遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的------習(xí)題

1、高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析各種數(shù)列問(wèn)題在很多情形下，就是對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。特別是在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問(wèn)題往往是解決數(shù)列難題的瓶頸。我現(xiàn)在總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，希望能對(duì)大家有幫助。類型1 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法求解。例1. 已知數(shù)列滿足，求。變式: 已知數(shù)列，且a2k=a2k1+(1K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通項(xiàng)公式.類型2 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法求解。例1:已知數(shù)列滿足，求。例2:已知， ，求。變式:（2011，全國(guó)I,理15

2、）已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2，則an的通項(xiàng) 類型3 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例1:已知數(shù)列中，求.變式:（2011，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_變式:（2010. 已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列bn滿足證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（）證明：類型4 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例1:已知數(shù)列中，,，求。變式:（2011，全國(guó)I,理,本小題滿分12

3、分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明：類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。解法一（待定系數(shù)迭加法）:數(shù)列：， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例:已知數(shù)列中，,，求。變式:1.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列 2.已知

4、數(shù)列中，,，求3.已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或解法：這種類型一般利用與消去 或與消去進(jìn)行求解。例：已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.變式:（2011，陜西,理,本小題滿分12分已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an 變式: (2010,江西,文本小題滿分14分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足SnSn2=3求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.類型7 解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列

5、，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列：，求.變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3 (令 (求數(shù)列(設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在試求出 不存在,則說(shuō)明理由.類型8 解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例：已知數(shù)列中，求數(shù)列變式:（2011，江西,理,21本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.變式:（2010,山東,理,22,本小題滿分14分）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1在函數(shù)f(x=x2+2x的圖象上，其中=1，

6、2，3，（1） 證明數(shù)列l(wèi)g(1+an是等比數(shù)列；（2） 設(shè)Tn=(1+a1 (1+a2 (1+an，求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng)；記bn=，求bn數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1 類型9 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例：已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式:（2011，江西,理,本大題滿分14分）1.已知數(shù)列an滿足：a1，且an（1） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2） 證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1a2an2n！2、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、已知數(shù)列滿足時(shí)，求通項(xiàng)公式。4、已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。5、若數(shù)列a中，a=1，a=

7、 nN，求通項(xiàng)a 類型10 解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí),則是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、時(shí)，則是等比數(shù)列。例1：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式. 例2：已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列不存在？變式:（2011，重慶,文,本小題滿分12分）數(shù)列記（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和類型11 或解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解。例：（I）在數(shù)列中，求 （II）在數(shù)列中，求類型12 歸納猜想法解法：數(shù)學(xué)歸納法變式:（2006，全國(guó)II,理,22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項(xiàng)公式 類型13雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采