概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式(全)

1、第1章 隨機事件及其概率m!（1）排 列組合 公式Plgn)!從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。Cn _m!匕m n!(m -n)!從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n（2）加 法和乘 法原理某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由 m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mx n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由 m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由mX n種方法來完成。（3）一 些常見 排列（4）隨 機試驗 和隨機 事件重復排列和非重復排列（有序）

2、對立事件（至少有一個）順序問題如果一個試驗在相同條件下可以重復進行,而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件, 它具有如下性質(zhì)： 每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；（5）基 本 事 件、樣 本空間 和事件 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用O來表示。基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用C表示。一個事件就是由 0中的部分點（基本事件 © ）組成的集合。通常用大 寫字母A

3、, B, C,表示事件，它們是 O的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件； 同理，必然事件（Q）的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然 事件。關系：如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，（A發(fā)生必有事件 B發(fā)生）：AU B（6）事 件的關 系與運 算如果同時有 AU B，B二A，則稱事件 A與事件B等價，或稱A等于 B： A=BA B中至少有一個發(fā)生的事件：aUb，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也可表示為 A-AB或者AB，它表示 A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A B同時發(fā)生：AB,或

4、者ABB=?，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。Q-A稱為事件A的逆事件，或稱 A的對立事件，記為 A。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C)n (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC) 德摩根率：n Ai=u Aiy yRB = AnB , OTb = AU B設。為樣本空間，A為事件，對每一個事件 A都有一個實數(shù)P(A), 若滿足下列三個條件：0 < P (A) < 1 ,(7)概 率的

5、公 理化定 義P( Q ) =1A1, A2，有對于兩兩互不相容的事件P仃 Ai =5： P(Ai)(i 4丿常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。12° p (仞1)= P®2)=P ®n)=-。(8)古 典概型n設任一事件A，它是由© 1,©2m組成的，則有P(A)=q©1)U2)U U(oOm) = P(01)+ P©2)中+P ®m)m A所包含的基本事件數(shù) 基本事件總數(shù)(9)幾 何概型咻“譜。其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。若隨機試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，

6、同時 樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述， 則稱此隨 機試驗為幾何概型。對任一事件 A,(10) 加法公 式P (A+B)=P( A)+P(B)-P(AB) 當 P(AB) = 0 時，P(A+B)=P(A)+P(B)(11 )減法公 式當 A=Q 時，P( B)=1- P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB) 當 BUA 時，P(A-B)=P(A)-P(B)(12)條件概定義 設A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件P(A)下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A) = P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概

7、率。例如 P( Q /B)=1 = P( B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公 式乘法公式：P( AB) = P(A) P(B/A)更一般地，對事件 A1, A2,An,若P(A1AA-1)>0，則有P(A1A2 An) = P(A1 )P(A2| A1)P(A3| A1A2)P (An | A1 A2 . An -1)。兩個事件的獨立性B滿足P(AB) = P(A)P(B)，則稱事件A、B是相互設事件A、 獨立的。若事件A、(14)獨立性(15)全概公 式B相互獨立，且P(A)0，則有P (B|A)=P = P (A) P(B)= P(B)P(A) P(A) _若事件A、B相互獨立

8、，則可得到A與B、A與B、A與B也都相互獨立。必然事件0和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A) 并且同時滿足 P (ABC)=P(A) P(B) P(C) 那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。設事件B1,B2,Bn滿足B1,B2,，Bn 兩兩互不相容，P(Bi)>0(i =12 ,n),nAuU Bii 二2°則有P(A) =P 冋 P(A| B1)+ P(B2 )P (A| B2)+ +P (Bn)

9、 P(A| Bn)。設事件B1, B2 ,，Bn及A滿足B1, B2,，Bn兩兩互不相容，P (Bi)>0, i = 1, 2,(16)貝葉斯公式2°則nAU U Bi V , P(A)>0 ,P(Bi/A)=nP(Bi)P(A/Bi)，i=1，2，n。2 P(Bj)P(A/Bj) j #此公式即為貝葉斯公式。P(Bi) , ( i =1 , 2，n),通常叫先驗概率。P (Bj/A) , ( i=1 ,2，n ),通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。我們作了 n次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試

10、驗是重復進行的，即 A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗 A(17)伯努利概型發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗。用P表示每次試驗 A發(fā)生的概率，則 A發(fā)生的概率為1 -P = q，用Pn(k)表示n重伯努利試驗中 A出現(xiàn)k(0 < k < n)次的概率,r /I 亠 k k n _kPn(k)=CnP q k =0,12，n。第二章隨機變量及其分布(1)離散型隨機變量的分布律設離散型隨機變量 X的可能取值為X(k=1,2,)且取各個值P(X=Xk)=p k, k=1,2,，則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布或

11、分布律。有時也X| X1,X2，xk,P(X =xk) 1 P1, P2,pk,。顯然分布律應滿足下列條件：S pk = 1(1) Pk 30 , k 二1,2，,(2)km。(2)連續(xù)型隨機變量的分布密度設F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)f(x)，對任XF(xWf(x)dx則稱X為連續(xù)型隨機變量。f(X)稱為X的概率密度函數(shù)或密度密度函數(shù)具有下面 4個性質(zhì)：1°f(x)>0。2°Lf(x)dx = 1。(3)離散與連續(xù)型隨機變量的關 系P(X = X)是 P(x C X < X + dx)止 f (x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機變量理論中

12、所起的作用與P(X=:泊松分布為二項分布的極限分布(np=, n78)。(4)分布函數(shù)設X為隨機變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù)F(x) = P(X <x)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。P(a < X <b) = F(b)-F(a) 可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b分布函數(shù)具有如下性質(zhì):0 < F(X)< 1,處 C X V +處；2°3°F (x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即X1 C X2時，有 F (xi) <F (-比)=lim F(x) = 0, F (+必)=lim F (x) = 1F(x + 0) = F(x)，即F(x)是右

13、連續(xù)的;P(X =x) = F(x)-F(x-0)。對于離散型隨機變量，F(xiàn)(x) = S pk ；Xk童x對于連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)= f f (x)dx 。(5)八大分布0-1分布P (X=1)=p, P (X=0)=q在n重貝努里試驗中，設事件 A發(fā)生的概率為P。事件AP(X =k) =Pn(k) = ck pkqZ其中 q = 1 P,0c p設隨機變量X的分布律為泊松分布則稱隨機變量 X服從參數(shù)為n , P的二項分布。記為 X 當 n = 1時，p(x=k) = pkqJ, k = 0.1，這就是(0,ZkP(X =k)= ef, A >0, k =0,1,2,k!則稱隨機變量

14、 X服從參數(shù)為A的泊松分布，記為 X (超 幾 何 分 布 幾 何 分 布 均 勻 分 布P(X=cM cN3 k = 0,1,2，ICN I = min(M ,n)隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,P(X= k) = qkp,k=123 ，其中 pA 0, q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。設隨機變量X的值只落在a , b內(nèi)，其密度函數(shù)f(X)在f(x)11aw X w b= b - a，【0,其他,則稱隨機變量 X在a , b上服從均勻分布，記為XU(a,分布函數(shù)為0，F(xiàn)(x)X -ab 一 a JXr=Jf(x)dx =1,aw x&l

15、t; bx>b。x<a,xi<X2W b時，X落在區(qū)間(x1, x2)內(nèi)的概率為P(XiXo 一 x1cX VX2)= 21 。b a指 數(shù) 分 布f(0,x>0x<0J其中A >0，則稱隨機變量 X服從參數(shù)為k的指數(shù)分布。 X的分布函數(shù)為x>0F(x)Jx<0。記住-beJxn0積分公式:dx = n!(6)分位數(shù)正 態(tài) 分 布分布函數(shù)為設隨機變量X的密度函數(shù)為13IF A 2f(x)=peF其中卩、b >0為常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為f(X)具有如下性質(zhì):1° f(x)的圖形是關于x = P對稱的;12°當x =

16、 »時，為最大值;2J22若X N(10 :X，則X2的分布函數(shù)為F(x) = f e dt42 =參數(shù)b m2時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為1，一處 C X < +處，t22 dt o1 x(X)Je _J2兀壬e(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。1(-X) = 1-(x)且(0) = O2 X -2如果 X N(A,cr2)，則N(0,1) OP(X1 <X<X2)=。一下分位表：P(X<4a)=a；上分位表：P(X>4a)=«o(7)函數(shù)分布已知X的分布列為x1, X2,xn,的分布列(yg(Xi)互不相等)如下:g

17、(xi), g(x2),g(xn),P(X =Xi) p1, p2,pn,Y =g(x)Y P(Y = yi)12 . n .若有某些g(Xi)pjt等，則應將對應的T' pj相加作為g(xi)的概先利用X的概率密度fx(x)寫出丫的分布函數(shù)FY(y) = P(g(1)聯(lián) 合分布離散型如果二維隨機向量t (X, Y)的所有可能取值為至多可設匕=(X，Y)的所有可能取值為(Xi,yj)(i, j =1,2；'P(X, Y)=(Xi,yj) = Pij(i,j=12 )(1) Pij > 0 (i,j=1,2,); Z ZPij =1.連續(xù)型i j對于二維隨機向量匕=(X,Y

18、)，如果存在非負函數(shù) f(x, y即 D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y)- D = JJf(x,y)dxdy,D則稱©為連續(xù)型隨機向量；并稱 f(x,y)為© =( X，Y)的分分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì):(1) f(x,y) > 0;LLf(x，y)dxd1.(2)維隨機變量的本質(zhì)r(X =x, Y =y) =qx =xn Y = y)(3)聯(lián) 合分布 函數(shù)設(X 丫)為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y) = PX稱為二維隨機向量(X, 丫的分布函數(shù)，或稱為隨機變量 X和丫的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函

19、數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件12) <XU)1x <Yfe：(1) 0<F(x,y)蘭 1;(2) F( x,y )分別對x和y是非減的，即當 X2>xi 時，有 F (X2,y )> F(xi,y);當 y2>yi 時，有 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x,y) = F(x + O,y),F(4) F (-處,-比)=F (-OC, y) = F (x,-)=0,F (+處,+處)=1.(5)對于 xX2, y1 < y2,F(X2, y2)F(X2, y1)-F(X1, y

20、2)+ F(X1, yJO.(4) 離 散型與 連續(xù)型 的關系(5) 邊 緣分布P (X =x, Y =忙 P(X cX <x +dx, y cY <y + dy)止 f(x, y)dxdy離散型X的邊緣分布為P.= P(X=Xi)=Z： Pij(i, j=1,2,);jY的邊緣分布為連續(xù)型(6)條 件分布離散型=P(Y = yj)=2： Pij(i, j =1,2,)。iX的邊緣分布密度為-befx(x) = Jf(X, y)dy；Y的邊緣分布密度為fY(y) = Lef(X, y)dx.在已知X=x的條件下，丫取值的條件分布為P(丫 = yj |X =Xi)=旦Pi.在已知Y=

21、y的條件下,X取值的條件分布為P(X =xi |Y = yj)二Pij連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f（x|y）（X'y）fY（y）在已知X=x的條件下，丫的條件分布密度為f（y|x）（x'y）fx（X）(7)獨立性一般型離散型F（X,Y）=F x（x）F Y（y）若Xi,X2,XmXm+1,相互獨立,h,g為連續(xù)函數(shù)，則:h ( Xl, X2,Xm)和 g ( Xm+1,Xn)相互獨立。特例：若X與丫獨立，則：h (X)和g (丫)獨立。例如：若X與丫獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)f Y(y)直接判斷，充要條件： 可

22、分離變量 正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布f（X, y）=11e 刁（1-P）2膽 2 2 J1 - P2O<j2P= 0隨機變量的函數(shù)（8）維均勻分布設隨機向量（X, Y）的分布密度函數(shù)為f(X, y)0,U (D)。其中S為區(qū)域D的面積，則稱（X, Y）服從D上的均勻分布，記為（X, Y） 例如圖3.1、圖3.2和圖3.3 。圖3.1圖3.2cO圖3.3D3（9）維正態(tài)分布設隨機向量（X, Y）的分布密度函數(shù)為_“一叮1eB 廠2兀b 1 b 2 J1 一 P2f(x, y)-其中卩1,卩2,6 ：0,cr2 ：0,| P|1是5個參數(shù)，則稱（X, Y）服從二維正態(tài)分布,記為（X,

23、Y）N （卩 1卍2,cr2，cr；, P）.由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布,即 XN (已,b2),YN(42b；).但是若XN（已，b：）,YN（42b2） , （X , Y）未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：FZ(z) = P(Z < z) = P(X + Y < z)-be對于連續(xù)型，f Z(z) = J f ( X, z x)dx兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（+卩2,2 +on個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。 卩=2 CH ,宀送 Ci2s2iiZ=max,min(X i,X2，Xn)若

24、X1,X2Xn相互獨立，其分布函數(shù)分別為Fxjx）, FFmax(X)= Fxi(X) Fx2(X)FXn (x)Fmin(X)= 1 - 1 一 Fxi(X) 1 Fx2 ( X)-1 - Fxn(X)嚴分布設n個隨機變量X 1, X 2，,X n相互獨立，且服從標準正態(tài)的分布密度為我們稱隨機變量W 服從自由度為n的X2分布，記為W所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變2上分布滿足可加性：設則Z設X, 丫是兩個相互獨立的隨機變量，且分布可以證明的概率密rlf(t) =n我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(nti£( n)ta(n)F分布f(y)門n1-n2丿

25、（1）維機量數(shù)特隨 變 的 字 征期望期望就是平均值離散型設X是離散型隨機變量，其分布律為 P( X = xk)= pk ,k=1,2,n ,nE(X) =2 XkPkkrn連續(xù)型設X是連續(xù)型隨機變量，其-beE(X)= fxf (x)dx（要求絕對收斂）2 2設X （nJYz （n2），且X與丫獨立，可以證明Fn1 + n 2 I 2丿 nm丿 12丿12丿0, y cO我們稱隨機變量F服從第一個自由度為n 1,第二個自由度為F(n1，n2<第四章 隨機變量的數(shù)字特征（要求絕對收斂）函數(shù)的期望Y=g(X)nE(Y)=2 g(Xk) PkkmY=g(X)-beE(Y)= Jg(x)f(x

26、)dx方差D(X)=EX-E(X)標準差D(X)Xk -E(X)2 Pkk-beD(X)= Jx-E(X)2fb（x）= Jd（x）,對于 的k】 階原點正整數(shù)k，稱隨機變量 欠幕的數(shù)學期望為 X的 矩，記為k=E(Xk)=Vk,即kXi Pi ,切比雪夫不等式對于與E (望為對于正整數(shù)k,稱隨機變，訟kX-oCk=E(Xk)= ff (x)dx,k=1,2,(2)望性(3)方差的性質(zhì)(4)常見分布(1)(2)(4)(1)(2)(3)(4)(5)E(C)=CE(CX)=CE(X)k=1,2,正整數(shù)k，稱隨機變量 X)差的k次幕的數(shù)學期對于正整數(shù)攵k,稱隨機變際=E(X-E(X)k的k階中心矩，

27、記為卩k ,E(X -E(X)kS (Xi -E(X)k Pik=1,2,-be=f (x-Ek=1,2,k(X) f(x)dx設隨機變量X具有數(shù)學期望E(X)=卩，方差D (X)=P( X切比雪的一種2 (Tcy 22z夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率估計，它在理論上有重要意義。nnE(X+Y)=E(X)+E(Y) , E(5： CiXi)=：S CiE(Xi)i=1E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：充要條件：D(C)=0; E(C)=C2D(aX)=a D(X) ; E(aX)=aE(X)2D(aX+b)= a D(X);2 2D(X)=E(X )-E (X)D(X&#

28、177; Y)=D(X)+D(Y)D(XiziX和丫獨立；X和丫不相關。E(aX+b)=aE(X)+b，充分條件：X和丫獨立；充要條件：X和丫不相關。± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。期望0-1 分布 B(1, P)1方差隨 變 的 字 征維 機 量 數(shù) 特二項分布B(n,p)泊松分布P仏)幾何分布G(p)超幾何分布 H (n,M, N)均勻分布U(a,b)指數(shù)分布e仏)正態(tài)分布N(4,b2)Z2分布t分布E(X)=Z： xi=1數(shù)的期望EG(X, Y)2 2： G(Xi,i jD

29、(X) =2：方差對于隨機變量npnMNa+b2iPi.jP<j2Xi -E(X) Pi.j - E(Y)2 pj-beE(X)= Jxfx(x)dx-beE(Y)= JyfY(y)dyEG(X, Y)=-be -be/ JG(x,y)f(x,y)dxc-oO-oC-beD(X)= Jx-E(X)2-beD(Y)= Jy-E(Y)2fX與Y,稱它們的二階混合中心矩為X與E(X-E(X)( Y E(Y).與記號b XY相對應，X與丫的方差D (X)與D (Y)也可分另相關系數(shù)對于隨機變量 X與Y,如果D (X) >0, D(Y)>0，則稱為X與丫的相關系數(shù)，記作 PXY (有時

30、可簡記為 P)。P| w 1,當I P|=1時，稱X與丫完全相關：P(X =完全相而當> =0時，稱X與丫不相關。以下五個命題是等價的:丫 =0 ； cov E(X D(X D(XX,Y)=0;Y)=E(X)E(Y); +Y)=D(X)+D(Y); -Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣p XXWyx混合矩對于隨機變量X與丫如果有E(XkY1)存在，則稱之為X-Ukl(6)協(xié)方差的性質(zhì)(7)獨立和不相關i)ii)iii)iv)(i)(ii )cov (X, Y)=cov (Y, X);cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov

31、(X 2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).若隨機變量X與丫相互獨立，則PXY =0 ；反之不真。若(X, Y)N (巴卍2,CT 12,CT 22, P ),則X與丫相互獨立的充要條件是 X和丫不相關。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理(1 )大數(shù)定律切 比 雪 夫 大 數(shù) 定 律設隨機變量Xi , X2,相互獨立，均具有有限方差，且被 同一常數(shù)C所界： 數(shù)£，有l(wèi)im Pn_D(X) <C(i=1,2,)，則對于任意的正1 n1 n-Z XiZ E(Xi)< £n 7n i丄J=1.特殊情形：若Xi, X2,具有相同的數(shù)學期望 E(Xi) ，

32、則上式成為J1 nlim P-Z Xi A< £n_5PC 1n yy-口=1.(2)中心極限定 理伯 努 利 大 數(shù) 定 律辛 欽 大 數(shù) 定 律林德I心伯格定理設卩是n次獨立試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)，P是事件 A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)£，有l(wèi)im Pn、P< sQn7=1.伯努利大數(shù)定律說明， 當試驗次數(shù)n很大時，事件A 發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即n5PC=0.這就以嚴格的數(shù)學形式描述了頻率的穩(wěn)定性。設Xi, X2,，Xn,是相互獨立同分布的隨機變量序列, 且E (%) =,則對于任意的正數(shù) £有f1 nlim P

33、-Z Xi -»< £njpcn y丿=1.設隨機變量X1, X2,相互獨立，服從同一分布，且 具有相同的數(shù)學期望和方差2E(Xk)=D(Xk)=b H0(k=1,2,)，則隨機變量nZ Xk - nAYn"屁的分布函數(shù)Fn(X)對任意的實數(shù)X,有1V2兀t2X J妥 2 dt.nmFn(xnm P<n送 Xk - nA<x =Vnb此定理也稱為 獨立同分布 的中心極限定理。拉 普 拉 斯 定 理（3）二項定理設隨機變量 X n為具有參數(shù)n, p（0<p<1）對于任意實數(shù)X,有I X n np = lim 巳 jnNy Jnp(1-p

34、)<x的二項分布，則t22dt.若當NT oc時，加p（n,k不變），則C k C n_k(Nt 處).CMCNJM rk-k"-、n 上、Cn P (1 p) cn超幾何分布的極限分布為二項分布。（4）泊松定理若當nT處時，npTZ >0，則C k k Z. n_kCn P (1- P)kT Lk!(nT 處).其中k=0, 1, 2,，n,。 二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）理計基概總體數(shù) 統(tǒng) 的 本 念個體樣本在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標的 全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布 的隨機變量（或隨機向量）

35、?？傮w中的每一個單元稱為樣品（或個體）。我們把從總體中抽取的部分樣品X1, X2 " ,Xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是 n個相互獨立的且與總體有相同分 布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，Xi,X2,Xn表示n個隨機變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，Xi,X2,，Xn表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)禾n統(tǒng)計量常見統(tǒng)計 量及其性 質(zhì)設Xi,X2，,Xn為總體的一個樣本，稱®( X1, X2，,Xn)為樣本函數(shù)，其中 W為一個連續(xù)函數(shù)。如果申中不包含任何未

36、知參數(shù)，則稱 申（Xi,X2，Xn ）為一個統(tǒng)計量。樣本均值樣本方差S2樣本標準差Xj.n i 二(Xi-X)2.樣本k階原點矩樣本k階中心矩1 n -Mk =-藝(Xi -x)k,k=2,3. n y一 C 2E(X)*，D(X)= nE(S2) =cr2，e(S*2) =口2n1 n 一 其中s*2 =2 （Xi -X）2，為二階中心矩。n y（2）正 總 下 四態(tài)體的大分布正態(tài)分布設Xi,X2，Xn為來自正態(tài)總體N（巴CT2）的一個樣本，貝y樣本函數(shù)def X 卩u-；X7/rN(0，1).t分布F分布設X1,X2，Xn為來自正態(tài)總體 N(p,cr2)的一個樣本，貝y樣本函數(shù)def X

37、-卩t 一一t(n-1), s/V n其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。2設X1,X2，Xn為來自正態(tài)總體N(A,Cr )的一個樣本，貝y樣本函數(shù)2wdef 上憶"2(n_1),a2其中/2(n-1)表示自由度為n-1的/2分布。設 Xi, X2 ,yi, y2，本函數(shù)其中- ,Xn為來自正態(tài)總體 N(巴62)的一個樣本，而2,yn為來自正態(tài)總體 N(巴2)的一個樣本，則樣defF-Sr-Fg1,n 21),S2 /b2n1-無(Xi -X)2,1 n2-/曲2;F (n1 1, n21)表示第一自由度為 n 11，第二自由度為n21的F分布。(3)正 總 下 布態(tài) 體 分

38、 的X與S2獨立。性質(zhì)第七章參數(shù)估計（1）點估計矩估計本值,其樣本的k階原點矩為設總體X的分布中包含有未知數(shù) 6,日2,月m，則其分布函數(shù)可以表成 F（X；8iH2,，8m）.它的 k 階 原點矩kVk=E（X ）（k=12，m）中也包含了未知參數(shù) 日1,日2,月m.即Vk =Vk（®,日2,Pm）。又設Xi, X2,Xn為總體X的n個樣4 n丄送 Xik (k =1,2，,m).n y這樣,本矩”我們按照“當參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應的樣 的原則建立方程，即有A AA 1 n1(日1,日2,月 m)=-I： Xi, n i呂A AA 1 nV2©,日 2,fm)

39、=-Zn yA AA 1 nVmlQ,，日 m)= 送n iTA AA由上面的m個方程中，解出的 m個未知參數(shù)（6，日2,月m）即為參數(shù)（屮2，fm ）的矩估計量。若&為0的矩估計，g（x）為連續(xù)函數(shù)，則 g（昭為gp）的矩估計。極大似然估計當總體X為連續(xù)型隨機變量時，設其分布密度為f（X；Ti，日2,，&m），其中01月2,，8m為未知參數(shù)。又設Xi ,X2，,Xn為總體的一個樣本，稱nL（6，日 2,月 m） =n f（Xi©，日 2,，8m）i 二為樣本的似然函數(shù)，簡記為 L.當總體X為離型隨機變量時，設其分布律為PX = 7 = p（X；6，日 2，Pm），則

40、稱nL（Xi,X2，Xn；6,日 2,Pm） =n P（Xi；6 ,&2 ,，齢） i 4為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)L（Xi,X2，Xn©,&2,，&m）在（f2，$m處取到最大值，則稱 &2,，fm分別為0,2,，8m的最大似然估計值，相應的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。g| nLn= 0,i =1,2,m8遵若冷為日的極大似然估計，g（x）為單調(diào)函數(shù)，則為g但）的 極大似然估計。（2） 估 量 評無偏 性A AA設9= 0（Xi,X2，Xn）為未知參數(shù)0的估計量。若E （日）=日A則稱0為日的無偏估計量。標準E（ X）=E（ X），E（ S2）=D（

41、 X）有效性A A設日 1 =01（X1, X,2，,XnA）和日 2 =0 2 （XjA,X,2，,Xn ）是未知參AA A數(shù)0的兩個無偏估計量。 若D（8i） V D（日2），則稱9 1比£ 2有效。一致 性A設0 n是0的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)S ,都有Alim P(|0n-0 lUA則稱e n為0的一致估計量（或相合估計量）。（3）區(qū)間估計置信區(qū)間和置信度單正 態(tài)總 體的 期望 和方 差的 區(qū)間 估計若&為0的無偏估計，且 D（殆T 0（nT ，則$為0的一致估 計。只要總體的E（X）和D（X）存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都 是相應總體的一致估計量。設總體X含有一個待估的未知參數(shù)0。如果我們從樣本X1 , x,2，,Xn出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量日1 =6（x