微分與不定積分

1、安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院實(shí)變函數(shù)電子教案第9頁(共8頁)第六章微分與不定積分(總授課時(shí)數(shù)8學(xué)時(shí))在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)了微積分學(xué)基本定理：dX(1 )若 f(x)在a,b上連續(xù)，則(R)f f(t)dt) = f(x)dx 'a,X(2)若 F(X)在a,b上連續(xù)，則(R) Ja F'(t)dt =F(x)-F(a) 本章的主要目的是要在Lebesgue積分理論中推廣這一結(jié)果.XX 丄X主要內(nèi)容：F(x) =(L)f (t)dt =(LH f中(t)dt-(L” f -(t)dt為兩個單調(diào)不減函怕.aa數(shù)的差.所以要討論f(X)的變動上限函數(shù) F(X)的可微性，我們只需討論

2、單調(diào)函數(shù)的可微性.單調(diào)函數(shù)的可微性：單調(diào)函數(shù)幾乎處處有有限導(dǎo)數(shù).有界變差函數(shù)(即兩個單調(diào)不減函數(shù)的差).但是單調(diào)函數(shù)(有界變差函數(shù))先微分后積分不能還原.所以我們進(jìn)一步研究絕對 連續(xù)函數(shù)(即能寫成不定積分形式的函數(shù))，在絕對連續(xù)的條件下，牛頓一萊布尼茲公式得以推廣.§ 1單調(diào)函數(shù)的可微性教學(xué)目的1、了解維它利(Vitali )覆蓋與維它利定理。2、了解單調(diào)函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)集的特點(diǎn)，記住單調(diào)函數(shù)的微分定理 掌握單調(diào)函數(shù)的微分定理.本節(jié)要點(diǎn)本節(jié)難點(diǎn)Cantor函數(shù)的性質(zhì).授課時(shí)數(shù)2學(xué)時(shí)、維他利(Vitali )覆蓋1、定義設(shè)EUR1，V = I是長度為正的區(qū)間族，如果對于任何的名0，存在區(qū)間

3、lx EV，使xlx且mlx< J則稱V依維他利(Vitali)意義覆蓋E簡稱E的V 覆蓋.注：定義的等價(jià)形式為：對于任何的X亡E，存在一列區(qū)間lxUV，使 X亡 lx，n = 1,2jll,且 mIxT 0（ nT 處）.2、定理1 (維他利(Vitali)覆蓋定理)1 *設(shè)EuR且mEv處，V是E的V 覆蓋，則可選出區(qū)間列l(wèi)xuV，使各lx互不 相交且 m(E U'k) =0.二、單調(diào)函數(shù)的可微性定理2 設(shè)f(x)是a,b上的單調(diào)函數(shù)，則(1)f'(x)在a,b上幾乎處處存在有限導(dǎo)數(shù);(2)f'(x)在a,b上可積;(3)如果 f (x)為增函數(shù)，有a b f

4、 '(x)dx < f (b) - f (a).注：等號不一定成立，即使f (x)是a,b上的連續(xù)單調(diào)不減函數(shù)，例如Cantor函數(shù).Cantor函數(shù)日(x)(Cantor集為三等分去掉中間一個開區(qū)間，如此過程一直下去)a)在G =0,1 -P的各構(gòu)成區(qū)間上，在第n次去掉的2n-1個開區(qū)間上依次取值為13 52n -1尹，尹，班川b)規(guī)定日(0) =0,日(1)=1 ;c)當(dāng) x<P- 0,1時(shí)，規(guī)定日(x)=su pe(t):"G 且 tex,稱 0 (x)為0,1上的 Ca ntor0,稱£(x)為顯然在0,1上單調(diào)不減，從而為有界變差函數(shù)，并且導(dǎo)函

5、數(shù)幾乎處處為0,1上的Cantor函數(shù)，有qpgdxFCd)-8(0).我們還可以證明 Cantor函數(shù)在0,1上連續(xù).否則，若9(x)在x (0,1)處不連續(xù)，則開區(qū)間(8_(X0)e(X0)或(日(X0), 9+(X0)非空，此區(qū)間中的每個數(shù)都不屬于e(x)的值域，這與日(G)=0,1矛盾。(端點(diǎn)情形類似說明).注：Can tor函數(shù)把長度為零的集合連續(xù)拉長成長度為1的集合作業(yè)：P1751練習(xí)題1設(shè)開區(qū)間上的兩個單調(diào)增加函數(shù)，若在一個稠密子集上相等，則他們具有相同的可微分點(diǎn)2設(shè)對任何n , fn(x)是a,b上的增函數(shù)，且在a,b上處處收斂于連續(xù)函數(shù)f(x)，則收斂是一致收斂.§

6、 2有界變差函數(shù)教學(xué)目的 本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)難點(diǎn) 授課時(shí)數(shù)熟悉有界變差函數(shù)的定義及性質(zhì)，深入理解單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系 有界變差函數(shù)的概念，變差函數(shù)的性質(zhì)Jordan 分解定理.有界變差函數(shù)的概念的理解.2學(xué)時(shí)1曲線的求長:定義1 (弧長)設(shè)C是平面上一條連續(xù)弧，X =W(t), y =屮(t)° <t < P，是它的參數(shù)表示，這里W(t)，屮(t)為a,P上的連續(xù)函數(shù)，相應(yīng)于區(qū)間ot,P的任一分法T: a =to cti 川 <tn，得到 C上一組分點(diǎn) x=W(t),y=屮(t), R =(半(ti),屮(ti),i =0,1,2川I n,設(shè)依次連接各分點(diǎn)P所得

7、內(nèi)接折線的長為L(T)，如果對于gP的一切分劃T， L(T)成一有界數(shù)集，則稱 C為可求長的，并稱其上確界L = sup L(T)為C之長.T現(xiàn)在來研究連續(xù)弧可求長的充要條件 首先，折線長n1L(T) =2 爐(ti) N(ti J +Zti) -屮(tijV由于nn2 |W(ti)-®(ti4)| 和 S I屮(ti)-屮(tiJI都i rnin1乞送(®(ti)-®(tiG2 +(屮(ti)-屮(tiSVi ztnn蘭送 |®(ti)-%|+送 I屮(ti)-屮(tiJIiz1i=1nn所以L(T)有界二V分劃T，送|W(ti)®(ti_,

8、)|及送I屮(ti)-屮(ti_,)|均為有界數(shù)i#i#集.2有界變差函數(shù)設(shè)f(x)是a,b上的有限函數(shù)，在a,b上任取一分點(diǎn)組 P a -x。丈禺曰|( < x b,bnb稱 V(f , P) =1 | f(G -f(Xi_,)| 為 f(x)對分點(diǎn)組 P 的變差，稱 V(f) =s up V(f , P): P為a,b的分點(diǎn)組為f(x)在a,b的全變差.b若V(f)<p，則稱f (x)為a,b上的有界變差函數(shù). a注：(1)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)一定是有界變差函數(shù).因?yàn)閷τ赩分劃P,bnV(f, P)=2 | f(Xi)-f(Xi)|=| f(b)-f(a)|ay所以1V(f)=|

9、 f(b)-f(a)|(2)連續(xù)函數(shù)不一定是有界變差函數(shù)(o,1X =0I兀如:I x cos f(x) »10對0,1取分劃T:笛 *2n-1<1,1V(f,T) =2 | f(Xi)-f(XiG| = 2：-0IyiT I從而V(f)03 Jorda nf(x)不為a,b上的有界變差函數(shù).其中定理分解定理f (x)是有界變差函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)可表成兩個非負(fù)單調(diào)不減函數(shù)的差.即f(X)= f1(x) - f2(x)1 xf1(x)=2(V(f) + f(x)+| f(a)|)f2(x) = ；(V(f) f(x)+ |f(a)|)2 a注：由于單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)全體為一可數(shù)

10、集，從而有界變差函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)為一可數(shù)集，故Riemann可積，并且?guī)缀跆幪幋嬖谟邢迣?dǎo)數(shù) .推論：設(shè)f(x)為a,b上的有界變差函數(shù)，則(1) f (x)在a,b上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù) f(X)；(2)f(X)在a,b上可積.作業(yè)：P1752練習(xí)題1證明函數(shù)2兀I X cos X H 0 f(x)詔I10為區(qū)間0,1上的有界變差函數(shù).2試證函數(shù) f(X)在a,b上為有界變差函數(shù)的充要條件是，存在一個單調(diào)增加的函數(shù) 9( X)，使對任意的a Wxj <X2蘭b有不等式成立f(X2)-f(Xi) <®(X2)-®(Xi).3設(shè)a是一實(shí)數(shù)，函數(shù)I料1上lx sin0cx&

11、lt;1f(X)十 Xo x = 0當(dāng)a取什么值時(shí)，f (X)是0,1上的有界變差函數(shù).§ 3不定積分教學(xué)目的1、理解絕對連續(xù)函數(shù)定義與性質(zhì)，以及它與有界變差函數(shù)的關(guān)系.絕對連續(xù)函數(shù)，不定積分，牛頓-萊布尼茲公式.2、領(lǐng)會L積分意義下的牛頓一萊布尼茲公式，掌握絕對連續(xù)函數(shù)與不定積分之 間的關(guān)系.本節(jié)要點(diǎn)絕對連續(xù)函數(shù)概念的理解及L積分意義下的牛頓一萊布尼茲公式2學(xué)時(shí)本節(jié)難點(diǎn)授課時(shí)數(shù)、不定積分定義：(不定積分)設(shè)f(x)在a, b上L可積,x則a,b上的函數(shù) F(x)= f f(t)dt + CJa(C為任一常數(shù))稱為f (x)的一個不定積分.因?yàn)閤xF(x)=(L)a f(t)dt=(

12、L)Ja不定積分F(x)是有界變差函數(shù)，但由Can tor函數(shù)(是有界變差函數(shù))知道，先取導(dǎo)數(shù)再取積分并不能返回，問什么函數(shù)滿足此性質(zhì)?、絕對連續(xù)函數(shù)設(shè)F(x)是a,b上的有限函數(shù)，若 Vs >0,36 > 0,使對a,b中的任意有限個互不相交nn的開區(qū)間(ai，bi)(i =1,2,川，n)當(dāng) S Q -aJwS 時(shí)有 S | F (bj - F 佝)| c si=iy則稱F(x)是a,b上的絕對連續(xù)函數(shù).也一定是有界變差函數(shù)，從注：絕對連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)函數(shù)，當(dāng)然是連續(xù)函數(shù), 而幾乎處處有有限導(dǎo)數(shù).定理1若f (x)在a,b上的可積函數(shù)，則xF(x) = f(t)dt+C為

13、絕對連續(xù)函數(shù).Lebesgue不定積分與微分的關(guān)系定理2定理3x(L) f F'(t)dt =F(x)-F(a)a若 f (x)在a,b上 Lebesgue 可積，則 一(L)f (t)dt) = f (x) ae于a,b. dx a若F(x)在a,b上絕對連續(xù)，則推論F(x)在a,b上絕對連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)存在a,b上的可積函數(shù)f(x)，使xF(X)=【a 四、L積分的分部積分法定理4設(shè)f (x)在a,b上絕對連續(xù)函數(shù)，A(x)在a,b上可積且xbb bg(x) g(a) = ><t)dt，則 f f (x)g'(x)dx = f (x)g(x) 1； g(x)f

14、9;(x)dx“a“a“a證明略.作業(yè)：P1753，4，5，6練習(xí)題1討論函數(shù)I1Ixsi nR 0cx<1 f(x)詔xPo x = 0當(dāng)P >0時(shí)的有界變差性，絕對連續(xù)性f (x)為增函數(shù).2若f(x)在a,b上為絕對連續(xù)函數(shù)，且?guī)缀跆幪幋嬖诜秦?fù)導(dǎo)數(shù)，則§ 4、斯蒂爾切斯(Stieltjes)積分教學(xué)目的念.本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)難點(diǎn) 授課時(shí)數(shù)了解黎曼-斯蒂爾切斯積分概念及性質(zhì)，了解勒貝格-斯蒂爾切斯測度與積分概黎曼-斯蒂爾切斯積分、勒貝格-斯蒂爾切斯測度與積分概念 黎曼-斯蒂爾切斯積分、勒貝格-斯蒂爾切斯測度與積分概念 2學(xué)時(shí)黎曼-斯蒂爾切斯積分也稱斯蒂爾切斯積分，是黎曼積

15、分的一種推廣.通常利用黎曼積分可以計(jì)算幾何形體的面積、體積，物理和力學(xué)中的功、能，物體的重心及轉(zhuǎn)動慣量以及更一般的矩等等.如果考慮a,b上分布的一些質(zhì)量對a,b外某點(diǎn)c的矩，一般可以用黎曼積分來計(jì)算.但是，當(dāng)質(zhì)量的分布沒有密度函數(shù)時(shí)，黎曼積分就失效了 .因此，斯蒂爾切斯積分應(yīng)運(yùn)而生.20世紀(jì)以后，斯蒂爾切斯積分獲得了廣泛的應(yīng)用.隨著黎曼積分發(fā)展為勒貝格積分，斯蒂爾杰斯積分也發(fā)展成為勒貝格-斯蒂爾切斯積分.、黎曼-斯蒂爾切斯積分定義(S積分)設(shè)f(x), (x)為a,b上的有限函數(shù)，對a,b作一分劃a =x0 <X1 <X2吒川<Xn =b及屬于此分劃的任一組 “介點(diǎn)” q q

16、Xi'X (i =12llln) 作和數(shù)(叫做Stieltjes和數(shù))S f (勺)伴(人十)-申(x )i =0如果當(dāng)6仃)T 0時(shí)，這和數(shù)總趨于一確定的有限極限(不論T如何分法，也不論介點(diǎn)取法如何)，則稱f (x)在a,b上關(guān)于®(x)為S可積分的，此極限叫做f(x)在a,b上關(guān)于®(x)的S積分，記為ff(x)d%x).9安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院實(shí)變函數(shù)電子教案注：當(dāng)護(hù)（X）=x +C （ C為常數(shù)）時(shí)，這個積分就是 f（x）的黎曼積分.可見S積分是R積分的一種推廣.定理1（ 1）bbbJaf1(X)+ f2(X)d®(X)= a f1(X)d

17、W(X)+ Ja f2(X)dW(X)；bbba f(X)d伴(X)+®2(X) = Ja f(X)d®1(X)+ Ja f(X)d®2(X)；bb設(shè) k,l 為常數(shù)，則 f kf (x)d(®(x) = kl f f (x)d®(x)JabbCb設(shè) a cccb，則 f f(x)d®(x) = f f (x)d®(x) + f f (x)d®(x)aac、勒貝格-斯蒂爾切斯測度與積分設(shè)W （x）為定義在R1上的有限增函數(shù)，對任何開區(qū)間 I =（x,x'），稱護(hù)（x'）-®（x）為區(qū)間 I 的“權(quán)”，記為 I =W(x') -W(x).C定義1 （ L-S外測度）對任一點(diǎn)集EUR1，非負(fù)實(shí)數(shù) 陋送I h I稱為E關(guān)于分布 E常li T函數(shù)W（X）的L - S外測度，記為mE顯然,當(dāng)申（x）=x時(shí)，L-S外測度便成為L外測度.L-S外測度與L外測度有相同的基本性質(zhì)定義2 （ L - S可測集及測度）設(shè)EUR1,滿足以下條件：對任何T U R1 ,總有*cmqJ