釘子板上的多邊形

1、釘子板上的多邊形溧陽(yáng)市東升小學(xué)孔麗娟教學(xué)內(nèi)容：五年級(jí)上冊(cè) P108-109探索規(guī)律“釘子板上的多邊形”教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)釘子板上圍城的多邊形的面積，與圍城的多邊形邊上的釘子 數(shù)、多邊形內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系，并嘗試用字母式子表示關(guān)系。2、使學(xué)生經(jīng)歷探索釘子板上圍城的多邊形面積與相關(guān)釘子數(shù)間的關(guān)系的過程， 會(huì)規(guī)律的復(fù)雜性和全面性，體會(huì)歸納思維，體會(huì)用字母表示關(guān)系的簡(jiǎn)潔性，發(fā)展 觀察、比較、推理、綜合和抽象、概括等思維能力。3、使學(xué)生獲得探索規(guī)律成功的體驗(yàn)，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，感受數(shù)學(xué)規(guī)律的奇 妙，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。教學(xué)重點(diǎn)：探索釘子板上多邊形的面積與多邊形

2、邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系 教學(xué)難點(diǎn)：綜合、歸納多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系 教學(xué)過程：一：創(chuàng)設(shè)情境，引出問題出示一個(gè)釘子板實(shí)物，并用橡皮筋圍了幾個(gè)多邊形。問題1:看到這個(gè)，你猜猜我們今天要研究什么？釘子板上的多邊形師：為了研究的方便，我們通常用這樣的點(diǎn)陣圖代替釘子板。每相鄰兩個(gè)釘子之間的距離都是1cm,相鄰4個(gè)點(diǎn)圍成一個(gè)面積是 1cm2出示課件：釘子板上的多邊形，共8個(gè)不同的多邊形。問題2：你想研究釘子板上的多邊形的哪些項(xiàng)目呢？生：多邊形的面積、面積的大小和什么有關(guān)？問題3:你猜想下，釘子板上的多邊形的面積會(huì)有什么因素有關(guān)？生：釘子數(shù)、多邊形邊上的釘子數(shù)、多邊形

3、內(nèi)的釘子數(shù)師小結(jié)：這些多邊形的面積是否和以上的各個(gè)因素有關(guān)呢？下面我們就來研究下這些圖形。二：自主研究，得出猜想問題1:你想怎樣研究？生：畫圖、計(jì)算、數(shù)師：很好，下面我們就來研究影響多邊形面積的因素，我們從最簡(jiǎn)單的一組圖形開始。研究1獨(dú)立完成“釘子板上的多邊形”研究單 11、 學(xué)生通過算一算、數(shù)一數(shù)，完成研究單1;2、師展示學(xué)生的研究單，說一說你的研究過程； 一一學(xué)生自己介紹表格中數(shù)據(jù)的由來。3、觀察分析表格中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？同桌互相說一說個(gè)別的匯報(bào)4、通常我們用S表示面積，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，你能用一個(gè)式子表示上面得 到的關(guān)系嗎？S=n * 2小結(jié)：根據(jù)學(xué)生的研究和匯報(bào)，初步得出

4、多邊形的面積等于多邊形邊上的釘子數(shù)除以三、質(zhì)疑驗(yàn)證，歸納結(jié)論S=n+ 2這個(gè)規(guī)律是否對(duì)釘子板上所有的多邊形都成立呢？應(yīng)該怎么辦？驗(yàn)證1、完成研究單1上面的第二題的兩個(gè)，并填表。2、出示課件上兩個(gè)圖形，再次驗(yàn)證。3、 通過兩次的驗(yàn)證，你有什么發(fā)現(xiàn)？一一發(fā)現(xiàn)S=n十2在其它的多邊形中不成立。4、思考：為什么呢？引導(dǎo)學(xué)生再次觀察四個(gè)圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？同桌互相說一說，再個(gè) 別發(fā)表看法。得出：四個(gè)多邊形內(nèi)部都只有一個(gè)點(diǎn)。5、再次驗(yàn)證：每位學(xué)生再提供的備用點(diǎn)子圖上畫一個(gè)內(nèi)部只有一個(gè)點(diǎn)的多邊形，計(jì)算并觀察多邊形的面積和邊上的釘子數(shù)是否符合S=n十2？6、誰能完整的把剛才的規(guī)律說一說？ 小結(jié)：多邊形的面積不

5、僅僅和邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還和多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)。多邊形內(nèi)的釘子數(shù)用a表示，上面的規(guī)律可以歸納為：當(dāng)a=1時(shí)，S=n十2四、合作探究，得出規(guī)律引入： 多邊形內(nèi)有一枚釘子的情況，同學(xué)們已經(jīng)研究過了，而且找出了一般規(guī)律，那下面 你們想研究什么呢？多邊形內(nèi)有2枚釘子的時(shí)候，面積和釘子數(shù)的關(guān)系。合作交流 ,完成研究單 1 的第二題。1、 首先獨(dú)立畫一個(gè)內(nèi)部?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的多邊形，得出S和n;2、同桌交流，完善表格。3、觀察表格中的S與n的 值，再互相說一說，你有什么發(fā)現(xiàn)？4、個(gè)別同學(xué)匯報(bào)發(fā)現(xiàn)，其他同學(xué)根據(jù)自己的圖形驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)是否正確。小結(jié)： 多邊形的面積不僅僅和邊上的釘子數(shù)有關(guān)， 還和多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)。 多

6、邊形內(nèi)的 釘子數(shù)用a表示，上面的規(guī)律可以歸納為：當(dāng)a=2時(shí)，S=n+ 2+1五、推想、驗(yàn)證，得出規(guī)律引入：當(dāng)a=1時(shí)，S=n十2當(dāng) a=2 時(shí)，S=n+ 2+1猜想：當(dāng)a=3、4、5時(shí)，S與n之間有什么關(guān)系呢？學(xué)生猜想：當(dāng) a=3時(shí)，S=n十2+2當(dāng) a=4 時(shí)，S=n+ 2+3學(xué)生驗(yàn)證：分組研究，分成 4 人小組1 、組內(nèi)確定研究主題： a=3 或者 a=4.2、三人每人分別畫一個(gè)， 并且得出S與n的值，第四個(gè)人匯總并匯報(bào)小組的研究 成果。3、觀察比較分析，研究的結(jié)果和猜想的結(jié)論是否一致？小 結(jié)： 根據(jù)剛才同學(xué)們的研究，我們得到了這些規(guī)律當(dāng) a=1 時(shí)，S=n+ 2當(dāng) a=2 時(shí)，S=n+

7、2+1當(dāng) a=3 時(shí)，S=n+ 2+2當(dāng) a=4 時(shí)，S=n+ 2+3請(qǐng)你說一說當(dāng) a=5 時(shí)，S=當(dāng) a=10 時(shí)，S=問題：你能用一個(gè)含有 S、n、a的式子概括出以上所有的規(guī)律嗎？S=n 2+a-1六：拓展研究，形成體系出示：釘子板上的多邊形實(shí)物圖形，觀察這些多邊形有什么特點(diǎn)？?jī)?nèi)部的釘子數(shù)為 0.即a=0問題：當(dāng)a=0時(shí)，上面的規(guī)律還成立嗎？你是怎么想的？說一說你的想法和結(jié)論。七：總結(jié)收獲，形成方法。說明：我們今天研究的規(guī)律， 就是數(shù)學(xué)上著名的皮克定理 （適當(dāng)介紹）。有興趣的同學(xué)， 可以在網(wǎng)絡(luò)上或書籍里了解皮克定理。 如果有進(jìn)一步認(rèn)識(shí)的要求， 那記住這本書：閔酮鶴的 著作格點(diǎn)和面積，以后有

8、興趣、有條件了，可以去閱讀?；仡欉^程，交流體會(huì)。提問：回顧剛才探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，你有什么體會(huì)和收獲？追問：還有什么疑問嗎？小結(jié)：今天我們一起研究了釘子板上多邊形面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系。在研究的過程中，我們從簡(jiǎn)單情形入手， 通過畫一畫、數(shù)一數(shù)、算一算等方法，經(jīng)歷觀察、比較、猜想、 驗(yàn)證等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。從上面的過程中我們發(fā)現(xiàn)，要從各種不同情況的多邊形中研究， 要善于發(fā)現(xiàn)不同多邊形中的共同點(diǎn)，比如形狀、大小不同的多邊形中都有幾個(gè)釘；發(fā)現(xiàn)的不同關(guān)系式中的共同規(guī)律等。在探索規(guī)律時(shí)，一定要注意認(rèn)真觀察、反復(fù)比較，舉例驗(yàn)證。表 示數(shù)學(xué)規(guī)律一般用含有字母的式子，它具有簡(jiǎn)潔、明了、易記的特點(diǎn)?！搬斪影迳?/p>

9、的多邊形”研究單11厘米圖形編號(hào)多邊形的面積/平方厘米* aA我的發(fā)現(xiàn):圖形編號(hào)多邊形邊上的釘子數(shù)/枚(n).多邊形的面積/平方厘米( s)我的發(fā)現(xiàn):釘子板上的多邊形”研究單2畫3個(gè)多邊形，多邊形內(nèi)有枚釘子，即：多邊形內(nèi)釘子數(shù)a=* 圖形編號(hào)多邊形邊上的釘子數(shù)/枚(n)多邊形的面積/平方厘米(S)我們發(fā)現(xiàn):釘子板上的多邊形反思本內(nèi)容是五年級(jí)上冊(cè)綜合實(shí)踐這一領(lǐng)域的內(nèi)容， 屬于規(guī)律探索類課型。 新教 材安排這一實(shí)踐活動(dòng)的價(jià)值不僅僅在于得出一個(gè)結(jié)論， 而是重在讓學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律 探索的一般過程與方法， 積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)， 培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)的眼光， 科學(xué)嚴(yán) 謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，歸納概括的能力。我是這樣安排內(nèi)容的：第

10、一課時(shí)四大板塊：第一板塊，激趣生疑，直觀感知 多邊形面積既和邊上釘子數(shù)有關(guān)也和形內(nèi)釘子數(shù)有關(guān)。 第二板塊， 學(xué)生探究多邊 形有一個(gè)釘子的情況， 教師是半扶半放的， 學(xué)生形成了畫一畫圖形、 數(shù)一數(shù)面積、 說一說發(fā)現(xiàn)的方法結(jié)構(gòu)。第三板塊，學(xué)生獨(dú)立經(jīng)歷釘子板內(nèi)有 2 枚釘子的情況， 這是個(gè)鞏固運(yùn)用結(jié)構(gòu)進(jìn)行探究的過程。第四板塊，讓學(xué)生開放性的選擇當(dāng) n=3 枚、4枚釘子時(shí)，進(jìn)行合作研究。 學(xué)生已有研究的方法和結(jié)構(gòu)， 速度也快了很多。 然后在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)規(guī)律就顯得水到渠成了。就像霍姆林斯基說： “兒童就其天 性來講，是富有探求精神的探索者，是世界的發(fā)現(xiàn)者” ，所以這節(jié)課學(xué)生始終興 趣濃厚，他們就像個(gè)小科學(xué)家一般， 能獨(dú)立經(jīng)歷整個(gè)規(guī)律探究的過程， 自覺提出 猜想，舉例驗(yàn)證，得到結(jié)論，這對(duì)于他們今后的學(xué)習(xí)也是非常有益的。當(dāng)然，這節(jié)課也有許多我需要反思的： 1、學(xué)生對(duì)于方法結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)不深?？梢栽谘芯慷噙呅蝺?nèi)有 1 個(gè)釘子的情況后，讓 學(xué)生回顧一下， 剛剛我們是怎么來研究的？有了這樣的方法結(jié)構(gòu)， 自然可以遷移 到研究多邊形內(nèi)有多個(gè)釘子的情況。 2、多邊形內(nèi)有一枚釘子的情況，學(xué)生不明白為何要這樣研究，大部分都