《二元一次方程組》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識講解

1、知識講解二元一次方程組全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標】1 .了解二元一次方程組及其解的有關(guān)概念；2 .掌握消元法（代入或加減消元法）解二元一次方程組的方法；3 .理解和掌握方程組與實際問題的聯(lián)系以及方程組的解；4 .掌握二元一次方程組在解決實際問題中的簡單應(yīng)用；5 .通過對二元一次方程組的應(yīng)用，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的理念【知識網(wǎng)絡(luò)】定義：含有兩個未知數(shù)，并且含未知數(shù)項 的松數(shù)者6為：的方程二元或三元一次方程二元或三元一次方程理的應(yīng)用找審列解答【要點梳理】要點一、二元一次方程組的相關(guān)概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數(shù)（x和y）,并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.要

2、點詮釋：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2） “未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式2 .二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.要點詮釋：二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，、 ，人 一，x a ,即二元一次方程的解通常表示為的形式.y= b3 .二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，

3、二元一次方程組3x 4y 5.x 2要點詮釋：、一 ，一，,a1x by g ，.（1）它的一般形式為' （其中a1, a2, b1, b2不同時為零）.a2x b2y c2（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方 程組.（3）符號"”表示同時滿足，相當(dāng)于“且”的意思.4 .二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點詮釋：（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立， 才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組 解

4、不一定是方程組的解.2x y 5 無2x y 6（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3） 一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組一 一、 x y 1解，而方程組"的解有無數(shù)個2x 2y 2要點二、二元一次方程組的解法1 .解二元一次方程組的思想二元一次方程組消元轉(zhuǎn)化> 一元一次方程2 .解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法用含有x （或y ）的代數(shù)式表示（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，y （或x）,即變成y ax b （或x ay b）的形式;將y ax b （或x ay b）代入另一

5、個方程（不能代入原變形方程）中，消去y（或x）,得到一個關(guān)于 x （或y）的一元一次方程；解這個一元一次方程，求出x （或y）的值；把x （或y ）的值代入y ax b （或x ay b）中，求y （或x）的值；用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解要點詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用 含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一

6、個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運 算簡便，提高運算速度及準確率 .(2)用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：根據(jù)“等式的兩邊都乘以(或除以)同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；根據(jù)“等式兩邊加上(或減去)同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加(或相減)，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；將兩個未知數(shù)的值用"”聯(lián)立在一

7、起即可 要點詮釋:當(dāng)方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加 減消元法較簡單.實際問題與二元一次方程組實朦問題設(shè)未包數(shù)，列方程組代人法 加減法 (消元)數(shù)學(xué)問題的解(二無次方程嵬的解)故學(xué)間題(二元一次方程祖)要點詮釋：(1)解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2) “設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；(3) 一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組要點四、三元一次方程組1 .定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的求

8、知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.4x y z 12,2a 7b 3,3x 2y z 5, 3a c 1,等都是三元一次方程組.x y 5z 1, b 3c 4要點詮釋：理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點:(1)方程組中的每一個方程都是一次方程；(2)如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組2 .三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，從而化三元為二元， 然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)，最后再求出另一個 未知數(shù).解三元一次方

9、程組的一般步驟是：(1)利用代入法或加減法， 把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；(2)解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；(3)將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；(4)解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；(5)將求得的三個未知數(shù)的值用“”合寫在一起.要點詮釋：(1)有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求比較簡單的解法.(2)要檢驗求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的

10、左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解， 只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解.3.三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟:(1)弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x, y, z)表示題目中的兩個(或三個)未知攵；(2)找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系； (3)根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組;(4)解這個方程組，求出未知數(shù)的值；(5)寫出答案(包括單位名稱).要點詮釋：檢查求得的結(jié)果(1)解實際應(yīng)用題必須寫 “答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義, 是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去.(2) “設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單

11、位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】 類型一、二元一次方程組的相關(guān)概念1 .在下列方程中，只有-個解的是(x y 1 A.3x 3y 0x y 1 c x y 1 D x y 13x 3y 2. 3x 3y 4. 3x 3y 3【思路點撥】 逐一求每個選項中方程組的解，便得出正確答案【答案】C.【解析】選項A、B、D中，將方程x y1 ,兩邊同乘以3得3x 3y3 ,從而可以判斷A、B選項中的兩個二元一次方程矛盾，所以無解；而D中兩個方程實際是一個二元一次方程，所以有無數(shù)組解，排除法得正確答案為C.【總結(jié)升華】在a1x "y

12、 q （其中a, a2, n, b2均不為零）， a2x b2 y c2（1）當(dāng)亙曳a2b2c1時，方程組無解;C22）當(dāng)曳曳 ,方程組有無數(shù)組解;a2 d c2（3）當(dāng)亙 曳，方程組有唯一解. a2 b2舉一反三：【高清課堂：二元一次方程組章節(jié)復(fù)習(xí)409413例1 （3）】【變式1】若關(guān)于x、y的方程 m 1 x yim2是二元一次方程，則【答案】1.【變式2】已知方程組 x y 5ax 3y b有無數(shù)多個解，則a、b的值等于1【答案】a= - 3, b= - 14.類型二、二元一次方程組的解法歌2.3考）解用呈組i(x i(xy) y 55y) y 3 2【思路點撥】 本題結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，一

13、般應(yīng)先化簡，再消元.仔細觀察題目，不難發(fā)現(xiàn)，方程 組中的每一個方程都含有（x-y）,因此可以把（x-y）看作一個整體，消去（x-y）可得到一個關(guān) 于y的一元一次方程.【答案與解析】解：由 X 9 得：6（x-y）+9y = 45X4 得：6（x-y）- 10y=-12-得：19y=57,解得y=3.把y = 3代入，得x = 6.所以原方程組的解是x 6.y 3【總結(jié)升華】本題巧妙運用整體法求解方程組，顯然比加減法或代入法要簡單，在平時求方程組的解時，要善于發(fā)現(xiàn)方程組的特點，運用整體法求解會收到事半功倍的效果.舉一反三x y x y【變式】（換元思想）解方程組 610x y x y610解：設(shè)

14、土m, 610則原方程組可化為y 18y 203 3所以6x y 10192y 3x y 11的整數(shù)解的個數(shù)是【思路點撥】 把1表示成兩個非負整數(shù)的和，這兩個數(shù)只能是 1與0,于 多個方程組，通過解方程組來求解的個數(shù).【答案】2組【解析】個方程裂變?yōu)榻猓河蓷l件得2y 3 0 或y 11x 2y 3x y 10即 x2y 3 0或 x2y31xy11 xy1 0x 2y 3 0即或x y 1 1x 2y 3x y 1x 2y 3 1或 x 2y 3x y 1 0,口 x 1解得，yx或1y13或5323或53【總結(jié)升華】 出答案.舉一反三：根據(jù)已知條件構(gòu)造出方程組，再選擇恰當(dāng)方法求得方程組的解,

15、然后再所求得y【變式】已知二元一次方程組4 的解為x a, y 則色b .x y 175【答案】11.類型三、實際問題與二元一次方程組 4.用8塊相同的長方形地磚拼成一塊矩形地面，地磚的拼放方式及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所不，求每塊地磚的長與寬.【思路點撥】初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系,但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設(shè)每個小長方形的長為x,寬為y,就可以列出一個關(guān)于x、y的二元一次方程組.xcm與寬為ycm,根據(jù)題意得:x 45y 15【答案與解析】解：設(shè)每塊地磚的長為x y 60y ,解得:2x x 3y答：每塊地科長為 45cnx寬為15cm這就需要我們仔細閱讀題目，設(shè)

16、法提【總結(jié)升華】 有些題目的相等關(guān)系不是直接給我們的, 煉出題目中隱含的相等關(guān)系 舉一反三：【變式】如圖，長方形 ABCD中放置9個形狀、大小都相同的小長方形（尺寸如圖） 中陰影部分的面積.解：設(shè)每個小長方形的長為x,寬為y,根據(jù)題意得:10x 4y 22(x 2y) 3y所以陰影部分的面積為： 22(7 3y) 9xy 22(7 9) 9 10 3 82.答：圖中陰影部分的面積為82.5.(龍巖)已知：用 2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨 10噸；用1輛A 型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨 11噸.某物流公司現(xiàn)有 31噸貨物，計劃同時租用 A 型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好

17、每輛車都載滿貨物.根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1) 1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)請你幫該物流公司設(shè)計租車方案；(3)若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次.請選出最省錢的租車 方案，并求出最少租車費.【答案與解析】 解t 設(shè)爵輛A型車、B型車都裝滿貨物一次可分別運貨X噸、y噸，依題旨列方程得: lx 4- y = 1 (X 1 11 s 3解方程幼，得 3=4答：1輛凡型車裝滿貨物-次可運3她，I輛B里車裝滿貨物一次可運4M.(2)結(jié)合翹 J&fl ( 1)得 用=31, m i- *t «43 =37 口都是正整數(shù)宙

18、 ±1占=4jb 二 7)答:有3種租車方案：A型年Q輛月型車1輛;A型車5輛口型車4輛；A型車1輛,B型軍7輛. 方案需租金9X10012X1。冽元)方案 芾和金:5丈1囿7XI20KXO(元)方案 需租金“丈100TX12(M>40配)V 10200940量省餞的利布方案是：A型車1輛月型中7輛顯少機車抄為944)7L.【總結(jié)升華】本題實際上是求二元一次方程組的正整數(shù).舉一反三：【變式1】甲、乙兩班學(xué)生到集市上購買蘋果，價格如下:購買羊果數(shù)不超過30千克加千克以上但 不超過50千克50千克以上每千克價格3元2.5元2元甲班分兩次共購買蘋果 70千克(第二次多于第一次)，共付

19、出189元，而乙班則一次購買蘋 果70千克。(1)乙班比甲班少付出多少元？(2)甲班第一次、第二次分別購買蘋果多少千克？【答案】解：(1) 189 70 2 49 (元)答：乙班比甲班少付出 49元.(2)設(shè)甲班第一次、第二次分別購買蘋果y千克，則依據(jù)題意得:當(dāng)0 x 30,30y 50 ,則有:x y 70 3x 2.5y,解得:189x 28 ,經(jīng)檢驗滿足題意;y 42當(dāng)0 x 30,y 50 ，則有:x y 703x 2y 189x 49,經(jīng)檢驗不滿足題意;y 21當(dāng)30 x 50, 答：甲班第一次購買蘋果 【高清課堂：實際問題與30 y 50 ,則有：28千克，第二次購買次方程組(一)2.5 70 175 189,不滿足題意.42千克.409143 例 3、】【變式2】某校為七年級學(xué)生安排宿舍，若每間宿舍住5人，則有4人住不下；若每間宿舍住6人，則有一間只住【答案】解：設(shè)該年級有寄宿生4人,且空兩間宿舍，