A匚？E

8、D = AC?->->-> TT TTTT（OB。） +C2?（CD-AD）= AC?CH + C 巴？CA= 0,故 b 正確1 今今=-在棱長為1的正四面體 ABCD中，AB-BC= i x ix cosi20。2,故c錯(cuò)誤；-1今 2T 今OP = -OA + -OB + 0C設(shè)A, B, C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若 3 M , 1 2 十 +由3 3 1=21,可得P, A, B, C四點(diǎn)不共面，故 D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線和向量數(shù)量積的定義、以及四點(diǎn)共面的條件， 考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題. 2222x yx y= Hapbj?

9、 0）-= l（a2 >0,b; >0）6 b/a； b» ,E F：7 .若橢圓11與雙曲線2工有公共的焦點(diǎn)I、點(diǎn)nZFiPF2 = ；ee ee =1P是兩條曲線的交點(diǎn)，3,橢圓的離心率為1,雙曲線的離心率為 "且1 2,則已（）1<31 J2A：B. 3c, 2 d. 2【答案】B【解析】設(shè)PFi=s, PF2=t,由橢圓的定義可得s+t=2ai,由雙曲線的定義可得 s- t=2a2,運(yùn)用余弦定理和離心率公式，計(jì)算即可得ei的值.【詳解】解：不妨設(shè)P在第一象限，再設(shè)PFi = s, PF2 = t,由橢圓的定義可得 s+t = 2a1，由雙曲線的定義

10、可得 s- t=2a2,解得 s= ai+a25 t= a1 一 a2)n=由/ F1PF2 3 ,4c2 = s2 +12 - 2st - cos- = (aj + a2)2 + (ax - a2)2 - a22) = 3 + 3a22可得3.氣彳，由eie2=1,即得：一，解得：% T (舍)，或13,下e餐即 3故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，考查運(yùn)算能力， 屬于中檔題.22X VC：-= l(a >0.b>0)8,已知為雙曲線a b右支上一點(diǎn)，人為其左頂點(diǎn)，叫3為其右焦點(diǎn)，滿足IAF| = |PF| £PF則點(diǎn)到直線

11、PA的距離為()邛 7 瑞 15A.2 B” C.D, 7【答案】D【解析】由題意可得 APF為等邊三角形，求出 P的坐標(biāo)，利用雙曲線的第二定義，列 出方程，可得c= 4a,由等邊三角形的高可得所求值.【詳解】解：由題意，A (-a, 0), F (c, 0),右準(zhǔn)線方程為x c , |AF|=|PF|, / PFA = 60° ,可得 APF為等邊三角形,c -a即有 P ( 2 ,(a+c),由雙曲線的第二定義可得 化為 c2 - 3ac - 4a2= 0,可得c= 4a,由 c= 4%;3,可得 a=<3,y3 一吧下一15則點(diǎn)F到PA的距離為2 (a+c) ? ?5本題

12、考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查等邊三角形的性質(zhì)，以及化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題.9.如圖，四邊形ABCD AH = BD = DA = 4 BC = CD=2亦，現(xiàn)將沿BD折起，當(dāng)二面n 2n-一角A-BD-C的大小在3 3時(shí),直線A*3和8所成角為口 ,則C。絲的最大值為()2殳石A.k'6-2B.2次+ .D.第28頁共26頁取BD中點(diǎn)O,連結(jié)AO, CO,以。為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，過點(diǎn) O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍.【詳解】解：取BD中點(diǎn)O,連結(jié)AO, CO,AB= BD = DA=4. BC=CD =

13、 2、5, . . CO,BD , AO, BD,且 CO= 2, AO = 2或, / AOC是二面角 A - BD - C的平面角，以。為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，過點(diǎn)O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B (0, - 2, 0) , C (2, 0, 0), D (0, 2, 0),n 2na W -r一設(shè)二面角A-BD-C的平面角為。，則3 3,連 AO、BO,則/AOC=e, A Gv5c。野 0,洞吃,BA = （2限0s包 2. 2曲網(wǎng),3-2, 3。）,設(shè)AB、CD的夾角為 鵬|AB CD| |1 工亞8 凳 |則 cos a |AB| 1 |CD|,n 2rt

14、1 1J'3-9E1- - g三3 3, cos 工工，. . |i、*g曲 |q。，1 + 2 .地+也cos”的最大值為8.本題考查異面直線所成角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量 法的合理運(yùn)用.,e,f,g分別為ad,ab,cr上ABCD-A.B.CD , AR _ i BC - CC, = J210.若長方體1 i 1 1中， 1,1 "的點(diǎn)，RE = ED, AF = FB, %G = AGCM4）.分別記二面角 G-EF-% , G-EF-C G-FBY 的平面角為B, ¥,則()Ab BxqC.D.與入的值有關(guān)【答案】CGM GM

15、tanB = > = tanv 【解析】過G點(diǎn)作GM_CD于M點(diǎn)，過M做MNLEF于N點(diǎn)，由 MN BC設(shè)8為DI-EF-C,則 8=a + B<9Q; 又 B>45=，口 <45 口【詳解】過G點(diǎn)作GML CD于M點(diǎn)，過 M做MNL EF于N點(diǎn),由1 1?？芍猰* CEGM GMtanB = - - = tany = 1MN BC.邛>丫 = 45設(shè)8為DEF-C,則 8=a + B<9Q又5。.戶<4故選：C【點(diǎn)睛】(1)求二面角大小的過程可總結(jié)為：“一找、二證、三計(jì)算。(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的

16、垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此 可得二面角的平面角.、填空題=111 .雙曲線12 3 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,漸近線方程是【解析】(Of ± 畫y =+ 2x利用雙曲線的a, b, c的關(guān)系,直接計(jì)算.解：雙曲線 " 31中a2=12, b2=3,貝 U c2= a2+b2= 15.且焦點(diǎn)在y軸上，雙曲線12 31的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0, 士 J"）,漸近線方程是3=± -x =± 2xy故答案為：（0, ±4）, y=±2x本題主要考查圓錐曲線的基本元素之間的關(guān)系問題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于

17、基礎(chǔ)題.1EH = -EF12.在空間四邊形口ABC中，E, F分別是AH, HC的中點(diǎn)，H是EF上一點(diǎn)，且 4.記OH = xOA+yOB + zOC ,則區(qū)曲:,若 0A1OB , 0A10C , 士B0C = 8O，且|OA| = |OB| = |OC| = 1|OH| =【解析】5 3 13 7 5)17利用空間向量加法定理能求出（x, y, z）;利用空間向量數(shù)量積公式能求出PH|.解：.在空間四邊形 OABC中，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，H是EF上一點(diǎn)，且EH 4EF,T 今 奇 TOH = OA + AE +-EF 4T 11OF-OE)2 (OB-OA) 42(OB + O

18、C) + -(OA + oe)=OA + -AB + 24T 今 1,33 今 今=OA+ -OB - -OA + -OB + -OC + -OA + -QB 228888S3 4 1 *= -OA + -OB+-OC848?.OH，xOA + yOB + zOC, 5 3 1，(x, y, z) = ( 8 4 町. OA±OB OA-LOC / BOC=60。，且 |°A|= pB|= pC|=i ,S3 T 1 4T -OA + -OB + -QC .02(848 )225 m 9T 1-3 1-OA2 + OB* + OC* + x x x cos60*1225 9

19、13- + 一 + 一 + 一64 1S 64 326864產(chǎn)| L531<17故答案為：（84%,【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的求法，考查向量的模的求法，考查空間向量加法法則、空間向量數(shù) 量積公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.13.設(shè)復(fù)數(shù)1-i,、20182019,其中i為虛數(shù)單位，則£的虛部是【答案】1【解析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】1-i(1-i)2.亦+i + M解：.17rli+川1-廠1-、歷一口-物)(1+,)-1l-i 在 + i.z=(卻)2018+(1-$)2019=( 口 2018+i201

20、9=i2+i3= _ i,+ 貝y的虛部為i._ a憶T .故答案為：i； <2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.14 . 一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積是 ,體積是 【答案】【解析】根據(jù)三視圖，畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，代入表面積與體積公式計(jì)算.【詳解】1,解：由三視圖知幾何體是三棱柱與一個(gè)正方體一個(gè)長方體的組合體，正方體的棱長為如圖：8乂 1 乂 1 + 2 x - x 1 x 1十 1 乂業(yè) + 3 品 1 乂2=幾何體的表面積：115.'2.2；X lx2 + lxlxl + K1X 1x1 = -，幾何體的體

21、積 V= 1故答案為：15*/;，本題考查了由三視圖求幾何體的表面積與體積，解答此類問題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量.15 .已知是拋物線d = 8x上的點(diǎn)，則 k的最大值是 .【答案】【解析】根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合法把J(x-4)2 + (y-l)2 x化為|融|一|pf|+2,從而求得最大值.【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；由圖形知，lk" + Sl，=|PA|- x=|PA|- ( |PM| - 2)=|PA|- ( |PF|- 2=|PA|- |PF|+2< AF|+2 = ：5+ 2;即尿-+ (y Ip-x的最大值是3+ 2 .故答案

22、為：3+2.本題考查了拋物線的方程與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的解題方法，是中檔題.k yE:一 + = 116.已知橢圓3 的左右焦點(diǎn)分別為I, %,動(dòng)弦AB過左焦點(diǎn)I.若|F2A-F尹|小/十七明恒成立，則橢圓E的離心率的取值范圍是 .【答案】-> 4c【解析】由條件可得轉(zhuǎn)化為日-，從而得到橢圓E的離心率的取值范圍.【詳解】由|衿叫"F2A+F則可得FQF4。2b2- - 4C /.己 ，即Nacsa - c ,.二Y. U故答案為：【點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a, b, c的方程或不等式，再根據(jù) a, b, c的關(guān)系消掉b得到a,

23、 c的關(guān)系式，建立關(guān)于 a, b, c的方 程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等17 .已知矩形股8中，AB = 2AD = 4 E為8的中點(diǎn)，BE交于點(diǎn)F , AADE沿著AE向上II翻折，使點(diǎn)口到匕若D在平面AHCD上的投影H落在梯形ABCE內(nèi)部及邊界上，則FH的取值【答案】【解析】首先明確口在平面ABCD上的投影H的軌跡，建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線方程與點(diǎn)的坐標(biāo),即可得到 FH的取值范圍.【詳解】由題意可知：D在平面ABCD上的投影H落在線段gh上,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，直線GH方程為 易得：F到直線= 0的距離為:|FG| =-+ ir+三.陽二kJlb故

24、FH的取值范圍為故答案為:本題考查線段的長度，考查線面間的位置關(guān)系，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中 檔題.三、解答題1i i>¥ _x e -31 f(x) = x + - > -118 .已知a >。，設(shè)命題P：當(dāng) 3時(shí)，函數(shù) x恒成立，命題q ：雙曲線a(I)若命題Q為真命題，求實(shí)數(shù)曰的取值范圍;(II)若命題口和。中有且只有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù) 各的取值范圍a >-<a < 1【答案】(I)2 (n) 2【解析】(I)由p真，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式，可得最小值，即可得到所求范圍；(n)由雙曲線的離心率公式，可得 a的范圍，由題意可

25、得 p真q假，p假q真，解不 等式組，即可得到所求范圍.【詳解】1 1x W 1-3-4(I)當(dāng) 3 時(shí)，因?yàn)?小)在3 上為減函數(shù)，在11司上為增函數(shù)，1K (-3)巾)在3上最小值為f吃1 1 1 1 1x C H3f(x) = x + - > -2 >- a >-當(dāng) 3時(shí)，由函數(shù)x恒成立，得,解得 2+ 81<-<3(n)若命題q為真命題，則 3 ，解得”匕卜，1若p為真命題且q為假命題，則° ,可得2,|0 < 3 < -2若P為假命題且q為真命題，則I a占1 ，此時(shí)aE<p,1-< a < 1由上可知，己的取值范

26、圍為2.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，主要是不等式恒成立問題和雙曲線的離心率，考查不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在四面體 口-ABC 中，"0B = 90，BOC = 50C = 60： QA = OB = OC=4(I )求點(diǎn)C到平面0AB的距離；(n)求異面直線。力與bc所成角白大小.【答案】(I) 2求(n) 6T【解析】(I )作行J_平面。AB于H ,連。H ,證明。H >AOB的角平分線，由85上CQE=85COH ' 8$乙ECH求得乙C0H,即可得到點(diǎn)C至|平面。*8的距離；(n)取空間基底為0A = a, 0B = E, oc = c用基底表

27、示O凡BC ,代入夾角公式即可得 到結(jié)果.【詳解】(I)作CH J.平面。AB于H,連0H作 HELOA 于 E, "，。8于尸，連 CE, CF”平面可，E。1平面CFH ,.CE1QA, CF±OB,所以 MEOYCFQ,.E = 0F,四邊形OEHF為正方形，.0H是上A0B的角平分線，“匚。H ""PH1& &-=cosCOH cosCO H =心L即2 /COH加.二1心均2c（n）（方法 1）記0A= a, OB = b OC = c,則BC = ob,記（a，c-b） = 8, _Ji_L_L_S_B_L_L _B_L,a

28、（c-bj- |a| - |c-b| cos0,又自（c-b）=自, c-言 b = 4x4乂皿期=8,81- cos 6 =:4, |-b| =4,4x4 2 即 8 = 2,所以異面直線0A與阮所成角的大小為6吟（方法2）以HF, HE, HC所在直線分別為x, 丫，？軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則口0。2孫。恒2。），A（-22。），B-2則 0A 二小 4。） EC = （- 222必設(shè)異面直線0A與BC所成角為日，則八,廠 f |0A BC|cosG - | ss0A,BC）| -：|0A| |BC| ,81= -=4MM 以+ 2。（2 樹 2 ,國二60二所以異面直線即與6

29、匚所成角的大小為6T.c【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)到平面的距離，異面直線所成角，考查空間問題坐標(biāo)化，考查計(jì)算能力與空間想象能力，屬于中檔題 .20.如圖，已知多面體 PABCD 中 AD | BC AD 1 平面 PA8 AD = 2BC = 4 AB = 1 PA = 2 /PAB = 60"(I)證明：PB_L 平面 ABCD；(n)求直線與平面pcd所成角的正弦值.晅【答案】(I)見證明；(n)19【解析】(I)由余弦定理得 PB-卡,從而PBXAB,由ADL平面PAB,得ADLPB, 再由PB± AB,能證明 PBL平面 ABCD.9419= =(n)由余弦定理求出 c

30、os/PDC 10,從而sin/PCD 2 , $ ACD=2,設(shè)直線PA與4酒 ,巾 而平面PCD所成角為。，點(diǎn)A到平面PCD的距離為h,由Va pdc = Vp acd,得h、，h 2百 =從而sinQ 19 ,由此能求出直線 PA與平面PCD所成角的正弦值.【詳解】（I）在 APHA中，PA=2, AB=1, "AB = 60 所以 PH'2OlL2x2xlx8s6（T = m, PB = J 所以 PbOab'pa", P日 1AB, 因?yàn)锳DIIBC,所以A, B C, 口四點(diǎn)共面.又AD1平面P4B, PB仁平面PRB,所以,又PB1AB, A口

31、門 AB = '所以PB1平面AKD.(n)(方法一)在Rspb匚中，pc =在 RSPAD 中，PD = *在直角梯形ABCD中，CD-在APDC中設(shè)直線A與平面PCD所成的角為9 ,設(shè)點(diǎn)*到平面PCD的距離為卜,雨故直線PA與平面P8所成的角的正弦值為19 .（方法二）由（I）知，BC1 平面 PAR, BC1AB.以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的，BC, EP所在直線分別為 V, £軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則叫5。澗,AU口D（P4期所以 PA = （XQ -油）,PC = 22 r 31, CD =仕20）.設(shè)直線PA與平面PCD所成的角為e,設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n

32、=,嚴(yán) 口二。 f2y-3z = 0由jcb，n = 0得| x + 四=。取¥=在，則廠2, -2回所以n = （-2后相2）.| 以 | -23 + 0-23|2J57cJnR » _ '所以'iPAi-mT 一季一= 1T,晅故直線PA與平面P8所成的角的正弦值為19 .（方法三）延長 吟AB相交于點(diǎn)E連結(jié)PE.因?yàn)锳D|BC, AD=2BC所以BC為AADE的中位線，點(diǎn)巴©分別為蛇，DE的中點(diǎn).所以APDE為等腰三角形取PE中點(diǎn)，連口1", AF.所以 DF1PE AF1PE DFCAF = F所以PE 1平面ADF,又PE仁平面

33、PCD ,所以平面ADF 1平面PCD.作AH_LDF于H,連PH,所以四H1平面P8 所以4APH就是直線PA與平面PCD所成的角.因?yàn)锳F =而，34,淮屈所以aL + Ad'df1所以在9.AH邛訴 siMAPH -=-(=所以AP也9 19 ,2后故直線PA與平面PCD所成的角的正弦值為19【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面 間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.21.已知點(diǎn)是圓= 8上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)MTQ),線段PN的垂直平分線交PM于占八、.(I )求點(diǎn)Q的軌跡E的方程；1(n)過點(diǎn)N作兩條斜率

34、之積為2的直線,' J分別與軌跡E交于上B和J D,記得到的四邊形ACBD的面積為S,求0的最大值.【解析】(I )利用橢圓定義即可得到點(diǎn)Q的軌跡E的方程；(n)設(shè)其中一條直線 AB的2 國 + V)1可4k，1方程為V = k(x+1),可得 2八12k 可得a +1 ，故1S=-|AB| (d1 + d2l=211 +4k2 + + 41,結(jié)合均值不等式可得結(jié)果【詳解】(1) .點(diǎn)Q是線段PN的垂直平分線上的點(diǎn)，.|QN| = IQPI , IQMI + IQNI = |QP| + |QM| = |MP| =24點(diǎn)Q的軌跡是以M, N為焦點(diǎn)的橢圓，其中 2a =2也 2c = 2 .a = & c=l, b = l2X 1一 + V = 1因此，點(diǎn)Q的軌跡方程是2.(n)設(shè)其中一條直線(2k2 + l)x2 + 4k2x + 2 k22.5(1+ k2)|AB| =2 = 02k，lCD:y =-X + 1)A®的方程為Y = k儀+ 1),代入橢圓方程可得:即x=-2kv-l,代入橢圓方程可得：(4k +珈+4*1 = 0設(shè)C, 口到直線AB的距離分別為力和%則|kx1-y1 + k| + |kx2-