中考數(shù)學(xué)——反比例函數(shù)的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)含答案解析

1、中考數(shù)學(xué)一一反比例函數(shù)的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)含答案解析、反比例函數(shù)1.如圖，反比例函數(shù)yi=上的圖象與一次函數(shù)y2=是 4,點(diǎn) F (1, m)在反比例函數(shù) y1=丄的圖象上.(1)(2)(3)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；觀察圖象回答：當(dāng) x 為何范圍時(shí)，y1 y2； 求厶 FAB 的面積.【答案】(1)解：把入丫1= ，得 k=4.1X=4代入 y2= x,得到點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(4, 1),把點(diǎn) B( 4，1)代反比例函數(shù)的表達(dá)式為(2) 解：點(diǎn) A 與點(diǎn)觀察圖象得，當(dāng) xv-4 或 Ovxv4 時(shí)，y1 y2(3) 解：過點(diǎn) A 作 AR 丄 y 軸于 R,過點(diǎn) P 作 PS 丄 y 軸于 S,連

2、接 PO, 點(diǎn)C,如圖，點(diǎn) A 與點(diǎn) B 關(guān)于原點(diǎn)對稱， OA=OB,. SAOF=SBOP,-SAPAB=2SAOP.yi=-B 關(guān)于原點(diǎn)對稱， A 的坐標(biāo)為(-4，- 1),設(shè) AP 與 y 軸交于y1= 中，當(dāng) x=1 時(shí)，y=4,- F (1, 4).設(shè)直線 AF 的函數(shù)關(guān)系式為 y=mx+n ,把點(diǎn) A (- 4,- 1)、F (1 , 4)代入 y=mx+n,一4也十M =一1解得故直線 AP 的函數(shù)關(guān)系式為 y=x+3,則點(diǎn) C 的坐標(biāo)（0, 3）, OC=3,SAAOF=SAAOC+SAPOC1 1=-OC?AR+ - OC?PSJ_ J_=-x3X4+x3xi15【解析】【分

3、析】（1）把 x=4 代入 y2= x,得到點(diǎn) B 的坐標(biāo)，再把點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入 yi=，求出 k 的值，即可得到反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）觀察圖象可知，反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)圖象上方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍就是不等式y(tǒng)iy2的解集；（3）過點(diǎn)A 作 AR 丄 y 軸于 R,過點(diǎn) P 作 PS 丄 y 軸于 S,連接 PO,設(shè) AP 與 y 軸交于點(diǎn) C,由點(diǎn) A 與點(diǎn) B 關(guān)于原點(diǎn)對稱，得出 OA=OB,那么SXAOF=SABOP,SAFAB=2SAOF.求出 P 點(diǎn)坐標(biāo)，利用 待定系數(shù)法求出直線 AP的函數(shù)關(guān)系式，得到點(diǎn)C 的坐標(biāo)，根據(jù)SXAOF=SXAOC+SAPOC求出九SA

4、AOF=-，貝USAPAB=2SAAOF=15.2 心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40 分鐘中，學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化開始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理 想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間 x （分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、BC 分別為線段，CD 為雙曲線的一部分）：40C/：；(4 :LO2（1）開始上課后第五分鐘時(shí)與第三十分鐘時(shí)相比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？（2） 一道數(shù)學(xué)競賽題，需要講19 分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低達(dá)到 36,那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在

5、學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？【答案】（1）解：設(shè)線段 AB 所在的直線的解析式為 yi=kix+20，把 B（ 10，40）代入得，ki=2, y1=2x+20.h設(shè) C、D 所在雙曲線的解析式為対,把 C （25 , 40）代入得，k2=1000,100嚴(yán)二T當(dāng) X1=5 時(shí)，y1=2X5+20=30100010C3.如圖，Pi、P2（ P2在 Pi的右側(cè)）是 y （k 0）在第一象限上的兩點(diǎn)，點(diǎn) A1的坐標(biāo)為（2，0）1/- V0A：jAj（1）填空：當(dāng)點(diǎn) Pi的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)， PiOAi的面積將 _ （減小、不變、增大）（2 ）若厶 PiOAi與厶 P2A1A2均為等邊

6、三角形，1求反比例函數(shù)的解析式；2求出點(diǎn) P2的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象直接寫在第一象限內(nèi)，當(dāng)X 滿足什么條件時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)kPi、P2的一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)y=丄的函數(shù)值.【答案】（i）減小0Ai=2, PiOAi是等邊三角形， / PiOAi=60 又TPiB 丄 OAi,OB=BAi=i, PiB=, Pi的坐標(biāo)為（i ,）,代入反比例函數(shù)解析式可得k=.,反比例函數(shù)的解析式為科八； 如圖所示，過 P2作 P2C 丄 AiA2于點(diǎn) C, F2AiA2為等邊三角形， / P2AiA2=60 設(shè) AiC=x 貝 U P2C=x,點(diǎn) P2的坐標(biāo)為（2+X,卜彳 X）,代入反比例函數(shù)解析式可得（2

7、+x）. x=,解得 X1=計(jì)二-1 , X2= &濟(jì)-1 （舍去），0C=2+|W-1=電+1,P2C= $（ *2 -1）=氣岡-0）上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PC 丄 x 軸于點(diǎn)C，PD 丄 y 軸于點(diǎn) D.求四邊形ABCD 面積的最（2）解：設(shè) P （X， 丫），貝 V C（X，0）， D (0,I ), - - CA=x+3, BD+4, S四邊形ABCCF二CAXBD= (x+3)( x +4),化簡得： S=2 (x+ *) +12. / x 0,X X 37 N =6,只有當(dāng)x=，即 x=3 時(shí)，等號成立， S 2X6+12=24四邊形 ABCD 的面積P ( 3,

8、4), C (3 , 0), D ( 0, 4), AB=BC=CD=DA=5 四邊形【解析】【解答】解：（1 ）根據(jù)題目所給信息可知 m+皿,且當(dāng) m= 時(shí)等號,，只有當(dāng)12（2）根據(jù)雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)設(shè)出P 點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)垂直于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)表示出 C,D 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出 AC,BD 的長，根據(jù)對角線互相垂直的四邊形的面積等于 兩對角線積的一半建立出 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題干提供的信息得出得出罷 7 氣只有在 匚即 x=3 時(shí)，等號成立，從而得出S 的最小值，從而得出PC,D 三點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而算出 AB=BC=CD=DA=5 根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形得出結(jié)論。

9、6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A (- 5, 0)，以 0A 為半徑作半圓，點(diǎn) C 是第一象限 內(nèi)圓周上一動點(diǎn)，連結(jié)ACBC,并延長 BC 至點(diǎn) D,使 CD= BC,過點(diǎn) D 作 x 軸垂線，分別交 x 軸、直線 AC 于點(diǎn) E、F,點(diǎn) E 為垂足，連結(jié) OF.(1) 當(dāng)/ BAC= 30o 時(shí)，求 ABC 的面積；(2) 當(dāng) DE= 8 時(shí)，求線段 EF 的長；(3)在點(diǎn) C 運(yùn)動過程中，是否存在以點(diǎn)E、0、F 為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相似，若存 在，請求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】(1)解：/ AB 是 O0 的直徑， / ACB=90 ,在 RtA ABC 中，A

10、B=10, / BAC=30 , BC= AB=5,AC=右用-爐二朋1SAABC=-AC?BC=2x=60 的度數(shù)90 時(shí),點(diǎn) E 在 O 點(diǎn)的左側(cè),15十靈i7E/ACB=90,CD=BC AD=AB=10,DE 丄 AB,AE= W -比=6,BE=AB-AE=4,DE=2BE,/AFE+ZFAE=90, /DBE+ZFAE=90, ZAFE=ZDBE,/ZAEF=ZDEB=90, AEFADEB,EF= AE=X6=3(3 )解：連接 EC,設(shè) E(x, 0),當(dāng) 的度數(shù)為 60時(shí)，點(diǎn) E 恰好與原點(diǎn) 0 重合；回10 的度數(shù)60。時(shí)，點(diǎn) E 在 0、B 之間，ZEOFN BAC=ZD

11、,又/OEF=Z ACB=90 ,由相似知ZEOF=ZEBD,此時(shí)有 EOF EBD,0EBE/ EC 是 RtABDE 斜邊的中線,CE=CB ZCEB=Z CBE,OF/CE, AOFsAECAO OF OFAE CE 1尹AO 20k二BE15土刃J:解得 x=因?yàn)?x0,若/ EOFh B,貝 U OF/ BD,.OF= BC= BD,OF OE 1 x 13宙？/ 即國解得 x= , 若 / EOFN BAC,貝 U x=- J-15十51 A綜上點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(，0);【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理求得 / ACB=90，根據(jù) 30的直角三角形的性質(zhì)求得 BC,進(jìn)而根據(jù)勾股

12、定理求得AC，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得；(2)連接 AD，由垂直平分線的性質(zhì)得 AD=AB=10,又 DE=8,在 RtAODE 中，由勾股定理求 AE，依題意證 明厶 AEFDEB,禾 U 用相似比求 EF;( 3)當(dāng)以點(diǎn) E、O、F 為頂點(diǎn)的三角形與 ABC 相似 時(shí)，分為兩種情況：當(dāng)交點(diǎn) E 在 O, B 之間時(shí)；當(dāng)點(diǎn) E 在 O 點(diǎn)的左側(cè)時(shí)；分別求 E 點(diǎn) 坐標(biāo).7.如圖， 二次函數(shù) y=x2 3 4+bx+c 的圖像與 x 軸交于 A, B 兩點(diǎn)， B 點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),與 y 軸交于 點(diǎn) C(0,4).點(diǎn) D 為拋物線上一點(diǎn)(1) 求拋物線的解析式及 A 點(diǎn)坐標(biāo)；(2 )若

13、厶 BCD 是以 BC 為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D 的坐標(biāo)；(3 )若厶 BCD 是銳角三角形，請直接寫出點(diǎn) D 的橫坐標(biāo) m 的取值范圍 _ .【答案】(1)解：將 B (4,0), C (0,4)代入 y=x2+bx+c 得， c = 6b = _彳 廠 J，解得，7,所以拋物線的解析式為丫 -處丿，令 y=0,得 4 nM，解得|打-，船 / ,.A 點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)2 解：設(shè) D 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 k，則縱坐標(biāo)為,當(dāng)/ BCD=90時(shí)，如下圖所示，連接BC,過 C 點(diǎn)作 CD 丄 BC 與拋物線交于點(diǎn) D,過 D 作DE 丄 y 軸與點(diǎn) E,( J , 0 )； OBC 為等腰直角三

14、角形， /OCB=ZOBC=45；又 / BCD=90 ,/ECD+ZOCB=90ZECD=45,- CDE 為等腰直角三角形， DE=CE=a OE=OC+CE=a+4由 D、E 縱坐標(biāo)相等，可得-忌亠解得醞二茂，應(yīng) ,當(dāng) k 二：（時(shí)，D 點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）,與 C 重合，不符合題意，舍去當(dāng)狀=上時(shí)，D 點(diǎn)坐標(biāo)為（6,10）;2當(dāng)ZCBD=90時(shí)，如下圖所示，連接 BC,過 B 點(diǎn)作 BD 丄 BC 與拋物線交于點(diǎn) D,過 B 作FG 丄 x 軸，再過 C 作 CF 丄 FG 于 F,過 D 作 DG 丄 FG 于 G,/ ZCOB=ZOBF=ZBFC=90,四邊形 OBFC 為矩形，又

15、OC=OB四邊形 OBFC 為正方形， / CBF=45 / / CBD=90 ,/CBF+ZDBG=90 / DBG=45 DBG 為等腰直角三角形， DG=BG D 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 a, DG=4-a,而 BG= -心D-（d - 5n 0 - ! a解得醞二總，I 站=彳當(dāng)|占二 6 時(shí)，D 點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,與 B 重合，不符合題意，舍去 當(dāng) k = 3 時(shí)，D 點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-2）;綜上所述，D 點(diǎn)坐標(biāo)為（6,10）或（2,-2）.（3）3+ .vmv6 或 3- . vmv2【解析】【解答】解：（3）當(dāng) BC 為斜邊構(gòu)成 RtABCD 時(shí)，如下圖所示，以 BC 中點(diǎn) O為 圓心，以

16、BC 為直徑畫圓，與拋物線交于 D 和 D， / BDC=/BDC=90 , D 到 O的距離為圓 O的半徑/ D 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 m,縱坐標(biāo)為 一辰 4 |：於 : -:;-O點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）-化簡得：:總-由圖像易得 m=0 或 4 為方程的解，則方程左邊必有因式采用因式分解法進(jìn)行降次解方程増仙-4）-(Joi 6) = G ,2當(dāng) CM 昭時(shí)，W / + (-盒+ 2)2,V73屈XI - 1 t - JC2 - 13當(dāng)紐朋時(shí)，+ f _ -少十刃? -一 1卩于 f - Mr于 2卩解得 b 乞皐此時(shí)片簽【解析】【分析】(1)將A、B倆點(diǎn)代入拋物線解析式即可求出M的坐標(biāo)，再設(shè)直線肌 的解

17、析式為廠加“屯， 代入M的值計(jì)算即可.(2)由已知軸， =可得點(diǎn)的坐標(biāo)為 譏.-盈 寸花；|,再根據(jù)鑿衣伽他二沐宓扌R 漁半詁即可求得 t 的值.(3) 存在，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分情況進(jìn)行解答即可9如圖 1,在矩形 ABCD 中，AB=6cm, BC=12cm，點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始以 1cm/s 的速度沿 AB 邊向點(diǎn) B運(yùn)動，點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 以 2cm/s 的速度沿 BC 邊向點(diǎn) C 運(yùn)動，如果 P、Q 同時(shí)出發(fā)，(3)否能平分/ ADQ?若能，求出點(diǎn) Q 運(yùn)動的時(shí)間；若不能,【答案】(1)解：當(dāng) t=2 時(shí)，AP=t=2, BQ=2t=4, / BP=AB-AP=4/ PBQ 的面

18、積=X4 X；4=8(2)解：當(dāng) t=時(shí)，AP=1.5, PB=4.5, BQ=3, CQ=9, DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25, PQ2=PB2+BQ2=29.25, DQ2=CD2+CQ?=117,(1) b二-Fr 怙#J ,y(1)當(dāng) t=2時(shí)，求(2)J當(dāng) t= 時(shí)，試說明DPQ 是直角三角形；當(dāng)運(yùn)動 3s 時(shí)，P 點(diǎn)停止運(yùn)動，Q 點(diǎn)以原速立即向B 點(diǎn)返回，在返回的過程中，DP 是請說明理由 ?；0/PQ2+DQ2=DP2, /DQP=90 ,DPQ 是直角三角形CD2ABOQ,又CD=6,QB=x,CQ:.BQ A0=AB+B0=6+ /ADP=ZODP,

19、12 : DO=AP: PO,代入解得 x=0.75, DP 能平分/ ADQ,點(diǎn) Q 的速度為 2cm/s , P 停止后 Q 往 B 走的路程為（6-0.75） =5.25cm.時(shí)間為 2.625s，加上剛開始的 3s, Q 點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為 5.625s.【解析】【分析】（1）根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間得出AP=t=2, BQ=2t=4,所以 BP=4 進(jìn)而根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法即可算出答案；（2） 當(dāng) t=時(shí)，根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間得出 AP=1.5, BQ=3,故 PB=4.5, CQ=9,根 據(jù)勾股定理表示出 DP2,PQ2,DQ2 從而根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出 / DQP=90

20、 , DPQ 是 直角三角形；（3） 設(shè)存在點(diǎn) Q 在 BC 上，延長 DQ 與 AB 延長線交于點(diǎn) O ,設(shè) QB 的長度為 x,貝 U QC 的長度為（12-x）, 判斷出CD2ABOQ, 根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊成比例得出CQ CL二DC/BO, /C=ZQBO,/CDQ=ZO,QC=12-x,12 - x解得:DQ 與 AB 延長線交于點(diǎn) O.12-x),BO=，即加骯,根據(jù)比例式可以用含x 的式子表示出 BO 的長，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出12: DO=AP: P0,根據(jù)比例式求出 x 的值，從而即可解決問題 .10.如圖，已知一次函數(shù)y - X+4 的圖象是直線 I，設(shè)直線 I 分

21、別與 y 軸、x 軸交于點(diǎn)A、B.(1) 求線段 AB 的長度；(2) 設(shè)點(diǎn) M 在射線 AB 上，將點(diǎn) M 繞點(diǎn) A 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90到點(diǎn) N，以點(diǎn) N 為圓 心，NA 的長為半徑作ON.1當(dāng)ON 與 x 軸相切時(shí)，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；2在的條件下，設(shè)直線 AN 與 x 軸交于點(diǎn) C,與ON 的另一個(gè)交點(diǎn)為 D,連接 MD 交 x 軸于點(diǎn) E,直線 m 過點(diǎn) N 分別與 y 軸、直線 I 交于點(diǎn) P、0,當(dāng) APQ 與厶 CDE 相似時(shí)，求 點(diǎn) P 的坐標(biāo).【答案】(1)解：當(dāng) x=0 時(shí)，y=4,二 A (0, 4),OA=4,4當(dāng) y=0 時(shí)，-1x+4=0,x=3, B (3, 0

22、),OB=3,由勾股定理得：AB=5(2)解：如圖 1,過 N 作 NH 丄 y 軸于 H,過 M 作 ME 丄 y 軸于 E,OB EM 3tan / OAB=創(chuàng)丿 F ，設(shè) EM=3x, AE=4x,貝 U AM=5x,/ M ( 3x, -4x+4),由旋轉(zhuǎn)得：AM=AN , / MAN=90 ,/EAM+ZHAN=90；/ZEAM+ZAME=90ZHAN=ZAME,/ZAHN=ZAEM=90；AHNAMEA, AH=EM=3x,vON 與 x 軸相切，設(shè)切點(diǎn)為 G,連接 NG,則 NG 丄 x 軸, NG=OH,則 5x=3x+4,2x=4,x=2, M ( 6, -4);如圖 2，由

23、知 N(8, 10), D (16, 16),設(shè)直線 DM: y=kx+b,把 D ( 16, 16)和 M (6, -4)代入得:J 6k屮b=166k小=-J,Tk*=g解得：，直線 DM 的解析式為：y=2x-16,直線 DM 交 x 軸于 E,當(dāng) y=0 時(shí)，2x-16=0,x=8,- E (8, 0),由 知：ON 與 x 軸相切，切點(diǎn)為 G,且 G (8, 0), E 與切點(diǎn) G 重合，/ / QAP=/ OAB=/ DCE APQ 與厶 CDE 相似時(shí)，頂點(diǎn) C 必與頂點(diǎn) A 對應(yīng)， 分兩種情況：門當(dāng) DCEAQAP 時(shí)，如圖 2, / AQP=ZNDE,/QNA=ZDNF, /

24、 NFD=/ QAN=90 ；/AO/ NE,ACOANCE, CO=連接 BN, AB=BE=5,/ /BAN=ZBEN=90,/ANB=ZENB,/EN=ND,/NDE=ZNED,/ /CNE=Z NDE+ZNED,/ANB=ZNDE, BN / DE,RtAABN 中，BN=:轎于宰-西胡/ /QNA=ZDNF, tan / QNA=tan / DNF=,AL , AQ=20,3 Qh/ tan / QAH=tan / OAB= 設(shè) QH=3x, AH=4x,貝 U AQ=5x, 5x=20,x=4, QH=3x=12, AH=16, Q （-12 , 20）,1同理易得：直線 NQ 的

25、解析式：y=- x+14, P（ 0, 14）;ii）當(dāng)厶 DCEAPAQ 時(shí)，如圖 3,sin/ANB=ZNDE=BN NF=2 ., DF=4 /APN=/CDE/ANB=ZCDE/ AP/ NG,/APN=ZPNE,/APN=ZPNE=ZANB, B 與 Q 重合， AN=AP=10, OP=AP-OA=10-4=6 P (0, -6 )；綜上所述，APQ與厶CDE 相似時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)的坐標(biāo)(0,14)或(0,-6)【解析】【分析】(1)由一次函數(shù)解析式容易求得A、B 的坐標(biāo)，利用勾股定理可求得ABOB EM J的長度；(2)根據(jù)同角的三角函數(shù)得：tan / OAB=OA AE -丿

26、，設(shè) EM=3x, AE=4x 則AM=5x，得 M(3x, -4x+4),證明 AHN MEA，貝 U AH=EM=3x,根據(jù) NG=OH,列式可 得 x 的值，計(jì)算 M 的坐標(biāo)即可； 如圖 2，先計(jì)算 E 與 G 重合，易得 / QAP=ZOAB=ZDCE 所以APQ 與厶 CDE 相似時(shí)， 頂點(diǎn)C 必與頂點(diǎn) A 對應(yīng)，可分兩種情況進(jìn)行討論：門當(dāng) DCEQAP 時(shí)，證明ACO NCE,列比例式可得 CO=，根據(jù)三角函數(shù)得：DF 朋目 級tan / QNA=tan / DNF=, AQ=20,貝 U tan / QAH=tan / OAB=,設(shè) QH=3x ,AH=4x，貝 U AQ=5x，求出 x 的值，得 P ( 0, 14);ii)當(dāng)厶 DCEPAQ 時(shí)，如圖 3,先證明 B 與 Q 重合，由 AN=AP 可得 P (0, -6).11.如圖，已知直線 y=- 2x+6 與拋物線 y= ax2+bx+c 相交于 A , B 兩點(diǎn)，且點(diǎn) A