量子力學(xué)考試知識點

1、量子力學(xué)考試知識點第一章： 緒論經(jīng)典物理學(xué)的困難考核知識點：（一）、經(jīng)典物理學(xué)困難的實例（二）、微觀粒子波粒二象性考核要求：（一）、經(jīng)典物理困難的實例1. 識記：紫外災(zāi)難、能量子、光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)。2. 領(lǐng)會：微觀粒子的波粒二象性、德布羅意波。第二章：波函數(shù)和薛定諤方程考核知識點：（一）、波函數(shù)及波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（二）、含時薛定諤方程（三）、不含時薛定諤方程考核要求：（一）、波函數(shù)及波函數(shù)的統(tǒng)計解釋1. 識記：波函數(shù)、波函數(shù)的自然條件、自由粒子平面波2. 領(lǐng)會：微觀粒子狀態(tài)的描述、 Born 幾率解釋、幾率波、態(tài)疊加原理（二）、含時薛定諤方程1. 領(lǐng)會：薛定諤方程的建立、幾率流密度，粒子數(shù)

2、守恒定理2. 簡明應(yīng)用：量子力學(xué)的初值問題（三）、不含時薛定諤方程1. 領(lǐng)會：定態(tài)、定態(tài)性質(zhì)2. 簡明應(yīng)用：定態(tài)薛定諤方程第三章： 一維定態(tài)問題一、考核知識點：（一）、一維定態(tài)的一般性質(zhì)（二）、實例二、考核要求：1. 領(lǐng)會：一維定態(tài)問題的一般性質(zhì)、束縛態(tài)、 波函數(shù)的連續(xù)性條件、反射 系數(shù)、透射系數(shù)、完全透射、勢壘貫穿、共振2. 簡明應(yīng)用：定態(tài)薛定諤方程的求解、士浪注力謝阱、線先訊i振了第四章量子力學(xué)中的力學(xué)量一、考核知識點：（一）、表示力學(xué)量算符的性質(zhì)（二）、厄密算符的本征值和本征函數(shù)（三）、連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”（四）、算符的共同本征函數(shù)（五）、力學(xué)量的平均值隨時間的變化二、考核要求：（一

3、）、表示力學(xué)量算符的性質(zhì)1. 識記：算符、力學(xué)量算符、對易關(guān)系2. 領(lǐng)會：算符的運算規(guī)則、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性質(zhì)、 基本力學(xué)量算符的對易關(guān)系（二）、厄密算符的本征值和本征函數(shù)1. 識記：本征方程、本征值、本征函數(shù)、正交歸一完備性2. 領(lǐng)會：厄密算符的本征值和本征函數(shù)性質(zhì)、坐標(biāo)算符和動量算符的本征 值問題、力學(xué)量可取值及測量幾率、幾率振幅。（三）、連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”1. 領(lǐng)會：連續(xù)譜的歸一化、箱歸一化、本征函數(shù)的封閉性關(guān)系四）、力學(xué)量的平均值隨時間的變化1. 識記：好量子數(shù)、能量時間測不準(zhǔn)關(guān)系2. 簡明應(yīng)用：力學(xué)量平均值隨時間變化 第五章 態(tài)和力學(xué)量的表象 一、考核知識點

4、：（一）、表象變換，幺正變換（二）、平均值，本征方程和 Schrodinger equation 的矩陣形式（三）、量子態(tài)的不同描述二、考核要求：（一）、表象變換，幺正變換1. 領(lǐng)會：幺正變換及其性質(zhì)2. 簡明應(yīng)用：表象變換（二）、平均值，本征方程和 Schrodinger equation 的矩陣形式1. 簡明應(yīng)用：平均值、本征方程和 Schrodinger equation 的矩陣形式2. 綜合應(yīng)用：利用算符矩陣表示求本征值和本征函數(shù)（三）、量子態(tài)的不同描述 第六章：微擾理論 一、考核知識點 :（一）、定態(tài)微擾論（二）、變分法（三）、量子躍遷二、考核要求 :（一）、定態(tài)微擾論1. 識記：微

5、擾2. 領(lǐng)會：微擾論的思想3. 簡明應(yīng)用：簡并態(tài)能級的一級，二級修正及零級近似波函數(shù)4. 綜合應(yīng)用：非簡并定態(tài)能級的一級，二級修正、波函數(shù)的一級修正。（二）、變分法1. 領(lǐng)會：變分原理2. 簡明應(yīng)用：用 Ritz 變分法求體系基態(tài)能級及近似波函數(shù)（三）、量子躍遷1. 識記：躍遷、躍遷幾率、自發(fā)輻射、受激輻射、費米黃金規(guī)則2. 領(lǐng)會：躍遷理論與不含時微擾的關(guān)系3. 簡明應(yīng)用：簡單微擾體系躍遷幾率的計算、常微擾、周期微擾 第七章 自旋與全同粒子一、考核知識點：（一）、電子自旋（二）、總角動量（三）、堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)（四）、自旋單態(tài)和三重態(tài)（五）、全同粒子交換不變性二、考核要求：（一）、電子自旋1.

6、 識記：自旋存在的實驗事實、二分量波函數(shù)2. 領(lǐng)會：電子自旋的內(nèi)稟磁矩、對易關(guān)系、泡利表象、矩陣表示（泡利矩 陣）、自旋態(tài)的表示3. 簡明應(yīng)用：考慮自旋后，狀態(tài)和力學(xué)量的描述、考慮自旋后，電子在中 心勢場中的薛定諤方程（二）、總角動量1. 識記：自旋軌道耦合2. 領(lǐng)會：總角動量、力學(xué)量完全集（H,l2,j2,jz）的共同本征值問題（三）堿金屬的雙線結(jié)構(gòu)1. 領(lǐng)會：堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)及反常塞曼效應(yīng)的現(xiàn)象及形成原因（四）、自旋單態(tài)和三重態(tài)1. 領(lǐng)會：自旋單態(tài)和三重態(tài)2.簡明應(yīng)用：在（Siz，S2z）和（S2,Sz）表象中兩自旋為1/2的粒子的自旋波 函數(shù)（五）、全同粒子交換不變性1. 領(lǐng)會：

7、全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性、費米子和玻色子體系的描述、泡利不相容原理2. 簡明應(yīng)用：兩全同粒子體系、全同粒子體系波函數(shù)的結(jié)構(gòu)1、波函數(shù)與薛定諤方程理解波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，態(tài)迭加原理，薛定鄂方程，粒子流密度和粒子 數(shù)守恒定律定態(tài)薛定諤方程。掌握一維無限深勢阱，線性諧振子。2、力學(xué)量的算符表示理解算符與力學(xué)量的關(guān)系。掌握動量算符和角動量算符，厄米算符本征 函數(shù)的正交性，算符的對易關(guān)系，兩力學(xué)量同時有確定值的條件 測不準(zhǔn)關(guān)系, 力學(xué)量平均值隨時間的變化 守恒定律。氫原子3、態(tài)和力學(xué)量的表象理解態(tài)的表象，掌握算符的矩陣表示，量子力學(xué)公式的矩陣表述么正變換，了解狄喇克符號，線性諧振子與占有數(shù)表象。4

8、、定態(tài)近似方法掌握非簡并定態(tài)微擾理論，簡并情況下的微擾理論，理解薛定鄂方程的變分原理及變分法5、含時微擾論掌握與時間有關(guān)的微擾理論，躍遷幾率，光的發(fā)散和吸收及選擇定則。6、自旋與角動量理解電子自旋，掌握電子的自旋算符和自旋函數(shù)。7、全同粒子體系理解兩個角動量的耦合，光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)和全同粒子的特性。掌握全同 粒子體系的波函數(shù)，泡利原理，兩個電子的自旋函數(shù)。了解氦原子（微擾法）周世勛，量子力學(xué)教程，高等教育出版社，1979年第1版曾謹(jǐn)言，量子力學(xué)教程，科學(xué)出版社，2003年版參考書目：量子力學(xué)導(dǎo)論，北京大學(xué)出版社，曾謹(jǐn)言我認(rèn)為考試前要清楚報考單位對量子力學(xué)這門課的基本要求以及主要考查內(nèi)容 是什么，

9、應(yīng)當(dāng)按照其要求出發(fā)，有目的性、針對性的進行的復(fù)習(xí)。中科院量子力學(xué) 考試的重點是要求熟練把握波函數(shù)的物理解釋，薛定諤方程的建立、基本性質(zhì)和精確的 以及一些重要的近似求解方法，理解這些解的物理意義，熟悉其實際的應(yīng)用。把握量子 力學(xué)中一些非凡的現(xiàn)象和問題的處理方法，包括力學(xué)量的算符表示、對易關(guān)系、不確定 度關(guān)系、態(tài)和力學(xué)量的表象、電子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子躍遷及光的 發(fā)射與吸收的半經(jīng)典處理方法等，并具有綜合運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。再者，中科院對量子力學(xué)這門課考查主要包括以下9大內(nèi)容：波函數(shù)和薛定諤方程一維勢場中的粒子力學(xué)量用算符表示中心力場量子力學(xué)的自旋定態(tài)問題的近 似方

10、法量子躍遷多體問題，復(fù)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)主要對這些內(nèi)容下功夫。第一階段：首先按照中科院碩士研究生入學(xué)考試量子力學(xué)考試大綱中的要求將 參考書目看了一遍。 中科院量子力學(xué)考試大綱 中指定的參考書目是 量子力學(xué)教程 這本書是由曾謹(jǐn)言編著的。此階段看書以理解為主，不必糾纏于細(xì)節(jié)，將不懂的知識點 做上記號。第二階段：我對大綱中要求了解的內(nèi)容，熟練把握的內(nèi)容以及理解的內(nèi)容進行了分 類，并且按相關(guān)要求對將這門課進行了第二輪復(fù)習(xí)。另外我認(rèn)為在這一遍復(fù)習(xí)中一定要 把歷年試題弄到手并且仔細(xì)分析，因為真題體現(xiàn)了命題單位的出題特點以及出題趨勢等。另外，我認(rèn)為真題要比大綱更有用，因為從大綱中看不出的有價值的東西可以從真題中

11、得到。當(dāng)然，需要注重的是，單純把握真題也是不理智的做法，假如一個考生僅僅把握 了歷年真題的內(nèi)容，那么考試后他會得出這樣一個結(jié)論：今年的題真偏。其實，不是題 偏，而是他沒有把參考書上的東西完全把握好。所以在這個階段中我仍然以看指定的參 考書為主，著重解決了在第一遍復(fù)習(xí)中留下的疑問和在做真題中自己不會的題目。對了， 此輪復(fù)習(xí)一定要做一份筆記，將主要內(nèi)容歸納出一份比較簡潔的提綱，以便于下輪復(fù)習(xí)。第三階段：將專業(yè)課過第三遍，這一輪注重結(jié)合上一輪的筆記和提綱有重點的，系統(tǒng)的理解和記憶，由于專業(yè)課要求答的深入，所以可以找一些專業(yè)方面的期刊雜志來看 下，擴大下自己的視野范圍。這一階段大家也可以找些習(xí)題集來做

12、下，不斷鞏固自己把 握了的知識點。第四階段：這一輪要將參考書快速翻幾遍，以便對整個知識體系有全面的把握并且牢記 于心，同時要進行查缺補漏，不要放過一個疑點，要注重的是此時不能執(zhí)著于細(xì)小的知 識點，要懂得抓大放小，把握最重要的知識點。另外可以根據(jù)對歷年試題的分析以及對 本年度的專業(yè)考試做出一些猜測，并對考試的時間安排及如何進行考中心理調(diào)節(jié)做下演 練。（中科大2003）一、試證明：（1） 投影算符P =|n n|是厄密算符；它在任意態(tài)中的平均值是正 定的，即八|P一0。（2）設(shè)是歸一化波函數(shù)，對于線性厄密算符 A以下等式成立i - = A, H i A。dtt證明：（1）因為n：n |）b=| n

13、：n|=P 所以p是厄密算符r、*或屮|pNk屮|nxn |* cn|屮半|P|屮2:- |P|-; =|v n |屮 | 0(2)因為 ：:A =： = A貝U再由 S-eq 得 普=IA H (或 因為- *Adx 所以dAA dx *Adx * 丄dxdt；:t；:tft-1 *HA dx 丄 *AH dx - * 丄 -dx；:t=1 *(AH -HAdx - * 丄-dxrA,Hi:t i dAdt、對于一維諧振子，求消滅算符 a的本征態(tài),將其表示成各能量本征態(tài)| n 的線性疊加。已知a | n- . n | n -1 oO解： 設(shè) I= 7 Cn | n n=0由于 a | -|

14、且利用 a | n二.n | n -1 QOQOQO得 a |-、 Cna | n - a Cnn | n -1-八.Cn | n n 卻n n 以 ：:n -1|左乘上式并利用：:n |n八nn得解:四、aCn =Cn 1n依次遞推得2n22a2n |a x送CnC0E-1nnn!由歸一化條件21= e-2-aCn 1 n!C029 Co因為所以給定Zn n!:.為實數(shù)，可取為二0I：=八：| n n z0 . n!(K ;：)方向的單位矢量 n =(si nr cos ;:,s in rsin ：:, cost)，在二 z 表象中=；丁 n的本征值和歸一化本征矢。因為二 n = ；xs i

15、 n co s ；y s i n s in - z c o s 所以cos 日sin 日 e甩 -cos日丿對于，-1對于，=-1二n的本征值為-1* cos日sin日e ne -cosQ 丿=/-.4由本征方程求得ecos2.0 sin e 、2( 0si n 2日itp-cos eI 2或;:1設(shè)一定域電子(作為近似模型，不考慮軌道運動) 磁場B中，哈密頓量為 H = B匚X二 L；X日W/2cos e2.日 sin e.2 丿”.日沖2 sin e2 日 itf/2 -cos e.2 丿，處于沿x方向的均勻(Larmor)頻率(J2% xeB-,:L 2七拉莫爾求t 0時(1)電子自旋態(tài)

16、 (t);(2)電子自旋S的平均值。解：(1)方法Q(t)b(t)由薛定諤方程(t)-初始條件9(0)rb(0)(0)=a = -i Lbb 二-i Laa b 二 _i L(a b)a -b 二 i L(a -b)a(t) b(t) =a(0) b(0)eLtLta(t) _b(t) =a(0) _口0)怡唸3 =皿由此可得a(t)二 c o s Ltb(t)二-i s i n Lt(t)二COSCO Lt-isincoLt方法體系能量本征態(tài)即；X的本征態(tài)，本征值和本征態(tài)分別為142 i sincoLti sin - Lthcos2 Lt2五、已知系統(tǒng)的哈密頓量為12s 00 2 ；名 0求

17、能量至二級近似,波函數(shù)至一級近似。解：(1)H 二H。000002名0H =000嚴(yán)02J110|2x1|3r0-bJ10-10.20轉(zhuǎn)到ho表象（將Ho對角化）003；Eni)hnnEn2）八Ihml2(0) (0) m s En _ Em巳二 1. / 2E-E2=0EE3/222E；2)AEE2-0E(2)E3A8 ；8；: (1)1_ _： (0)=0 : (1)3Z4 ；_： (0)4 ；1量子力學(xué)測試題（1、一質(zhì)量為m的粒子沿x正方向以能量E向x=0處勢壘運動。當(dāng)xO時,勢能為零；當(dāng)x 0時，勢能為V。= 3 E 。問在x=0處粒子被反射的幾率多大？4解：S-eq 為-；-屮1 =

18、0xEO；2 - kJ 2 = 0x - 0其中 k； =2mE/ 2k； =2m(E _V0)廠2 =k；/4由題意知x空0區(qū)域 既有入射波，又有反射波；x _ 0區(qū)域僅有透射波故方程的解為-1二eikix - re皿 x豈0x _0-teik2x在x=0處，及都連續(xù)，得到k1 r =t &(1-r)=t 由此解得2、亠注意透射率T -2t因為k 7- k將eik1x，-ik1Xre，teik2x分別代i .*.- *2m .；:x:x2入射粒子流密度j得入幾率流密度公式由此得反射粒子流密度透射粒子流密度jk1j0 :mU2mk2 tjRjT反射率透射率Jrj0j0R T =12、計算(1)

19、 L,r2 =?(2)設(shè)F(x, p)是x, p的整函數(shù),則P,F =?解：(D L：,r2 =L：,x：xJ =xL：,xJ L：,xjx嚴(yán)i y x x i x - 0 因為將第二項啞標(biāo)作更換)一 i ：川x x-： =； _ x X二-；一. X：x 所以L,r2 =0(2)先由歸納法證明p,xn=-i衣nxn=ixn(式n =1 上式顯然成立；設(shè)n=k時上式成立，即p,xk - -i kxkJ則 p, xk 1 * = p,xkx - xk p, x - -i kxk - i xk - -i (k - 1)xk顯然，n =k，1時上式也成立，()式得證因為F(X, p) =CmnXym

20、,n =0則P, F二為 CmnP,Xmpn二為 Cmn P,= T、CmnEXpnm,nm,nm,n= -F.x3、試在氫原子的能量本征態(tài)nlm下，計算解：處于束縛態(tài)nm下的氫原子的能量EnJe4 e2 1一222n22a n2a 2Je2(1)計算維里定1:T n 尸巧 V n l m所以-1 叮r2En 12 2 e an方法2選Z為參量 相應(yīng)的F-H定理：En-e=-2 nlm :eH /2P12an1:一 nlmr_11:r2an等效的一維哈密頓量2dr22e_+r1(1 1)22r2取l為參量相應(yīng)的F-H定理-：En=.：l.:Hl.:lnlm注意2e3 an_ (2l1)2=2J

21、2r (l 1/2)a2n3，H。和微擾算符H 的矩陣4、有一個二能級體系，哈密頓量為H = H HH表示為E2丿其中表征微擾強度，E1空E2用微擾法求H的本征值和本征態(tài)。解：由于是對角化的，可見選用表象為 H表象對于E1 ： E2，由非簡并微擾論計算公式En 二 En0)- Hnn，皿|2十,J E(0) _E(0)m En EmH mn屮(0)E(0) _E(0)mnm(0) E n+o-.7E2)(1E2F12IHE-I 1E2E-XE :(1)1H21E1(0) - e20)(0)2E1 - E21E21)=0e22)H12H12(0)E2(0)1所以，(0) (0)E2 一 E1E2

22、-E1二級近似能量和一級近似態(tài)矢為+幾9隹+ 2，3%A+巳E21丿E2巳J丿巳一 E20.J0E1E1 -E2，對于Ei二E2，由簡并微擾論計算得一級近似能量和零級近似態(tài)矢為1V；已一，運(1 ，72d丿1-1；Ei -0ft _ _-5、自旋投影算符Snn，二為泡利矩陣，n為單位矢量2(sin cos :,sin vsin ；cos)。(1)對電子自旋向上態(tài)(s /2)，求Sn的可能值及相應(yīng)幾率;hcos&sin Oeh“ co田sin%丫a2n電 -cos日丿2fincos日 b?=ms41的本征態(tài),求解：(1 )由Sn二y的可能值及相應(yīng)幾率。(2)對二n的本征值為Q(e )cossi

23、n 2.9 iP1 (Sn)=29 4sin e2-cos- e1 2丿 2丿1 (Sn )=對于電子自旋向上態(tài)(s = 12)= 】2h5取值一2的幾率分別為1：sie-12 0二 cos2e sin2.2 二 =sin 2(2 )二y的本征值和本征態(tài)1 1 (I 丸 i/)=話.；人=一 1，/ _()=飛J1 _1 n =1,3,5，其中|11 (1)： (2)|10 = I：(1廠(2) ： (2廠(1)1|1 一1 二-(1) -(2) |00 二 ：(1) ：(2) -：-(1)V2體系基態(tài)能量和波函數(shù)1 ,；-&x2E(x,Sz) = Ne 2|00體系第一激發(fā)態(tài)能量和波函數(shù)1

24、|113Ja2x2E=2 慰屮(xSzj-N2H1tx |102J1-1量子力學(xué)測試題(4)(復(fù)旦2002)1、已知一維運動的粒子在態(tài)(X)中坐標(biāo)x和動量Px的平均值分別為x0和p0， 求在態(tài)(x) =e*0x/ =(x - x0)中坐標(biāo)x和動量px的平均值。解：已知粒子在態(tài)-(x)中坐標(biāo)x和動量px的平均值分別為_ -box=(x)x (x)dx = x -bopx八a廠f、(X)卜 FTP?，F(xiàn)粒子處在(x)態(tài)，坐標(biāo)x和動量Px的平均值x = (x)x (x)dx 二 (x x0)x (x x0)dx二 *(x)(x -X。)- (x)dx =x -x = 0_ -bopx 二.*(x).f

25、-i (x)dx 二 e 泳)ipax_； *(x xa)i i exeP0X(x xo)dxs* s 丿av二 dPax=*(X Xa)-PaeW(X Xa) ep(x x)dxa-bo-p . *(x)一=（x）dxp P0=O2、一體系服從薛定諤方程oo 4 2 丨卜 2m +5+尹-町()=叫2)（1）指出體系的所有守恒量（不必證明）；（2）求基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。解：（1）體系的哈密頓量為2m二22m1 -+ k r4 _r22- - - 1引入質(zhì)心坐標(biāo)R和相對坐標(biāo)r :R =（門 a）2在坐標(biāo)變換r1, r R, r下，體系的哈密頓量變?yōu)橐?，二 m/2容易得知系統(tǒng)的守恒量為E,L

26、2,Lz。（中心力場）2 1 丄.2r22r 2（2）相對運動哈密頓量為Hr 加七kr 2相對運動為三維各向同性諧振子，基態(tài)能量和波函數(shù)為(r)N =0,1,2,3、設(shè)t=0時氫原子處在態(tài)5).ioj0= 210-；211（1）求體系能量的平均值；（2）任意t時刻波函數(shù)* （r,t） ； （3）任意t時 刻體系處在丨=1,m =1態(tài)的幾率；（4）任意t時刻體系處在m = 0態(tài)的幾率解：氫原子定態(tài)能量和波函數(shù)為(1)E =2E1 3 4E25511e240a2E _ eE nan；nlm(r, Rnl(r)Ym, ；：)（2）任意t時刻波函數(shù)屮（r：t） = -2e引&1oo（）+e知竹屮21o

27、（）+J別 211（門）解：(1)由a,a 1=1 得H =cx2e2胚(a a )2e2(a )212a a利用a I n 二、n | n -1a | n二.n 1 | n T -計算微擾矩陣元得2的(a)2 1 2aa|ne 莎(2n D、mn,(n 1)(n2)、m,n 2零級近似能量、一級和二級修正能量分別為E(o)E nE(1) = H，1 n1 1 nnLI Fmne2(0) (0) m e E n E m3【n(n -1)-(n 1)(n2)精確到二級近似的能量值為Enn +1 +.2丿.(2)現(xiàn)求能量精確值+ 1 滄 2x22i 2ex本征能量Ene22 丿 24%3224n

28、71,2,1/21/2n J122c丄.2視為微小量，則En2 扎 一 +8二 Eno) En1)- En2)-E（0） 匚nEn1）二能量精確解的前三項與分別與零級近似能量、一級和二級修正能量相同。5、設(shè)a,a 分別為湮滅算符和產(chǎn)生算符，滿足對易關(guān)系a,a J = 1。體系的哈密頓量為H = Aaa Ba a Ca a D（1）問A,B,C,D滿足什么條件H才是厄密算符？（ 2）求體系的能量。解：（1）容易得知H是厄密算符的條件是 代B,C,D均為實數(shù)，且A二B，則(1)2 +2 +H 二 Aa (a ) Ca a D（2）由（1）式得Ca a a2 （a ）2（H - D）AAb-a，ab

29、a，a 其中,為待定實數(shù)b,b = a a , a a二 2a,a 2a ,a已知a,a =1則得 b, b -b, b與a, a滿足相同的對易關(guān)系b,b=1 則2 - 2 =1計算b b 二( a a(a a ) = 2a a a2 (a )22aa利用a,a =1b b =22)a a a2 (a )22所以2 2a a 2 (a )2丄(b b_ 2)比較(2)式和(3)式，如令則得由此可得如果已知1A(H-D)丄(b b 2)H(bb 2) D則H的本征值為En(n 一 2) D(4)= 0,12現(xiàn)在來求，由于 2飛彳解之得C2 -4A2n =0,1,2,C C2 -4A2C - C2

30、 -4A22 C2 -4A22 .C2 -4A2En = C2 _4A2C - C2 -4A22Jc2 -4A2 D C 2A武漢大學(xué)2002年度研究生入學(xué)考試量子力學(xué)試題選解一. 名詞解釋（4分x 5題）1德布羅意假設(shè)：微觀粒子也具有波粒二象性，粒子的能量e和動量P與波的頻率、和波長之間的關(guān)系，正像光子和光波的關(guān)系一樣，為：=hv =帕p = h / 丸=2.波函數(shù)：描述微觀體系的狀態(tài)的一個函數(shù)稱之為波函數(shù)，從這個波函數(shù)可以得岀體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。3基本量子條件：忍？同=ps陽=?0（,?Pi0p4. 電子自旋：電子的內(nèi)稟特性之一：在非相對論量子力

31、學(xué)中。電子自旋是作為假定由Uhlenbeck和Goudsmit提出的：每個電子具有自旋角動量s，它在空間任何方向上的投影只能取hSz = 兩個數(shù)值：2 ；每個電子具有自旋磁矩 Ms，它和自旋角動量的關(guān)系式：- e -. e島M sS - - M sz42卜。在相對論量子力學(xué)中，自旋象粒子的其他性質(zhì)一樣包含在波動方程中，不需另作假定。5. 全同性原理：在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)。二. 計算題（20分x 4題）二U0,x vOU （x）=丿.粒子以能量E由左向右對階梯勢0,xaO 入射，求透射系數(shù)。討論如下三種情況：（1）- U0E0；（3）E0,但由右向左入射。

32、解：-U0E0 由2:)有限，得b = 0由波函數(shù)連接條件，有：屮；（0）=屮2（0）二 A + A=B， 世2（。）=屮 2（0）= iki（A-A） =-k?BA，iAik； k2B =呂A解得：.ik1 _k2據(jù)此，可分別計算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)J = + |A|2e“JR *|A |2Jd匚；宀2）=01 J R 1| A |/ ikl k2、2( )-1| J | A| iki-k2d-Jd-。I J|滿足r+d = 1二 E - 2,x 0率不為零。類似于光的“全內(nèi)反射”E0寫岀分區(qū)薛定諤方程為:-U E-:1,x： 0=E - 2,x 0令:k

33、i =2%E Uo）h2k2可將上述方程簡化為:d屮idx2d2 2.dx2kj-打=0, x ： 0k/ 2 =0,x0一般解可寫為：=Aeikix+A 丄1x,xc0:iif ik2X 丄 f t Uko x- 2 二 Be 2B e 2 ,x0考慮到?jīng)]有從右向左的入射波，b = 0由波函數(shù)連接條件，有:90）=屮2（0）二 A +A= B 丫2（0）=屮 2（0）= ki（A A） = k2B解得:A_ ki * ki * B二舉 l 匕化據(jù)此，可分別計算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)ki2ki . 2k22J |A| ex, Jr | a | ex, Jd2

34、| B | exUoR _| Jr| _| A&弋)2 E I。e_ | J | _ | A|_(k1 k2)_ ( . E U. E) _ E Uo E)41 J D 1 k2 1 B 1 k2 , 2k1、2D|j Iki |A|k1 k1 k2_4、E(E Uo)(上 Uo E)2滿足R+D=1可見，盡管e0,但仍有粒子被反射。E0,粒子從右向左入射仿，有N =Aeik1X+A1X,xo但b為入射波系數(shù),B為反射波系數(shù)，a 為透射波系數(shù)，a = 0.由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，有 (0) 丫2(。)2(0)二J 2(0) =-&A =k2(B-B)解得:2k2BH k1 k2 0 - & B k

35、1 k2據(jù)此，可分別計算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)k2. 2k22k1 . 2| B | ex, Jr一 I B I ex, Jd一 丨 A 丨 ex2 E Uo -、E)2Uo_|JrI _|B| k1 -k2)2 _ _| J | | B | k1 k2 E Uo E7 仁 E Uo E)4_|Jd | _ &|A | J | k2 |B |k1 k22k2 、2()k2 k1 k24、E(E Uo)(、.E I。 E)2滿足R+D = 1可見，仍有粒子被反射。2 一維諧振子在t= 0時處于歸一化波函數(shù)- (x,0) =1 o(X)C 4(x)所描述的態(tài)中，式

36、中 O(x),2(x),4(x)均為一維諧振子的歸一化定態(tài)波函數(shù)，求:(1) 待定系數(shù)C(2) t= 0時，體系能量的可能取值及相應(yīng)的幾率;(3) t0時，體系的狀態(tài)波函數(shù)(x,t)。(4) t = 0 與 t0 時體系的 x(0),x(t)。解：用Dirac算符C二 3由 J (x,0)r (x,0)二 1可求得 10j ,9 能量可能取值2，2 ，2相應(yīng)的幾率1/2:,1/5,3/10；(x,0)2 |0：1|2C|4因為n= 0,2,4都為偶數(shù)，故宇稱為偶Jgjl0】 x(0)=(x,0)|x(x,0)=(盯)2 八(x,0)|(召？)(x,0) +爲(wèi)4八利用f2(? ?)，有F0|21 2|遵)(?+?如2|0山2八蓿2102 八(x,t)|G ?)(x,t) hx(t) =(x,t)|x(x,t)2甌-0屮=Ne 寸, a =3.若試探波函數(shù)取為，其中N為歸一化波函數(shù)，&為變分參數(shù)，試用變分法求氫原子的基態(tài)能量與基態(tài)波函數(shù)。解：先將波函數(shù)歸一化2 .2(L)22 a_ _ _x2 2e aNs.) 。xdxa1 1 22：(2小而氫原子的哈米頓為亠(，)2