積分第一中值定理及其推廣證明

1、積分第一中值定理：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，g(x)在(a,b)上不變號(hào)，并且g(x)在閉區(qū)間a,b上是可積的，則在a,b上至少存在一點(diǎn)，使得 成立。證明如下: 由于g(x)在閉區(qū)間a,b上不變號(hào)，我們不妨假設(shè)g(x) 0,并且記f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值和最小值為M和m，即m f (x) M，我們將不等式兩邊同乘以g(x)可以推出，此時(shí)對(duì)于任意的x a,b都會(huì)有成立。對(duì)上式在閉區(qū)間a,b上進(jìn)行積分，可以得到bg(x)dx。abbm g(x)dx f(x)g(x)dx Maa此時(shí)在m, M之間必存在數(shù)值，使得mM，即有成立。由于f(x)在區(qū)間a,b上是連續(xù)的，則在a,b上必定

2、存在一點(diǎn)，使f() 成立。此時(shí)即可得到bba f(x)g(x)dx f ( ) a g(x)dx，命題得證。2.2積分第一中值定理的推廣定理：(推廣的第一積分中值定理)若函數(shù)f(x)是閉區(qū)間a,b上為可積函數(shù)，g(x)在a,b上可積且不變號(hào)，那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)上至少存在一點(diǎn)，使得成立。推廣的第一積分中值定理很重要，在這里給出兩種證明方法。證法1:由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上是可積的，g(x)在a,b上可積且不變號(hào)，令xxF (x) f (t)g(t)dt ， G(x) g (t )dt ，很顯然 F(x),G(x)在a,b aa上連續(xù)。并且bF(a) 0, F(b) f(t)g(t)d

3、t，G(a) 0,G(b)abag(t)dt，F(xiàn)( ) f( )g(a)，G( ) g()。由柯西中值定理即可得到F(b) F(a)G(b) G(a)F ()G(a,b)，化簡(jiǎn)，即f( )g()g()ba f(t)g(t)dt b ag(t)dt根據(jù)上式我們很容易得出ba f(t)g(t)dt f( ) ag(t)dt, (a,b)，命題得證。0。而函數(shù)f (x)在證法2：由于函數(shù)g(x)在a,b上可積且不變號(hào)，我們不妨假設(shè)g(x)閉區(qū)間a,b上可積，我們令 m inf f(x)|x a,b ，M sup f(x)|x a,b。假設(shè) F(x)是f(x)在閉區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù)，即F(X)f

4、(x), X a,b。我們就可以得到下面等式b此時(shí)由于g(x) 0，則會(huì)有g(shù)(x)dx 0,由于存在兩種可能性，那么下面我們就要分兩種情況以下我們分兩種情形來(lái)進(jìn)行討論:(1).如果ba g(X)dXbf (x)g(x)dx 0，那么對(duì)于(a,b)a都有恒成立。.如果ba g(X)dXba g (x)dx 可得此時(shí)至少存在一點(diǎn)(Xi,X2)，使得 F ( ) f()，即有我們記此時(shí)我們又分兩種情形繼續(xù)進(jìn)行討論:ba f(x)g(x)dx(I m g(x)dxM成立，則此時(shí)一定就存在m M，可以使得f(xi)f (X2)我們不妨假設(shè)XiX2，這其中Xi, X2a,b。因?yàn)?F(X)f(x)，X a

5、,b，則會(huì)有F (xi)f (Xi)f (X2)F (X2)。成立，從而結(jié)論成立。b(n M，因?yàn)?g (x)dxa0,此時(shí)一定存在區(qū)間ai,b, (a,b)(其中印b,)，使得 x ai,bi，恒有 g(x) 0ba g(x)dxba f(x)g(x)dx，因?yàn)?M，則有而且我們已知Mf (x)g(x)Xl0 Myibf (x)g(x)dx Mdf(x)dx 0。于是ai,bi(a,b)，使得f ()如果不存在一個(gè)ag(a,b)，使得 f()M，則在閉區(qū)間Xi,yi上必定有0。M f (x)0及g(x) 0成立，從而使得M f(x)g(x)b如果f(x)g(x)dx0，由達(dá)布定理在ai,bi上有M f(x)g(x0，這與