函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(共5頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§3.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、 函數(shù)單調(diào)性的判別法定理1 設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)，則在上遞增（減）的充要條件是.證 若為增函數(shù)，則對(duì)每一，當(dāng)時(shí)，有 。令，即得。反之，若在區(qū)間上恒有，則對(duì)任意（設(shè)），應(yīng)用拉格朗日定理，存在，使得 。由此證得在上為增函數(shù)。定理2 若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),則在內(nèi)嚴(yán)格遞增(遞減)的充要條件是:(1)有;(2) 在內(nèi)的任何子區(qū)間上.推論 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可微,若, 則在上(嚴(yán)格)遞增(遞減).注1 若函數(shù)在內(nèi)(嚴(yán)格)遞增(遞減),且在點(diǎn)右連續(xù),則在上亦為(嚴(yán)格)遞增(遞減), 對(duì)右端點(diǎn)可類似討論.注2 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)

2、不存在的點(diǎn)外，導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程的根及不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)的定義區(qū)間就能保證在各個(gè)部分區(qū)間保持固定符號(hào)，因而函數(shù)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。注意：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)除個(gè)別點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)為零或不存在外，在其余點(diǎn)上都有（或），那么由于連續(xù)性，在區(qū)間上仍然是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的。例如，的一階導(dǎo)數(shù)，除在點(diǎn)等于零外，在其余的點(diǎn)都大于零，函數(shù)在整個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加。又例如，它的一階導(dǎo)數(shù)除在點(diǎn)不存在外，在其余的點(diǎn)都大于零，從而函數(shù)在整個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加。增增減圖3-4-1例1 設(shè)。試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解 由于 ，因此當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增。利用函數(shù)的單調(diào)性，可以證明一些不等式。例1

3、 證明不等式 證 設(shè)，則。故當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格遞增；當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格遞減。又由于在處連續(xù)，則當(dāng)時(shí) ，從而證得 。二、 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性反映在圖形上，就是曲線的上升或下降。但是，曲線在上升或下降的過程中，還有一個(gè)彎曲方向的問題。曲線的彎曲方向我們用曲線的凹凸性來表述。下面我們就來研究曲線的凹凸性及其判定法。在有的曲線弧上, 如果任取兩點(diǎn), 則聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)間的弦總位于這兩點(diǎn)間的弧段的上,而有的曲線弧, 則正好相反. .曲線的這種性質(zhì)就是曲線的凹凸性. 因此曲線的凹凸性可以用聯(lián)結(jié)曲線上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線弧上相應(yīng)點(diǎn)(即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn))的位置關(guān)系來描述,下面給出曲線凹凸性的定義.定義1 設(shè)在區(qū)間

4、上連續(xù),如果對(duì)上任意兩點(diǎn)恒有 ,那么稱在上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 相應(yīng)的函數(shù)稱為凹函數(shù): 如果恒有 ,圖3-4-2那么稱在上的圖形是(向上)凸的(或凸弧),相應(yīng)的函數(shù)稱為凸函數(shù).如果函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù), 那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定曲線的凹凸性.定理3(曲線凹凸性的判定定理) 設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù), 則在上為凹(凸)函數(shù)的充要條件是 幾何解釋： 是凹?。患?單調(diào)增加。是凹弧；即 單調(diào)減少。圖3-4-3 即 曲線弧是凹（凸）弧的充要條件是：切線與軸正向夾角隨增大而增大（減?。ＴO(shè)連續(xù)，若經(jīng)過點(diǎn)變號(hào)，則=0。例1 討論函數(shù)的凹凸性區(qū)間解 由于，因而當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)。從而在上為凹函數(shù)，

5、在上為凸函數(shù)。定義2 設(shè)曲線在點(diǎn)處有穿過曲線的切線. 且在切點(diǎn)近旁,曲線在切線的兩側(cè)分別是凸的和凹的,這時(shí)稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).由定義可見, 拐點(diǎn)正是凸和凹曲線的分界點(diǎn)。拐點(diǎn)亦稱扭轉(zhuǎn)點(diǎn)。有關(guān)拐點(diǎn)的定理圖3-4-4定理4 若在二階可導(dǎo), 則為曲線的拐點(diǎn)的必要條件是.定理5 設(shè)在可導(dǎo), 在某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo), 若在和上的符號(hào)相反,則為曲線的拐點(diǎn).必須指出:若是曲線的一個(gè)拐點(diǎn), 在的導(dǎo)數(shù)不一定存在,請(qǐng)考察函數(shù)在的情況.判定區(qū)間上的連續(xù)曲線的拐點(diǎn)的步驟:(1) 求;(2) 令=0,解出這方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根,并求出在區(qū)間內(nèi)不存在的點(diǎn); 解=0,得，并求出內(nèi)不存在的點(diǎn)：； (3) 對(duì)(2)中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn), 檢查在左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào), 那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí),點(diǎn)是拐點(diǎn),當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí), 點(diǎn)不是拐點(diǎn). 考察經(jīng)過，時(shí)是否變號(hào)。例2 求曲線的拐點(diǎn)及凹凸的區(qū)間。解 函數(shù)的定義域?yàn)椋?解方程，得。把函數(shù)的定義域分成三個(gè)部分區(qū)間。在上,因此在在上,這曲線是凹的。在上,因此在在上,這曲線是凸的。是這曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)。例3 問曲線是否有拐點(diǎn)？解 。顯然，只有是方程的根，但當(dāng)時(shí)，無論或都有，因此點(diǎn)不是這曲線的拐點(diǎn)。曲線沒有拐點(diǎn)，它在內(nèi)是凹的。例4 求曲線的拐點(diǎn)。解這函數(shù)在