第9章 壓桿穩(wěn)定

1、第第9章章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定9-1 9-1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念9-29-2 兩端鉸支細長壓桿的臨界力兩端鉸支細長壓桿的臨界力9-4 9-4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍9-6 9-6 壓桿穩(wěn)定性計算壓桿穩(wěn)定性計算9-3 9-3 不同桿端約束下細長壓桿的臨界力不同桿端約束下細長壓桿的臨界力9-5 9-5 非細長壓桿的臨界應力非細長壓桿的臨界應力9-7 9-7 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施壓桿穩(wěn)定的實例壓桿穩(wěn)定的實例 例例：如圖所示發(fā)動機：如圖所示發(fā)動機配氣機構中的配氣機構中的挺桿挺桿，在推，在推動搖臂打開氣閥時，受到動搖臂打開氣閥時，受到壓力作用。壓力作用。 9

2、-19-1 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 對于對于細長桿件細長桿件，受壓，受壓開始時軸線為直線，接著開始時軸線為直線，接著被壓彎，發(fā)生大的彎曲變被壓彎，發(fā)生大的彎曲變形，最后折斷。形，最后折斷。搖臂搖臂氣閥氣閥挺桿挺桿內燃機的內燃機的連桿連桿撐桿跳運動員用的撐桿跳運動員用的桿桿 勃蘭登堡門勃蘭登堡門（brandenburger tor）：）：它建于它建于1788年年1791年，一直是德國統(tǒng)一的象征。年，一直是德國統(tǒng)一的象征。其它可喪失穩(wěn)定的結構： 歷史上發(fā)生過橋梁突然倒塌的嚴重事故，其原因是起初人們對壓桿失穩(wěn)還沒有認識，對橋梁桁架中的某些桿件只進行了強度計算，卻發(fā)生了失穩(wěn)破壞。失穩(wěn)破壞失穩(wěn)破壞典型亊例典型

3、亊例桁架結構桁架結構失穩(wěn)破壞失穩(wěn)破壞 在工程實際中，要保證構件或結構物能正常工作，除了要滿足強度、剛度條件外，還必須滿足穩(wěn)定性的要求。因此，在設計細長受壓構件時，必須保證其有足夠的穩(wěn)定性。 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性是指構件保持其原有平衡狀態(tài)的能力。結結 論論物體平衡的穩(wěn)定性物體平衡的穩(wěn)定性穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡隨遇平衡 穩(wěn)定失效：指構件在某種外力（例如軸向壓力）作用下，其平衡形式發(fā)生突然轉變。壓桿穩(wěn)定性的幾個概念壓桿穩(wěn)定性的幾個概念 穩(wěn)定平衡狀態(tài)：當承受的載荷小于某一確定值 fcr 時，壓桿保持直線平衡狀態(tài)。此時給桿加一橫向干擾力，桿便發(fā)生微小彎曲，干擾力去掉后，桿件將在平衡位置附

4、近擺動，最終恢復到原來的直線平衡位置。這說明壓桿原來的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。 臨界狀態(tài)：如圖所示，當壓力f = fcr 時，一旦橫向干擾力消失，桿件將在被干擾成的微彎狀態(tài)下，達到新的平衡，既不恢復原狀也不繼續(xù)彎曲。也即當f = fcr 時，壓桿既可處于直線形式平衡，又可處于微彎形式平衡隨遇平衡，是壓桿穩(wěn)定的臨界狀態(tài) 不穩(wěn)定平衡狀態(tài)：當壓力f fcr時，平衡狀態(tài)的性質發(fā)生了質的變化。一旦存在微小的橫向干擾力，壓桿就會在微彎的基礎上繼續(xù)彎曲，再也不能恢復到原來的平衡狀態(tài)。這說明壓桿原來的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 臨界力或臨界載荷：臨界狀態(tài)是壓桿從穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡轉化的極限狀態(tài)。壓桿處于臨界狀態(tài)時的軸向

5、壓力稱為臨界力或臨界載荷，一般用fcr表示，它是判斷壓桿是否失穩(wěn)的一個指標。 crpcrp)(xmxxyyxyl由平衡方程得：由平衡方程得：ypxmcr)(（a）撓曲線近似微分方程為撓曲線近似微分方程為eixmdxyd)(22（b）將式將式（a）代入式代入式（b）得得yeipdxydcr22（c）令令 ，得微分方程：，得微分方程：2keipcr0222ykdxyd9-29-2 兩端鉸支細長壓桿的臨界力兩端鉸支細長壓桿的臨界力0222ykdxydcrpxyl通解為：通解為：kxbkxaycossin由由 x = 0，y = 0；得得b = 0，于是于是kxaysin由由 x = l，y = 0；

6、得得:0sinkla若若a = 0，則則 y0，撓曲線為直線，無意義，只能撓曲線為直線，無意義，只能0sinkl于是得：于是得：), 2, 1, 0(nnkl2keipcr由式由式 得：得：222leinpcr222leinpcr此解最小者為壓桿的臨界力，但此解最小者為壓桿的臨界力，但n = 0，pcr= 0，無意義，故無意義，故取取n = 1。即。即22leipcr這就是兩端鉸支壓桿臨界力的這就是兩端鉸支壓桿臨界力的。xlnawsinn=1n=2n=3l失穩(wěn)曲線失穩(wěn)曲線0ypyq20rprqyc ec er xr x1212ycc xer x（）1211,2ri yecxcxx(cossin

7、)12附：求二階常系數齊次微分方程 的通解特征方程為兩個不相等的實根r1，r2 通解兩個相等的實根r1r2 通解一對共軛復根通解9-3 9-3 不同桿端約束下細長壓桿的臨界力不同桿端約束下細長壓桿的臨界力 22leifcr兩端鉸支fcr 7 . 022leifcrl一端固定、一端鉸支拐點fcr拐點lfcr拐點兩端固定 leif22cr5 . 0fcr一端固定、一端自由 leif22cr2fcr(9-2)討論：討論：（1）相當長度）相當長度 l 的物理意義的物理意義1壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的相當相當長度長度 l 。2 l是各種支承條

8、件下，細長壓桿是各種支承條件下，細長壓桿失穩(wěn)時，撓曲線中失穩(wěn)時，撓曲線中相當于相當于半波正半波正弦弦曲線的一段曲線的一段長度長度 為長度系數為長度系數 l 為相當長度為相當長度（2）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩 i1若桿端在各個方向的約束情況相同（球形絞等），則若桿端在各個方向的約束情況相同（球形絞等），則 i應取最小的形心主慣性矩。應取最小的形心主慣性矩。22leifcr2若桿端在各個方向的約束情況不同（柱形絞），應分別若桿端在各個方向的約束情況不同（柱形絞），應分別計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界力。計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界力。i 為其相應的對為其相應

9、的對中性軸的慣性矩。中性軸的慣性矩。lab 222leifcrfcrlclbac227 . 0 leifcrfcr0.7ldabc225 . 0 leifcrfcr0.5l0.25l0.25ll1.3l1.7l2l（a）（b）（c）【例【例9-3-1】直徑、材料相同，而約束不同的圓截面細長壓桿，直徑、材料相同，而約束不同的圓截面細長壓桿，哪個臨界力最大。哪個臨界力最大。解：解：,2)(llaa,3 . 1)(llbb,19. 17 . 17 . 0)(lllcc,25 . 0)(llldd（d）桿臨界力最大。桿臨界力最大。9-4 9-4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍臨界應力與柔度：fc

10、r 22aleiafcrcr歐拉公式：臨界應力:aii2il 柔度: 22ecr(9-3)歐拉公式的適用范圍： 22ecr該方程是建立在材料服從虎克定律基礎上的利用了撓曲線近似微分方程 22ddeim xvx ep22crpeppe令：當 時， ，這時才能應用歐拉公式來計算壓桿的臨界力或臨界應力。pcrp滿足的 壓桿稱為細長桿或大柔度桿 p【例【例9-4-1】圖示壓桿的圖示壓桿的e=70gpa，p=175mpa。此此壓桿是壓桿是否適用歐拉公式，若能用，臨界力為多少。否適用歐拉公式，若能用，臨界力為多少。1.5mpyz10040【解【解】yiiiminmmaiiy3204010012401003

11、9 .90203105 . 17 . 03il8 .6217510703ppe因因 p，此壓桿為大，此壓桿為大柔度桿，歐拉公式適用，臨界力為：柔度桿，歐拉公式適用，臨界力為：knleipcr2 .3341012)5 . 17 . 0(10401001070)(321239222【例【例9-4-2】圖示圓截面壓桿，圖示圓截面壓桿，d=100mm，e=200gpa，p=200mpa。試求可試求可用歐拉公式計算臨界力時桿的長度。用歐拉公式計算臨界力時桿的長度。lpd【解【解】3 .99200102003ppedlddlialil464/4/42pdl4mdlp48. 241 . 03 .994【例【

12、例9-4-3】圖示矩形截面壓桿，其約束性質為：在圖示矩形截面壓桿，其約束性質為：在xoz平面平面內為兩端固定；在內為兩端固定；在xoy平面內為一端固定，一端自由。已知平面內為一端固定，一端自由。已知材料的材料的e=200gpa，p=200mpa。試求此試求此壓桿的臨界力。壓桿的臨界力。1mzy2060pzxo【解【解】3 .99200102003ppemmaiizz32.1760201260203mmaiiyy77. 5602012206031mzy2060pzxo,32.17mmizmmiy77. 55 .11532.1710002zyyil7 .8677. 510005 . 0yzzil

13、壓桿將在壓桿將在xoy平面內失穩(wěn)，歐拉公式適用。平面內失穩(wěn)，歐拉公式適用。mpaeycr1485 .1151020023222 壓桿臨界力為壓桿臨界力為knapcrcr17810106020101483669-5 9-5 非細長壓桿的臨界應力非細長壓桿的臨界應力直線型經驗公式直線型經驗公式：bacra、b與材料性質有關的系數 scrbabasbass令： ps只有,臨界應力才能用直線公式計算，這樣的壓桿被稱為中柔度桿或中長桿s當時，這樣的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。 scr此時，強度問題而非穩(wěn)定性問題！臨界應力總圖臨界應力總圖cr il22 ecr bacrp s bass ppe 2 scr9

14、-6 9-6 壓桿穩(wěn)定性計算壓桿穩(wěn)定性計算工作壓力：工作壓力：f f臨界（壓）力：臨界（壓）力：f fcrcr工作應力：工作應力：af臨界應力：臨界應力： staf工作安全系數：工作安全系數：n n穩(wěn)定安全系數：穩(wěn)定安全系數：n nststafcrcr穩(wěn)定許用應力：穩(wěn)定許用應力： stcrstn穩(wěn)定校核方法：穩(wěn)定校核方法：stcrnffn例例9-6-1 兩端鉸支中心受壓直桿，材料兩端鉸支中心受壓直桿，材料 、截面形、截面形狀狀 、求：、求：4410306mmiz4410235mmiy解：解： 1 . 計算截面的慣性半徑計算截面的慣性半徑 i (取最小取最小) 查表算得組合截面對其形心主軸查表算

15、得組合截面對其形心主軸 y、 z的的慣性矩慣性矩 st mpa8 .97st 3. 計算穩(wěn)定許用應力計算穩(wěn)定許用應力st 根據根據=97，查表得，查表得=0.575，代，代 入公式可得壓桿的穩(wěn)定許用應力為入公式可得壓桿的穩(wěn)定許用應力為zyii mm9 .30aiiiyymin zyii 且為等截面，且為等截面， 故故 2 . 計算桿件柔度計算桿件柔度 (取最大取最大) 97ilminmax 例例9-6-2 一連桿尺寸如圖，材料為一連桿尺寸如圖，材料為 a3 鋼，承受的軸向壓力鋼，承受的軸向壓力為為 p=120kn，取穩(wěn)定安全系數，取穩(wěn)定安全系數 nw =2，校核連桿的穩(wěn)定性。，校核連桿的穩(wěn)定性

16、。在在 xy 面內失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長度面內失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長度 l =940 。在在 xz 面內失穩(wěn)近似兩端固定，長度面內失穩(wěn)近似兩端固定，長度 l 1=880 。zyxb=25h=60在在 xy 面內失穩(wěn)連桿兩端為絞支，面內失穩(wěn)連桿兩端為絞支，長度長度 l =940 。zyxb=25h=60解：解：(1) 求柔度求柔度 cmhbhabhiizz732. 1321233 .54732. 1941izzlil 在在 xz 面內失穩(wěn)近似兩端固定面內失穩(wěn)近似兩端固定，長度長度 l 1=880 。zyxb=25h=60il cmbbhahbiiyy722.0321233 .5461722. 0

17、885 . 0zyyil桿在桿在 xz 面內先失穩(wěn)，應用面內先失穩(wěn)，應用 y 計算臨界力。計算臨界力。zyxb=25h=60（2）求臨界力，作穩(wěn)定校核）求臨界力，作穩(wěn)定校核因為因為 y = 61 123，用經驗公式計算，用經驗公式計算mpacr21000666. 02352壓桿是穩(wěn)定的壓桿是穩(wěn)定的knafcrcr315wcrnffn63. 2120315zyxb=25h=60（3）如果要求連桿在兩平面內）如果要求連桿在兩平面內 失穩(wěn)時的臨界力相等失穩(wěn)時的臨界力相等crcrap22ecralizxy1ailyxz15.0lliiyz2124ll1iiyz4例例9-6-3 兩端絞支壓桿，材料為兩端

18、絞支壓桿，材料為a3鋼，截面為圓環(huán)，鋼，截面為圓環(huán)，p=180kn，l =2500mm，r=60mm，穩(wěn)定安全系數，穩(wěn)定安全系數nw=2.5，計算鋼管壁厚，計算鋼管壁厚t 。pplrtpplrt解：按薄壁管考慮解：按薄壁管考慮tra2tir3mmrtrtir4 .4222312359 il用經驗公式計算用經驗公式計算pplrtmpacr21223500666. 025 . 2602212101803tpapcrcrptra2mmt6 . 5取壁厚取壁厚 t =6mm，此時，此時1 . 0rt不超過不超過10%，可按薄環(huán)處理。，可按薄環(huán)處理。例例9-6-4 壓桿的約束情況，軸向壓力，材料均同上例，壓桿的約束情況，軸向壓力，材料均同上例， 試選擇工字型截面。已知材料的試選擇工字型截面。已知材料的 e = 206gpa，強度，強度 許用應力許用應力 = 140mpa。解：用試算法解：用試算法先根據先