11.1選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1、第十一章選修模塊第1節(jié)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)生用書課時(shí)沖關(guān)六十六P2991. （2019太原市質(zhì)檢）已知曲線C1 : X+ 劇=護(hù)和C2：X= 節(jié)0（ 0為參數(shù)）以ly=7 2sin 0原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.把曲線Cl和C2的方程化為極坐標(biāo)方程;設(shè)Ci與X, y軸交于M, N兩點(diǎn)，且線段 MN的中點(diǎn)為P.若射線0P與Ci, C2交于P, Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離.解：(1)曲線 Ci 化為 pcos 0+73 psin 0=/3. pin I0+ 6 尸 y.22曲線C2化為7 +七=1.(*)6 2將 X = pos 0,

2、y= psin 0代入(*)式22得ppcos2 0+ ppsin2 0= 1,即 p(cos2 0 + 3sin20)= 6.曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=1+0(2) M(也,0), N(0,1) , P惶,1) Op的極坐標(biāo)方程為0= n，0=n弋入 pin（0+n申得 p1=1, P,；）0=n弋入P=1+5莎 p=2，Q（2，6 I pQ|= I p p|= 1,即P, Q兩點(diǎn)間的距離為1.x= 2cos 0,2.（2018全國n卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為f（ 0為參數(shù)）,y= 4sin 0a,|x= 1 + tcos直線I的參數(shù)方程為5(t為參數(shù)).y= 2 + ts

3、in a求C和I的直角坐標(biāo)方程;若曲線C截直線I所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2），求I的斜率.x= 2cos 0解：（1）曲線C的參數(shù)方程為5（0為參數(shù)）,y= 4sin 0x= 1 + tcos a直線l的參數(shù)方程為5(t為參數(shù))y= 2+ tsin a 2 = tan a a 90°，即 tan ax y+ 2 tan a= 0，當(dāng) a= 90°時(shí)，x= 1. x 1七tan a y + 2 tan a= 0( a 90 ° : I: $lx= 1( a= 90 °當(dāng)a= 90 °點(diǎn)（1,2）不為中點(diǎn)，.不成立.當(dāng) a 90° 把

4、I 代入曲線 C 中得：4x2+ tan a(x 1) + 22= 16,化簡(jiǎn)得：(4 +tan2a)x2 + (4tan a 2tan2 Rx + tan2 a 4tan a 12= 0,224 + tan a點(diǎn)(1,2)為弦的中點(diǎn)， X1 + X2= 2，即2tan aa= 2, tan a= 2，直線 I 的斜 率 k= 2.3. （2019東三省四市教研聯(lián)合體模擬 ）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1： pcos 0= 3，曲線C2 : p= 4cos 0（0 w 0< n .（1）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo);設(shè)點(diǎn)Q在C2上，O)

5、Q=26P，求動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程.30=±23ocos 0= 3,解：(1)聯(lián)立方程得1得cosp= 4cos 0,n0< 0< 2， cos 0=- P= 2>/3,所求交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2風(fēng) n.設(shè) P(p, 0), Q(p,0)且 po= 4cos 0 ,0,n2)，0j)故點(diǎn)卩的輒±標(biāo)右在力4. (2019石家莊模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程是r=t， (t為參數(shù)),.y= 2t以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p +2 pin 0- 3= 0.(1)求直線I的極坐標(biāo)方程;(2)若直線I與曲線C相交

6、于A, B兩點(diǎn)，求|AB|.解：由"X= t，消去 t 得 y= 2x,y= 2t把嚴(yán)y=jjcos 0,口代入 y= 2x,得 pin 0= 2 pcos 0,pin 0直線I的極坐標(biāo)方程為 sin 0= 2cos 0.曲線 C 的方程可化為 X、2/2_ 設(shè) A(x1, y1), B(X2, y2),貝U X1+ x2= k? + 1 , X1 X2 = "k+ 1,+ y2 + 2y- 3= 0,即 x2+(y+ 1)2= 4,圓C的圓心C(0, - 1)到直線I的距離能力提升組5. (2018全國川卷)在平面直角坐標(biāo)系X= cos 0XOy中，O O的參數(shù)方程為5,

7、 (0為參y= sin 0數(shù))，過點(diǎn)(0，-® 且傾斜角為a的直線I與O O交于A, B兩點(diǎn).(1)求a的取值范圍;求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.解：(1)根據(jù)O O的參數(shù)方程，可得OO的直角坐標(biāo)方程為X2+ y2= 1,a= n寸，直線l與圓O O交于兩點(diǎn).當(dāng) a n時(shí) tan a= k設(shè)過點(diǎn)(0,-72)的直線為y= kx-/2，要使直線與O O相交于兩點(diǎn)，則d = +X2i<1.心+ 1故 k ( 8,- 1)U (1，+ 8)二 a,X1 + X2故X =2= k2+ 1, y= k2+ 1 Pk2+ 1迄k= tana,(2)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(X, y),聯(lián)立方程廣y2

8、=；得(k2+ 1)x2-2屁+ 1 = 0.ly= kx-y 2,點(diǎn)p的軌跡的參數(shù)方程為p2tan aX 1 + tan a=色y= 1 + tan a，6. （2019桂林聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸,長(zhǎng)度單位相同，建立極坐標(biāo)系，直線I的參數(shù)方程為X= tcos a,:4 (t為參數(shù)，a為I的傾斜jy = y0 + tSin a角），曲線E的極坐標(biāo)方程為P= 4sin 0,射線0= 3 0= 3+n 0= 3-n與曲線E分別交于不6 6同于極點(diǎn)的A，B, C三點(diǎn).(1)求證：|OB 1+ OC| = V3oA|;當(dāng)3= 3時(shí)，直線I過B, C兩點(diǎn)，求y。與a的值.解：證明：依題意知，|OA|= 4sin 3|OB|= 4sin|OC| = 4sin(3- n,則