哈工大隨機信號實驗報告

1、Harbin Institute of Technology實驗報告課程名稱： 隨機信號分析 院 系： 電信學院 班 級： 姓 名：哈爾濱工業(yè)大學 實驗一 各種分布隨機數(shù)的產(chǎn)生一、 實驗目的在很多系統(tǒng)仿真的過程中，需要產(chǎn)生不同分布的隨機變量。利用計算機可以很方便地產(chǎn)生不同分布的隨機變量，各種分布的隨機變量的基礎是均勻分布的隨機變量。有了均勻分布的隨機變量，就可以用函數(shù)變換等方法得到其他分布的隨機變量。二、 實驗內(nèi)容產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù)、高斯分布的隨機數(shù)和其它分布的隨機數(shù)。三、 實驗原理 1. 均勻分布隨機數(shù)的產(chǎn)生原理產(chǎn)生偽隨機數(shù)的一種實用方法是同余法，它利用同余運算遞推產(chǎn)生偽隨機數(shù)序列。最簡單

2、的方法是加同余法為了保證產(chǎn)生的偽隨機數(shù)能在0,1內(nèi)均勻分布，需要M為正整數(shù)，此外常數(shù)c和初值y0亦為正整數(shù)。加同余法雖然簡單，但產(chǎn)生的偽隨機數(shù)效果不好。另一種同余法為乘同余法，它需要兩次乘法才能產(chǎn)生一個0,1上均勻分布的隨機數(shù)式中，a為正整數(shù)。用加法和乘法完成遞推運算的稱為混合同余法，即用混合同余法產(chǎn)生的偽隨機數(shù)具有較好的特性，一些程序庫中都有成熟的程序供選擇。常用的計算語言如Basic、C和Matlab都有產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)的函數(shù)可以調(diào)用，只是用各種編程語言對應的函數(shù)產(chǎn)生的均勻分布隨機數(shù)的范圍不同，有的函數(shù)可能還需要提供種子或初始化。Matlab提供的函數(shù)rand()可以產(chǎn)生一個在0,1區(qū)間

3、分布的隨機數(shù)，rand(2,4)則可以產(chǎn)生一個在0,1區(qū)間分布的隨機數(shù)矩陣，矩陣為2行4列。Matlab提供的另一個產(chǎn)生隨機數(shù)的函數(shù)是random('unif',a,b,N,M)，unif 表示均勻分布，a和b是均勻分布區(qū)間的上下界，N和M分別是矩陣的行和列。 2. 隨機變量的仿真根據(jù)隨機變量函數(shù)變換的原理，如果能將兩個分布之間的函數(shù)關(guān)系用顯式表達，那么就可以利用一種分布的隨機變量通過變換得到另一種分布的隨機變量。若X是分布函數(shù)為F(x)的隨機變量，且分布函數(shù)F(x)為嚴格單調(diào)升函數(shù)，令Y=F(X)，則Y必為在0,1上均勻分布的隨機變量。反之，若Y是在0,1上均勻分布的隨機變量

4、，那么即是分布函數(shù)為FX(x)的隨機變量。式中為的反函數(shù)。這樣，欲求某個分布的隨機變量，先產(chǎn)生在0,1區(qū)間上的均勻分布隨機數(shù)，再經(jīng)上式變換，便可求得所需分布的隨機數(shù)。3. 高斯分布隨機數(shù)的仿真廣泛應用的有兩種產(chǎn)生高斯隨機數(shù)的方法，一種是變換法，一種是近似法。如果X1,X2是兩個互相獨立的均勻分布隨機數(shù)，那么下式給出的Y1,Y2便是數(shù)學期望為m，方差為s2的高斯分布隨機數(shù)，且互相獨立，這就是變換法。另外一種產(chǎn)生高斯隨機數(shù)的方法是近似法。在學習中心極限定理時，曾提到n個在0,1區(qū)間上均勻分布的互相獨立隨機變量Xi (i=1,2,n)，當n足夠大時，其和的分布接近高斯分布。當然，只要n不是無窮大，這

5、個高斯分布是近似的。由于近似法避免了開方和三角函數(shù)運算，計算量大大降低。當精度要求不太高時，近似法還是具有很大應用價值的。4. 各種分布隨機數(shù)的仿真有了高斯隨機變量的仿真方法，就可以構(gòu)成與高斯變量有關(guān)的其他分布隨機變量，如瑞利分布、指數(shù)分布和c分布隨機變量。四、 實驗過程和結(jié)果分析 1、均勻分布、高斯分布隨機數(shù)的產(chǎn)生與仿真1 思路：利用已知matlab函數(shù)直接產(chǎn)生隨機數(shù)。2 程序 x=random('unif',5,10,1,1000);%產(chǎn)生1000個服從于U（5,10）的隨機數(shù) y=random('normal',0,1,1,3000);%產(chǎn)生3000個服從

6、于N（0,1）的隨機數(shù) subplot(211),plot(x);title('均勻分布隨機數(shù)') subplot(212),plot(y);title('高斯分布隨機數(shù)')3 仿真圖形 4 分析：產(chǎn)生的隨機數(shù)呈現(xiàn)中間多，兩頭少的趨勢，普遍集中于期望附近。 2、瑞利分布、指數(shù)分布及分布隨機數(shù)的產(chǎn)生與仿真思路：利用已知matlab函數(shù)的變換加和產(chǎn)生隨機數(shù)。程序N=5000;G1=random('Normal',0,1,1,N);G2=random('Normal',0,1,1,N);G3=random('Normal'

7、;,0,1,1,N);G4=random('Normal',0,1,1,N);R=sqrt(G1.*G1+G2.*G2);E=G1.*G1+G2.*G2;X=G1.*G1+G2.*G2+G3.*G3+G4.*G4;subplot(311);plot(R);title('瑞利分布隨機數(shù)')subplot(312);plot(E);title('指數(shù)分布隨機數(shù)')subplot(313);plot(X);title('4自由度x2分布隨機數(shù)')仿真圖形 分析：經(jīng)變換后的隨機數(shù)生成規(guī)律滿足所需要的隨機數(shù)如指數(shù)、瑞利分布。實驗二 隨機變量

8、檢驗一、 實驗目的隨機數(shù)產(chǎn)生之后，必須對它的統(tǒng)計特性做嚴格的檢驗。一般來講，統(tǒng)計特性的檢驗包括參數(shù)檢驗、均勻性檢驗和獨立性檢驗等。事實上，我們?nèi)绻诙A矩范圍內(nèi)討論隨機信號，那么參數(shù)檢驗只對產(chǎn)生的隨機數(shù)一、二階矩進行檢驗。我們可以把產(chǎn)生的隨機數(shù)序列作為一個隨機變量，也可以看成隨機過程中的一個樣本函數(shù)。不論是隨機變量還是隨機過程的樣本函數(shù)，都會遇到求其數(shù)字特征的情況，有時需要計算隨機變量的概率密度直方圖等。二、 實驗內(nèi)容1. 對實驗一產(chǎn)生的各種分布的隨機數(shù)進行均值和方差的檢驗。2. 對實驗一產(chǎn)生的各種分布的隨機數(shù)概率分布進行統(tǒng)計，并在計算機屏幕上顯示實際統(tǒng)計的概率密度直方圖。三、 實驗原理1.

9、均值的計算在實際計算時，如果平穩(wěn)隨機序列滿足各態(tài)歷經(jīng)性，則統(tǒng)計均值可用時間均值代替。這樣，在計算統(tǒng)計均值時，并不需要大量樣本函數(shù)的集合，只需對一個樣本函數(shù)求時間平均即可。甚至有時也不需要計算時的極限，況且也不可能。通常的做法是取一個有限的、計算系統(tǒng)能夠承受的N求時間均值和時間方差。根據(jù)強調(diào)計算速度或精度的不同，可選擇不同的算法。設隨機數(shù)序列，一種計算均值的方法是直接計算下式式中，xn為隨機數(shù)序列中的第n個隨機數(shù)。另一種方法是利用遞推算法，第n次迭代的均值也亦即前n個隨機數(shù)的均值為迭代結(jié)束后，便得到隨機數(shù)序列的均值遞推算法的優(yōu)點是可以實時計算均值，這種方法常用在實時獲取數(shù)據(jù)的場合。當數(shù)據(jù)量較大時

10、，為防止計算誤差的積累，也可采用式中，m1是取一小部分隨機數(shù)計算的均值。2. 方差的計算計算方差也分為直接法和遞推法。仿照均值的做法方差的遞推算法需要同時遞推均值和方差迭代結(jié)束后，得到隨機數(shù)序列的方差為其它矩函數(shù)也可用類似的方法得到。3. 統(tǒng)計隨機數(shù)的概率密度直方圖假定被統(tǒng)計的序列的最大值和最小值分別為a和b。將區(qū)間等分M（M應與被統(tǒng)計的序列的個數(shù)N相適應，否則統(tǒng)計效果不好。）份后的區(qū)間為， , ， , 。用，表示序列的值落在區(qū)間里的個數(shù)，統(tǒng)計序列的值在各個區(qū)間的個數(shù)，則就粗略地反映了隨機序列的概率密度的情況。用圖形方式顯示出來就是隨機數(shù)的概率密度直方圖。四、 實驗過程和結(jié)果分析 1、均勻分布

11、、高斯分布隨機數(shù)均值、方差的檢驗及概率密度直方圖 思路：隨機產(chǎn)生一組數(shù)算出均值、方差，與理論值比較。 程序x=random('unif',5,10,1,20000);%產(chǎn)生20000個服從于U（5,10）的隨機數(shù)y=random('normal',0,1,1,3000);%產(chǎn)生3000個服從于N（0,1）的隨機數(shù)subplot(211),hist(x,5:0.1:10);title('均勻分布隨機數(shù)')subplot(212),hist(y,-3:0.1:3);title('高斯分布隨機數(shù)')m1=mean(x)v1=var(x)

12、m2=mean(y)v2=var(y)仿真圖形分析：隨機數(shù)計算均值理論均值計算方差理論方差均勻分布7.55997.52.12522.083高斯分布0.009601.00241 2、瑞利、指數(shù)、分布隨機數(shù)均值、方差的檢驗及概率密度直方圖 思路：隨機產(chǎn)生一組數(shù)算出均值、方差，與理論值比較。 程序N=5000;G1=random('Normal',0,1,1,N);G2=random('Normal',0,1,1,N);G3=random('Normal',0,1,1,N);G4=random('Normal',0,1,1,N);R=s

13、qrt(G1.*G1+G2.*G2);E=G1.*G1+G2.*G2;X=G1.*G1+G2.*G2+G3.*G3+G4.*G4;subplot(311);hist(R,0:0.05:4);title('瑞利分布隨機數(shù)')subplot(312);hist(E,0:0.1:15);title('指數(shù)分布隨機數(shù)')subplot(313);hist(X,0:0.2:21);title('4自由度x2分布隨機數(shù)')m1=mean(R)v1=var(R)m2=mean(E)v2=var(E)m3=mean(X)v3=var(X) 仿真圖形 分析：隨機數(shù)

14、計算均值理論均值計算方差理論方差瑞利分布1.23121.2530.42910.429指數(shù)分布1.944923.95734分布3.909447.92898實驗三 中心極限定理的驗證一、 實驗目的利用計算機產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù)。對相互獨立的均勻分布的隨機變量做和，可以很直觀看到均勻分布的隨機變量的和，隨著做和次數(shù)的增加分布情況的變化，通過實驗對中心極限定理的進行驗證。二、 實驗內(nèi)容產(chǎn)生多組0,1區(qū)間上的均勻分布的隨機數(shù)序列，各序列的對應元素做和，夠成的和序列再進行隨機數(shù)的概率密度直方圖的統(tǒng)計，并作圖顯示。三、 實驗原理如果n個獨立隨機變量的分布是相同的，并且具有有限的數(shù)學期望和方差，當n無窮大時，

15、它們之和的分布趨近于高斯分布。這就是中心極限定理中的一個定理。我們以均勻分布為例，來解釋這個定理。若n個隨機變量Xi (i=1,2,n)都為0,1區(qū)間上的均勻分布的隨機變量，且互相獨立，當n足夠大時，其和的分布接近高斯分布。四、 實驗過程和結(jié)果分析 思路：產(chǎn)生n個0,1區(qū)間上的均勻分布的隨機數(shù)序列并作和，n取三組值，此外再產(chǎn)生一個高斯分布隨機數(shù)，對四組隨機數(shù)進行比較。 程序X1=random('unif',0,1,1,2000);X2=random('unif',0,1,1,2000);X3=random('unif',0,1,1,2000);X

16、4=random('unif',0,1,1,2000);X5=random('unif',0,1,1,2000);X6=random('unif',0,1,1,2000);G=random('normal',0,1,1,2000);Y1=X1+X2+X3; Y2=X1+X2+X3+X4+X5+X6; subplot(411);hist(X1,0:0.05:2);subplot(412);hist(Y1,0:0.05:4);subplot(413);hist(Y2,0:0.05:6);subplot(414);hist(G,-3:0

17、.05:3); 仿真圖形 分析： 隨n取值的增大，均勻分布隨機序列求和的圖形越發(fā)接近于高斯分布。實驗四 自相關(guān)函數(shù)的計算一、 實驗目的在隨機信號理論中，自相關(guān)函數(shù)是非常重要的概念。在實際系統(tǒng)仿真中也會經(jīng)常計算自相關(guān)函數(shù)。通過本試驗學生可以親自動手計算自相關(guān)函數(shù)，加深對概念的理解，并增強實際動手能力。二、 實驗內(nèi)容用一個數(shù)學期望為零和非零，方差為某值的高斯分布隨機數(shù)，作為樣本序列求自相關(guān)函數(shù)的估值，并用圖形顯示。三、 實驗原理在實際應用中，我們可以把產(chǎn)生的隨機數(shù)序列看成隨機過程中的一個樣本函數(shù)。如果平穩(wěn)隨機序列滿足各態(tài)歷經(jīng)性，則統(tǒng)計自相關(guān)序列可用時間自相關(guān)序列代替。當數(shù)據(jù)的樣本數(shù)有限時，也只能用

18、有限個數(shù)據(jù)來估計時間自相關(guān)序列，統(tǒng)計自相關(guān)序列的估值。若各態(tài)歷經(jīng)序列X(n)的一個樣本有N個數(shù)據(jù)，由于實序列自相關(guān)序列是對稱的，自相關(guān)函數(shù)的估值為四、 實驗過程和結(jié)果分析 思路：利用matlab函數(shù)直接產(chǎn)生所需自相關(guān)函數(shù)。 程序N=500;x1=random('normal',0,1,1,N);Rx1=xcorr(x1,'biased');m1=-N+1:N-1;subplot(211),plot(m1,Rx1);xlabel('m1')ylabel('Rx1(m1)')title('均值為0，方差為1的高斯分布的自相關(guān)函

19、數(shù)');axis(-N N -0.5 1.5);x2=random('normal',1,1,1,N);Rx2=xcorr(x2,'biased');m2=-N+1:N-1;subplot(212),plot(m2,Rx2);xlabel('m2')ylabel('Rx2(m2)')title('均值為1，方差為1的高斯分布的自相關(guān)函數(shù)');axis(-N N -0.5 2); 仿真圖形 分析： 分別生成均值為0和1，方差為1的高斯隨機數(shù)，由圖形可以明顯看出兩者自相關(guān)函數(shù)的差異。實驗五 功率譜密度一、 實驗

20、目的在隨機信號理論中，功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)一樣都是非常重要的概念。在實際系統(tǒng)仿真中也會經(jīng)常計算。通過本試驗學生可以親自動手，加深對概念的理解，并增強實際動手能力。二、 實驗內(nèi)容用實驗四計算出的自相關(guān)函數(shù)的估值，作為樣本序列求功率譜密度的估值，并用圖形顯示。三、 實驗原理一般把平穩(wěn)隨機序列的功率譜定義為自相關(guān)序列的傅里葉變換。如果自相關(guān)序列是周期序列，可仿照隨機過程的情況，引人適當?shù)膁函數(shù)。平穩(wěn)序列X(n)的功率譜與自相關(guān)序列的關(guān)系為與實平穩(wěn)過程一樣，實平穩(wěn)序列的功率譜也是非負偶函數(shù)，即可以證明，功率譜還可表示為當X(n)為各態(tài)歷經(jīng)序列時，可去掉上式中的統(tǒng)計均值計算，將隨機序列X(n)用它的一

21、個樣本序列x(n)代替。在實際應用中，由于一個樣本序列的可用數(shù)據(jù)個數(shù)N有限，功率譜密度也只能是估計值式中，X(w)是x(n)的傅里葉變換。這是比較簡單的一種估計方法，這種功率譜密度的估計方法稱為周期圖方法。如果直接利用數(shù)據(jù)樣本做離散傅里葉變換，可得到X(w)的離散值。由于這種方法可借助FFT算法實現(xiàn)，所以得到了廣泛的應用。四、 實驗過程和結(jié)果分析 思路：利用實驗四中的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系產(chǎn)生或用matlab函 數(shù)直接產(chǎn)生所需功率譜密度。 程序N=500;x1=random('normal',0,1,1,N);Sx1=abs(fft(x1).2)/N;subplot(21

22、1),plot(10*log10(Sx1);axis(0 300 -40 10)xlabel('f/Hz')ylabel('Sx1/dB')title('均值為0，方差為1的高斯分布的功率譜密度');x2=random('normal',1,1,1,N);Sx2=periodogram(x2);subplot(212),plot(10*log10(Sx2);xlabel('f/Hz')ylabel('Sx2/dB')title('均值為1，方差為1的高斯分布的功率譜密度'); 仿真圖

23、形 分析：由波形知，兩種方法均可產(chǎn)生功率譜密度。實驗六 隨機信號經(jīng)過線性系統(tǒng)前后信號仿真一、 實驗目的系統(tǒng)仿真是信號仿真處理的一個重要部分，通過該實驗要求學生掌握系統(tǒng)仿真的基本概念，并學會系統(tǒng)的仿真方法。二、 實驗內(nèi)容仿真信號和加性噪聲經(jīng)過各種系統(tǒng)前后的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度并圖示。三、 實驗原理需要先仿真一個指定系統(tǒng)，再根據(jù)需要仿真輸入的隨機信號，然后使這個隨機信號通過指定的系統(tǒng)。通過對實際系統(tǒng)建模, 計算機可以對很多系統(tǒng)進行仿真。在信號處理中，一般將線性系統(tǒng)分解為一個全通放大器（或衰減器）和一個特定頻率響應的濾波器。由于全通放大器可以用一個常數(shù)代替，因此線性系統(tǒng)的仿真往往只需設計一個數(shù)字濾

24、波器。濾波器設計可采用MATLAB提供的函數(shù)，也可利用相應的方法自行設計。MATLAB提供了多個設計濾波器的函數(shù)，可以很方便地設計低通、帶通、高通、多帶通、帶阻濾波器。四、 實驗過程和結(jié)果分析 思路：實驗產(chǎn)生的隨機信號，其中、為0,內(nèi)均勻分布的隨機變量，是數(shù)學期望為0、方差為1的高斯白噪聲，通過各種系統(tǒng)得到所需仿真圖形。 程序 1、X（n）信號的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度N=2000;fs=400;Nn=random('normal',0,1,1,N);t=(0:N-1)/fs;fi=random('unif',0,1,1,2)*2*pi;xn=cos(2*pi*5

25、0*t+fi(1)+3*cos(2*pi*150*t+fi(2)+Nn;Rx=xcorr(xn,'biased');m=-N+1:N-1;Sx=abs(fft(xn).2)/N;f=(-N/2:N/2-1)*fs/N;subplot(211),plot(m,Rx);xlabel('m')ylabel('Rx(m)')title('xn的自相關(guān)函數(shù)');subplot(212),plot(f,fftshift(10*log10(Sx(1:N);xlabel('f/Hz')ylabel('Sx/dB')

26、title('xn的功率譜密度'); 2、X（n）通過低通濾波器N=2000;fs=400;Nn=random('normal',0,1,1,N);t=(0:N-1)/fs;fi=random('unif',0,1,1,2)*2*pi;xn=cos(2*pi*50*t+fi(1)+3*cos(2*pi*150*t+fi(2)+Nn;h=fir1(100,0.4);H=fft(h,2*N);H2=abs(H).2;Rx=xcorr(xn,'biased');Sx=abs(fftshift(fft(xn,2*N).2)/(2*N);S

27、y=Sx.*H2;Ry=fftshift(ifft(Sy);f=(-N:N-1)*fs/(2*N);m=(-N:N-1)/N*(N/2000);subplot(311);plot(-N:N-1)/N,fftshift(abs(H2(1:2*N);title('低通濾波器');subplot(312),plot(m,Ry);xlabel('m')ylabel('Ry(m)')title('xn經(jīng)低通濾波器的自相關(guān)函數(shù)');subplot(313),plot(f,fftshift(10*log10(Sy(1:2*N);axis(-20

28、0 200 -20 50);xlabel('f/Hz')ylabel('Sy/dB')title('xn經(jīng)低通濾波器的功率譜密度'); 3、帶通N=2000;fs=400;Nn=random('normal',0,1,1,N);t=(0:N-1)/fs;fi=random('unif',0,1,1,2)*2*pi;xn=cos(2*pi*50*t+fi(1)+3*cos(2*pi*150*t+fi(2)+Nn;h=fir1(100,0.1 0.5);H=fft(h,2*N);H2=abs(H).2;Rx=xcorr

29、(xn,'biased');Sx=abs(fftshift(fft(xn,2*N).2)/(2*N);Sy=Sx.*H2;Ry=fftshift(ifft(Sy);f=(-N:N-1)*fs/(2*N);m=(-N:N-1)/N*(N/2000);subplot(311);plot(-N:N-1)/N,fftshift(abs(H2(1:2*N);title('帶通濾波器');subplot(312),plot(m,Ry);xlabel('m')ylabel('Ry(m)')title('xn經(jīng)帶通通濾波器的自相關(guān)函數(shù)&#

30、39;);subplot(313),plot(f,fftshift(10*log10(Sy(1:2*N);axis(-200 200 -20 50);xlabel('f/Hz')ylabel('Sy/dB')title('xn經(jīng)帶通濾波器的功率譜密度'); 4、高通N=2000;fs=400;Nn=random('normal',0,1,1,N);t=(0:N-1)/fs;fi=random('unif',0,1,1,2)*2*pi;xn=cos(2*pi*50*t+fi(1)+3*cos(2*pi*150*t+f

31、i(2)+Nn;h=fir1(100,0.6,'high');H=fft(h,2*N);H2=abs(H).2;Rx=xcorr(xn,'biased');Sx=abs(fftshift(fft(xn,2*N).2)/(2*N);Sy=Sx.*H2;Ry=fftshift(ifft(Sy);f=(-N:N-1)*fs/(2*N);m=(-N:N-1)/N*(N/2000);subplot(311);plot(-N:N-1)/N,fftshift(abs(H2(1:2*N);title('高通濾波器');subplot(312),plot(m,Ry

32、);xlabel('m')ylabel('Ry(m)')title('xn經(jīng)高通通濾波器的自相關(guān)函數(shù)');subplot(313),plot(f,fftshift(10*log10(Sy(1:2*N);axis(-200 200 -20 50);xlabel('f/Hz')ylabel('Sy/dB')title('xn經(jīng)高通濾波器的功率譜密度'); 5、多帶通N=2000;fs=400;Nn=random('normal',0,1,1,N);t=(0:N-1)/fs;fi=random('unif',0,1,1,2)*2*pi;xn=cos(2*pi*50*t+fi(1)+3*cos(2*pi*150*t+fi(2)+Nn;h=fir1(100,0.2,0.4,0.6,0.8);H=fft(h,2*N);H2=abs(H).2;Rx=xcorr(xn,'biased');Sx=abs(fftshift(fft(xn,2*N).2)/(2*N);Sy=Sx.*H2;Ry=fftshift(ifft(Sy);f=(-N:N-1)*fs/(2*N);m=(-N:N-1)/N*(N/2000);subplot(