1.8_函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第八節(jié)第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 前面我們已經(jīng)討論了函數(shù)的單調(diào)性、前面我們已經(jīng)討論了函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性、周期性等。在實(shí)際問有界性、奇偶性、周期性等。在實(shí)際問題中，我們遇到的函數(shù)常常具有另一種題中，我們遇到的函數(shù)常常具有另一種重要特征。如運(yùn)動(dòng)著的質(zhì)點(diǎn)，其位移重要特征。如運(yùn)動(dòng)著的質(zhì)點(diǎn)，其位移S是是時(shí)間時(shí)間t的函數(shù)。當(dāng)時(shí)間產(chǎn)生一微小的改變的函數(shù)。當(dāng)時(shí)間產(chǎn)生一微小的改變時(shí)，質(zhì)點(diǎn)也將移動(dòng)微小的距離從其運(yùn)時(shí)，質(zhì)

2、點(diǎn)也將移動(dòng)微小的距離從其運(yùn)動(dòng)軌跡來看是一條連綿不斷的曲線），動(dòng)軌跡來看是一條連綿不斷的曲線），函數(shù)的這種特征我們稱之為函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的這種特征我們稱之為函數(shù)的連續(xù)性。與之相對(duì)立的一個(gè)概念，我們稱之性。與之相對(duì)立的一個(gè)概念，我們稱之為間斷。為間斷。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【定義【定義1】;)(0的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在xxf【注】【注】f (x)f (x)在在x0 x0處連續(xù)的三個(gè)條件三條缺一不處連續(xù)的三個(gè)條件三條缺一不可）可）; )(lim0 xfxx).()(lim00 xfxfxx , ),( )( 0如如果果內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)

3、 xUxfy )()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)處連續(xù).機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例】【例】 0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf【證】【證】, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義1 1知知 0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx f (x) 在在x0的鄰域內(nèi)顯然有定義的鄰域內(nèi)顯然有定義 教材例教材例1、2講解講解機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【單側(cè)連續(xù)】【單側(cè)連續(xù)】 )()(

4、00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在處連續(xù)處連續(xù)在在xxfxxf【左連續(xù)】【左連續(xù)】.)(),()(),()()(lim000000左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱即即存存在在且且等等于于若若xxfxfxfxfxfxfxx 【右連續(xù)】【右連續(xù)】.)(),()(),()()(lim000000右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱即即存存在在且且等等于于若若xxfxfxfxfxfxfxx 【定理【定理1】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例】【例】連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù)0, 0, 2, 0, 2)( xxxxxxf【解】【解】)2(lim)(lim00 x

5、xfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)，右連續(xù)但不左連續(xù)，. 0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)故故函函數(shù)數(shù) xxf 教材例教材例3、4講解講解機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4.【連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間】【連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間】在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), ,叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), ,或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). . .,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端

6、點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .【幾何表現(xiàn)】【幾何表現(xiàn)】.,)( baCxf 記記閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的連上的連續(xù)函數(shù)的集合續(xù)函數(shù)的集合機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .,),(,),()(00000增增量量的的為為自自變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)終終值值變變到到初初值值從從當(dāng)當(dāng)自自變變量量?jī)?nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxxxxxUxxUxf 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性1.【增量】【增量】.)(),()(00的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)

7、xxfxfxxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx 00 xx y y )(xfy 【增量的幾何解釋】【增量的幾何解釋】機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【連續(xù)的定義】【連續(xù)的定義】.)(, 0)()(lim 0lim, 0,000000處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱或或即即時(shí)時(shí)若若當(dāng)當(dāng)xxfyxfxxfyyxxx 【概念描述】【概念描述】.)(,0)()(limlim,),()(0000000稱稱為為連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱如如果果內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxfyxfxxfyxUxfyxx 【定義【定義3】,0 xxx 設(shè)設(shè)

8、),()(0 xfxfy ,00 xxx 就就是是).()(00 xfxfy 就就是是:故故定定義義又又可可敘敘述述為為機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn);)(0的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在xxf; )(lim0 xfxx).()(lim00 xfxfxx 【描畫】【描畫】如果上述三個(gè)條件中只要有一個(gè)不滿足，則如果上述三個(gè)條件中只要有一個(gè)不滿足，則稱函數(shù)稱函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處不連續(xù)或間斷），處不連續(xù)或間斷），并稱點(diǎn)并稱點(diǎn) x0 為為 f (x) 的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)）的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)）.函數(shù)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0

9、處連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1. 【間斷點(diǎn)定義】【間斷點(diǎn)定義】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義。如果的某去心鄰域內(nèi)有定義。如果函數(shù)函數(shù) f (x) 有下列三種情形之一：有下列三種情形之一：在在 x=x0 沒有定義；沒有定義；雖在雖在 x=x0 有定義，但有定義，但 不存在；不存在；)(lim0 xfxx雖在雖在 x=x0 有定義，且有定義，且 存在，存在，但但)(lim0 xfxx )()(lim00 xfxfxx 則函數(shù)則函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處不連續(xù)或間斷），并稱處不連續(xù)或

10、間斷），并稱點(diǎn)點(diǎn) x0 為為 f (x) 的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)）的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)）.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),()( ,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf 【補(bǔ)例【補(bǔ)例4 4】 0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論討論 xxxxxxf【解】【解】, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff . 0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x2.【函數(shù)間斷點(diǎn)的幾種常見類型】【函數(shù)間斷點(diǎn)的幾種常見類型】(1).

11、【第一類間斷點(diǎn)】【第一類間斷點(diǎn)】(左右極限都存在的點(diǎn)左右極限都存在的點(diǎn)).oxy1機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfxfxxfxx 【補(bǔ)例【補(bǔ)例5 5】.1, 1,11, 10, 1,2)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【解】【解】, 1)1( f, 2)01

12、( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 【闡明】【闡明】 可去間斷點(diǎn)只要改變?cè)瓉碛卸x時(shí)或可去間斷點(diǎn)只要改變?cè)瓉碛卸x時(shí)或者補(bǔ)充原來無定義時(shí)間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義者補(bǔ)充原來無定義時(shí)間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義, , 則則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)，故稱其為可去間斷點(diǎn)可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)，故稱其為可去間斷點(diǎn). . . 0 為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy112機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 如例如例5 5中中, , 2)1( f令令. 1, 1,1, 10,2)(處處連連續(xù)續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱

13、為第一類間斷點(diǎn). .【特點(diǎn)】【特點(diǎn)】.0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在間斷點(diǎn)函數(shù)在間斷點(diǎn) xoxy112可去型可去型 ： 左右極限存在且相等左右極限存在且相等. .跳躍型：跳躍型： 左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (2)【第二類間斷點(diǎn)】【第二類間斷點(diǎn)】的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)在在右右極極限限至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存處處的的左左、在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果)(,)(00 xfxxxf【補(bǔ)例【補(bǔ)例6 6】.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf【解

14、】【解】oxy, 0)00( f,)00( f為為函函數(shù)數(shù)的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)1 x【特點(diǎn)】【特點(diǎn)】 . )( )(00稱之稱之，中至少有一個(gè)是中至少有一個(gè)是與與 xfxf這種情況稱為無窮間斷點(diǎn)這種情況稱為無窮間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例7 7】.01sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf【解】【解】xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x這種情況稱為振蕩間斷點(diǎn)這種情況稱為振蕩間斷點(diǎn). .【特點(diǎn)】【特點(diǎn)】 )( )(00中至少有一個(gè)因函數(shù)中

15、至少有一個(gè)因函數(shù)與與 xfxf振蕩而不存在，但均不為振蕩而不存在，但均不為，稱之，稱之. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 , 0, 1)(是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, ,且都是第二類間且都是第二類間斷點(diǎn)斷點(diǎn). . ,)(是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxf僅在僅在x = 0 x = 0 處連續(xù)處連續(xù), , 其余各點(diǎn)處處間斷其余各點(diǎn)處處間斷. .特別特別地地【留意】【留意】 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是

16、個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn). .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是是無無理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxf在定義域在定義域R R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, , 但其絕對(duì)值處但其絕對(duì)值處處連續(xù)處連續(xù). .【觀察練習(xí)】立即說出下列間斷點(diǎn)類型【觀察練習(xí)】立即說出下列間斷點(diǎn)類型: :機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 又如又如:xytan) 1 (2x0 xxy1sin) 2(1x11)3(2xxyxoy1xytan2xyoxyxy1sin0無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷

17、點(diǎn)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .)( , 0)(000的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx 零點(diǎn)定理與介值定理零點(diǎn)定理與介值定理0)()( , )( bfafbaxf上上連連續(xù)續(xù)，且且在在若若，使得，使得則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn)),(ba 【定義】【定義】【定理【定理6】(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理):1.零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理0)( f即方程即方程 f (x)= 0 在在 (a,b) 內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【補(bǔ)例【補(bǔ)例8 8】.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函

18、數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa【解】【解】xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx ,a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1 時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 1 a機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .)( ),( ),( , ,)()(,)(CfbabaCBABbfAafbaCxf 使使至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)在在開開區(qū)區(qū)間間之之間間的的任任意意一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)與與那那么么對(duì)對(duì)于于不不相相等等與與且且端端點(diǎn)點(diǎn)值值設(shè)設(shè)ab3 2 1 【幾何解釋】【幾何

19、解釋】. , )(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(xfy 2、介值定理、介值定理定理定理7(7(介值定理介值定理):):機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 最大值和最小值定理最大值和最小值定理【定義【定義5 5】.)()()()()()()(,),( 0000值值小小上上的的最最大大在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱都都有有使使得得對(duì)對(duì)于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于在在區(qū)區(qū)間間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在 . 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y【留意】【