子主題二 圓冪定理的應(yīng)用講解

1、一、 學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)一步理解圓冪定理的作用與內(nèi)涵，能夠運(yùn)用圓冪定理解決有關(guān)的線段問題和面積計(jì)算問題從方程的視角看待圓冪定理，感悟“圖形”與“數(shù)量”的內(nèi)在聯(lián)系，提高分析問題和解決問題的能力 在用圓中比例線段探索實(shí)際問題的過程中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心通過小組之間的分工與合作，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高探究問題的能力二、 重難點(diǎn)分析通過對(duì)與圓有關(guān)的線段長問題的分析，學(xué)生將能認(rèn)識(shí)到圓冪定理有助于建立與與圓有關(guān)的線段的長度間的關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用圓冪定理解決問題用方程的觀點(diǎn)看待圓冪定理，從而運(yùn)用該定理實(shí)現(xiàn)已知與未知的轉(zhuǎn)化是本探究活動(dòng)的難點(diǎn)，可以通過分析題目中的已知、未知，引導(dǎo)學(xué)生沿著已知或者

2、未知展開聯(lián)想的方式克服這一難點(diǎn)，在問題解決后，再次強(qiáng)化方程思想在解題中的作用三、 活動(dòng)建議方案圓冪定理的應(yīng)用活動(dòng)建議方案一、活動(dòng)流程框圖圓冪定理的應(yīng)用相似三角形判定方法知識(shí)準(zhǔn)備探究過程交流成果反思總結(jié)三角函數(shù)和解直角三角形圓冪定理及其推論問題引入分組合作討論探究交流成果反思總結(jié)二、活動(dòng)過程2.1活動(dòng)任務(wù)通過探究活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)如何運(yùn)用相交弦定理及其推論、切割線定理及其推論進(jìn)行線段長度計(jì)算2.2活動(dòng)1：線段長度的計(jì)算活動(dòng)內(nèi)容第一步：提出問題出示線段長度的計(jì)算題（見媒體資源），請(qǐng)學(xué)生完成第二步：小組合作探究請(qǐng)學(xué)生以小組為單位解決上述問題，根據(jù)需要可以給學(xué)生提出如下建議：第一，每位同學(xué)首先獨(dú)立思考，

3、將自己面對(duì)問題的想法和感到的困難記下來；第二，小組內(nèi)就題目的共同特點(diǎn)、對(duì)解決問題過程中獲得的感悟以及總結(jié)出的通性通法進(jìn)行提煉總結(jié)，向全班交流第三步：全班集體交流選擇23個(gè)具有不同特點(diǎn)的小組的同學(xué)匯報(bào)自己的探究結(jié)果，全班討論，建議從如下幾個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)：第一，解決與圓有關(guān)的線段長度問題時(shí)，圓冪定理是個(gè)重要工具；第二，有些問題直接給出的條件不符合圓冪定理的條件，可以通過添加輔助線的方式使之適應(yīng)于圓冪定理；第三，圓冪定理實(shí)質(zhì)上可以看成是一個(gè)等量關(guān)系，因此，應(yīng)用它時(shí)可以結(jié)合方程思想花未知為已知參考資料1相交弦定理相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被

4、這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2=PA·PB2割線定理割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B和C、D，則有 PA·PB=PC·PD3切割線定理切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。是圓冪定理的一種。若PT切O于點(diǎn)T，PBA是O的割線，則PT2 =PA·PB. 切割線定理與割線定理、相交弦定理，通稱為圓冪定理4相似三角

5、形的判定方法相似三角形的判定方法有：平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似直角三角形相似判定定理1：斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似5.圓的切線性質(zhì)定理圓的切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑推論：經(jīng)過圓心(或切點(diǎn)

6、)且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)(或圓心) 于是，切線具有如下性質(zhì)：(1)切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)； (2)切線與圓心的距離等于圓的半徑；(3)切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；(4)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；(5)經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心 如圖：直線MN與圓O相切，切點(diǎn)為N依據(jù)圓的切線性質(zhì)定理，則有：MNON活動(dòng)組織方式本活動(dòng)的組織首先由教師提出探究任務(wù)，學(xué)生明確探究任務(wù)；學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組內(nèi)部交流，教師進(jìn)行巡視指導(dǎo)；集體交流時(shí)請(qǐng)學(xué)生充分發(fā)表自己的意見，引導(dǎo)其他學(xué)生傾聽，在討論后，由教師點(diǎn)撥提升活動(dòng)評(píng)價(jià)方式從兩個(gè)方面對(duì)探究活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià)，分別是過程性評(píng)價(jià)和效果性評(píng)價(jià)，采用教師評(píng)價(jià)

7、、學(xué)生互評(píng)、學(xué)生自評(píng)的方式所需學(xué)習(xí)資源線段長度的計(jì)算例題1.doc線段長度的計(jì)算例題2.doc線段長度的計(jì)算例題3.doc線段長度的計(jì)算例題1解答.doc線段長度的計(jì)算例題2解答.doc線段長度的計(jì)算例題3解答.doc所需學(xué)習(xí)時(shí)間20分鐘活動(dòng)2：圖形面積的計(jì)算活動(dòng)內(nèi)容第一步：提出問題出示如下圖形面積的計(jì)算題（見媒體資源），請(qǐng)學(xué)生完成第二步：小組合作探究請(qǐng)學(xué)生以小組為單位解決上述問題，根據(jù)需要可以給學(xué)生提出如下建議：第一，每位同學(xué)首先獨(dú)立思考，將自己面對(duì)問題的想法、分析過程和感到的困難記下來；第二，小組內(nèi)就題目的共同特點(diǎn)、對(duì)解決問題過程中獲得的感悟以及總結(jié)出的通性通法進(jìn)行提煉總結(jié)，向全班交流第三

8、步：全班集體交流選擇23個(gè)具有不同特點(diǎn)的小組的同學(xué)匯報(bào)自己的探究結(jié)果，全班討論，建議從如下幾個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)：第一，遇到幾何問題時(shí)，如果感覺條件少，不妨把解決問題需要的數(shù)據(jù)用字母表示，然后充分利用已知條件和理論建立未知量和已知量的關(guān)系，通過方程的方法解決；第二，圓冪定理給確定的是與圓有關(guān)的線段的關(guān)系，在解決面積問題時(shí)可以采用整體思想運(yùn)用之參考資料和圓有關(guān)的比例線段知識(shí)體系相交弦定理及其推論 內(nèi)容切割線定理及其推論和圓有關(guān)的比例線段解有關(guān)的計(jì)算和證明題 應(yīng)用在作圖中的應(yīng)用活動(dòng)組織方式本探究活動(dòng)采用小組合作學(xué)習(xí)、探究的組織形式活動(dòng)評(píng)價(jià)方式從兩個(gè)方面對(duì)探究活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià)，分別是過程性評(píng)價(jià)和效果評(píng)價(jià)，采用

9、師生互評(píng)、學(xué)生互評(píng)及學(xué)生自評(píng)的方式所需學(xué)習(xí)資源圖形面積的計(jì)算例題1.doc圖形面積的計(jì)算例題1解答.doc圖形面積的計(jì)算例題2.doc圖形面積的計(jì)算例題2解答.doc所需學(xué)習(xí)時(shí)間20分鐘四、 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 圓冪定理的應(yīng)用學(xué)習(xí)效果測試 學(xué)習(xí)效果測試姓名_ 等級(jí)_一、選擇與填空:（每小題10分）1圓內(nèi)兩弦相交，其中一條弦長為8 cm，且被交點(diǎn)平分，另一條被交點(diǎn)分為1:4兩部分，則這條弦長為（ ）A2 cm B8 cm C10 cm D16 cm2自圓外一點(diǎn)所作過圓心的割線長是12 cm，圓的半徑為4 cm，則過此點(diǎn)所引的切線長為（ ）A16 cm B43 cm C42 cm D以上答案都不對(duì)3O中直徑CD垂直弦AB于E，AB6，DECE13，則DE的長為（ ）A3 B3 C23 D64如圖1，O的半徑為6，PQ6，AR8則QR的長為（ ）A9 B10 C11 D125如圖2，CD為O直徑，弦AB垂直CD于P，AP4，PD2，則PO_ 6如圖3，PAB為O的割線，PC切O于C，PC10，AB15，則PA長為_7如圖4，弦AB垂直弦CD于E，若AE2，BE6，