階段質(zhì)量檢測數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

1、階段質(zhì)量檢測（五）數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入、選擇題（本大題共（時間120分鐘，滿分150分） 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1. i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)解析：選B7-i 7-i 3- i3 + i1020 10i= 2i.2.已知復(fù)數(shù)i3z=1 + 2i f（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析：選C因為4 3iz=3 4i 3 4i 3+ 4i 25i 3+ 4i43. i2525i，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第三象限，故選C.3.若復(fù)數(shù)z滿足（z 3）（2 i） = 5（i為虛數(shù)單位

2、），則z的共軛復(fù)數(shù)解析：選D 因為（z 3）（2 i）= 5，所以z 3 = 一目52+ i2 i 2 i2 + 廣 2+ i，所以z= 5 + i,所以z = 5 i.2 z4.設(shè)復(fù)數(shù)z= 1 i（i為虛數(shù)單位）,z的共軛復(fù)數(shù)是z，則z 等于（A. 1 2iD . 1+ 2iC. 1 + 2i解析：選C由題意可得彳二=2 1+ iz 1 i5.已知a R, i是虛數(shù)單位.若 z= a + 3 i, z -z = 4,貝U a=()A. 1或1B . - 7或 7C. 3D. 3解析：選A 法一：由題意可知z = a 3i,'z -z = (a+ 3i)(a 3i) = a2+ 3=

3、4,故 a= 1 或一1.法二：z = |z|2= a2 + 3 = 4, 故 a= 1 或一1.6.已知復(fù)數(shù)z1= 2+ ai際R), z2= 1 - 2i，若豈為純虛數(shù)，則|z1|=()A. 2B .3D. 5z12+ ai (2+ ai (1 + 2H 2 2a+(4+ a j解析：選D由于空=z1 2i 1 2i 1 + 2i為純虛數(shù)，則a= 1,則|z1|=5,故選D.7.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z1= a+ 2i, z2= 2 i,且|z1|= |z2|,則實數(shù)a的值為()C.1或一1D. ±1 或解析：選C因為復(fù)數(shù)可=a + 2i, z2= 2 i,且|引=也|,所以 a

4、2 + 4= 4 + 1,解得 a= ±,故選C.8.已知復(fù)數(shù)1z= 1 +"23i,貝V z + |z|=(C2+解析:D 因為 z=，所以 z + |z|= 1 -23i+：2+ 232=2-子i.9.設(shè)z= (2t2+ 5t 3) + (t2+ 2t+ 2)i, t R，則以下結(jié)論正確的是()A. z對應(yīng)的點在第一象限B . z一定不為純虛數(shù)C. z對應(yīng)的點在實軸的下方D . z一定為實數(shù)解析：選C'.t2+ 2t+ 2= (t+ 1)2+ 1> 0,/z對應(yīng)的點在實軸的上方.又T z與三對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱.10.復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)丄在復(fù)平面上的對應(yīng)點分別是A

5、, B，若O為坐標(biāo)原點，則/3+ iAOB等于(nA A. 6nd. n10 10'解析：選它在復(fù)平面上的對應(yīng)點為 B，-，而復(fù)數(shù)2+ i在復(fù)平面上的對應(yīng)點是A(2,1),顯然 AO= 5, BO =嚅，AB = 0°.2 2 2AO + BO AB 逅 由余弦定理得cosZAOB=2AO BO =n"OB p故選b.11.已知z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，z+ z + z -z = 0,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是()A 圓C 雙曲線B 橢圓D .拋物線解析：選 A 設(shè) z= x+ yi(x, y 駅)，貝U z = x yi,2 2代入 z+ z + z -z =

6、 0, 得 x+ yi+ x yi+ x + y = 0,即 x2+ y2 + 2x= 0,整理得(x + 1)2+ y2= 1. 復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是圓.12.已知復(fù)數(shù) z= (x 2) + yi(x, y R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量的模為3,則乂的最大值A(chǔ).D. 31C.1解析：選 D 因為 |(x 2) + yi|= 3，所以(x 2)2+ y2 = 3,所以點(x, y)在以C(2,0)為圓心，以，3為半徑的圓上，如圖，由平面幾何知識一.3Wy< 3.、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確的答案填在題中的橫線上)y2 i313.計算：1 ,2廠.解析：

7、4=上！=丄±!丄蘭.1 血 1逅(1 逅 1 +逅)2+ 2i+ i + 2i2答案：i14. i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1 2i)(a+ i)是純虛數(shù)，則實數(shù) a的值為.解析：由(1 2i)(a + i)= (a+ 2) + (1 2a)i 是純虛數(shù)可得 a + 2= 0,1 2a 0，解得 a=2.答案：215. 設(shè)復(fù)數(shù) a+ bi(a, b R)的模為衍，則(a+ bi)(a bi) =.解析：-.|a + bi|= a2+ b2= 3,2 2(a+ bi)(a bi) = a2+ b2= 3.答案：316. 若關(guān)于x的方程x2+ (2 i)x+ (2m 4)i = 0有實數(shù)根，

8、則純虛數(shù)m =.解析：設(shè) m= bi(bR 且 b 0),貝U x2 + (2 i)x + (2bi 4)i= 0,化簡得(x2+ 2x 2b)+ (x2+ 2x 2b= 0,x = 4,x 4)i = 0,即卩解得故 m= 4i.I x 4= 0,lb = 4,答案：4i三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演 算步驟)17.(本小題滿分10分)已知復(fù)數(shù)zi= 2 3i, Z215-5i求:(1)ZlZ2；(2)Z1.Z2解:15 5i 15 5i f15 5i f3 4i 25 75i因為 Z2=2='= 1 3i,(2+ ij 3+ 4i(3+

9、4i (3 4i)25所以(1)Z1Z2= (2 3i)(1 3i)= 7 9i.Z123i2 3i 1 + 3i11+ 3i113Z213i1 3i 1 + 3i 1010+10i.18. (本小題滿分12分)設(shè)復(fù)數(shù)z= lg(m2 2m 2)+ (m2+ 3m + 2)i(m R)，試求m取何值時？(1) z是實數(shù).(2) z是純虛數(shù).(3) z對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第一象限.解：(1)由m2 + 3m+ 2= 0且m2 2m 2>0,解得 m= 1或m = 2，復(fù)數(shù)表示實數(shù).(2) 當(dāng)實部等于零且虛部不等于零時，復(fù)數(shù)表示純虛數(shù).由 lg(m2 2m 2) = 0，且 m2 + 3m+

10、 2工0,求得m= 3,故當(dāng)m= 3時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).2 2(3) 由 lg(m 2m 2)> 0,且 m + 3m+ 2> 0,解得 mv 2 或 m> 3,故當(dāng) mv 2 或 m>3時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第一象限.19. (本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足(1 + 2i) z = 4 + 3i.(1) 求復(fù)數(shù)z;(2) 若復(fù)數(shù)(z+ ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù) a的取值范圍.解：(1)-.(1 + 2i)7 = 4+ 3i,4+ 3i 4+ 3i 1 2i 10 5i z = 2 i ,.z= 2+ i.1+ 2i 1+ 2i 1 2i

11、5(2)由(1)知 z= 2 + i,則(z+ ai) = (2 + i + ai) = 2 + (a + 1)i = 4 (a+ 1) + 4(a+ 1)i,-復(fù)數(shù)(z+ ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限,4 a+ 1 >0, 解得1<a<1,4 a+ 1 >0,即實數(shù)a的取值范圍為(一1,1).20. (本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)zi滿足(1 + i)zi= 1 + 5i, z?= a 2 i,其中i為虛數(shù) 單位，a R，若國一z2 |<|乙|,求a的取值范圍.1 + 5i解：因為 Zj = 2 + 3i, Z2= a 2 i, Z2 = a 2+ i,1

12、 + i所以 |Z1云 |= |(2+ 3i) (a 2+ i)| = |4 a+ 2i|=,4 a2+ 4,又因為 |Z1|= 13, |Z1 z2 |<|Z1|,所以-4 a 2+ 4< 13,所以 a2 8a+ 7<0,解得 1<a<7.所以a的取值范圍是(1,7).21. (本小題滿分12分)設(shè)z為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，滿足|z z |= 2 3.(1) 若z為純虛數(shù)，求乙若z 72為實數(shù)，求|z|.解：(1)設(shè) z= bi(bR 且 bM0)，貝y "z = bi,因為 |z "z |= 2.3,則 |2bi| = 2 3，即 |b|=

13、3,所以 b= ±.3，所以 z= ±.3i.(2) 設(shè) z= a + bi(a, bR)，貝U z = a bi,因為 |z "z |= 2.3,則 |2bi| = 2 3，即 |b|= 3,因為 z z 2= a+ bi (a bi)2= a a2+ b2 + (b+ 2ab)i.z 72為實數(shù)，所以 b+ 2ab = 0.因為|b|= .3,所以a= ,所以 |z|=2)+( ±32=字.22.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|= 2, z2的虛部是2.(1) 求復(fù)數(shù)z;(2) 設(shè)z, z2, z z2在復(fù)平面上的對應(yīng)點分別為A, B,。求厶ABC的面積.解：設(shè)z= a + bi(a,bR),貝Uz2= a2 b2+ 2abi,由題意得a2 + b2=2 且 2ab=2,解得 a= b= 1 或 a = b= 1,所以 z