中考數學——反比例函數的綜合壓軸題專題復習含答案解析

1、中考數學一一反比例函數的綜合壓軸題專題復習含答案解析、反比例函數1.如圖，反比例函數yi=上的圖象與一次函數y2=是 4,點 F (1, m)在反比例函數 y1=丄的圖象上.(1)(2)(3)求反比例函數的表達式；觀察圖象回答：當 x 為何范圍時，y1 y2； 求厶 FAB 的面積.【答案】(1)解：把入丫1= ，得 k=4.1X=4代入 y2= x,得到點 B 的坐標為(4, 1),把點 B( 4，1)代反比例函數的表達式為(2) 解：點 A 與點觀察圖象得，當 xv-4 或 Ovxv4 時，y1 y2(3) 解：過點 A 作 AR 丄 y 軸于 R,過點 P 作 PS 丄 y 軸于 S,連

2、接 PO, 點C,如圖，點 A 與點 B 關于原點對稱， OA=OB,. SAOF=SBOP,-SAPAB=2SAOP.yi=-B 關于原點對稱， A 的坐標為(-4，- 1),設 AP 與 y 軸交于y1= 中，當 x=1 時，y=4,- F (1, 4).設直線 AF 的函數關系式為 y=mx+n ,把點 A (- 4,- 1)、F (1 , 4)代入 y=mx+n,一4也十M =一1解得故直線 AP 的函數關系式為 y=x+3,則點 C 的坐標（0, 3）, OC=3,SAAOF=SAAOC+SAPOC1 1=-OC?AR+ - OC?PSJ_ J_=-x3X4+x3xi15【解析】【分

3、析】（1）把 x=4 代入 y2= x,得到點 B 的坐標，再把點 B 的坐標代入 yi=，求出 k 的值，即可得到反比例函數的表達式；（2）觀察圖象可知，反比例函數的圖象在一次函數圖象上方的部分對應的自變量的取值范圍就是不等式y(tǒng)iy2的解集；（3）過點A 作 AR 丄 y 軸于 R,過點 P 作 PS 丄 y 軸于 S,連接 PO,設 AP 與 y 軸交于點 C,由點 A 與點 B 關于原點對稱，得出 OA=OB,那么SXAOF=SABOP,SAFAB=2SAOF.求出 P 點坐標，利用 待定系數法求出直線 AP的函數關系式，得到點C 的坐標，根據SXAOF=SXAOC+SAPOC求出九SA

4、AOF=-，貝USAPAB=2SAAOF=15.2 心理學家研究發(fā)現，一般情況下，一節(jié)課40 分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理 想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散經過實驗分析可知，學生的注意力指標數y隨時間 x （分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中AB、BC 分別為線段，CD 為雙曲線的一部分）：40C/：；(4 :LO2（1）開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？（2） 一道數學競賽題，需要講19 分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數最低達到 36,那么經過適當安排，老師能否在

5、學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？【答案】（1）解：設線段 AB 所在的直線的解析式為 yi=kix+20，把 B（ 10，40）代入得，ki=2, y1=2x+20.h設 C、D 所在雙曲線的解析式為対,把 C （25 , 40）代入得，k2=1000,100嚴二T當 X1=5 時，y1=2X5+20=30100010C3.如圖，Pi、P2（ P2在 Pi的右側）是 y （k 0）在第一象限上的兩點，點 A1的坐標為（2，0）1/- V0A：jAj（1）填空：當點 Pi的橫坐標逐漸增大時， PiOAi的面積將 _ （減小、不變、增大）（2 ）若厶 PiOAi與厶 P2A1A2均為等邊

6、三角形，1求反比例函數的解析式；2求出點 P2的坐標，并根據圖象直接寫在第一象限內，當X 滿足什么條件時，經過點kPi、P2的一次函數的函數值大于反比例函數y=丄的函數值.【答案】（i）減小0Ai=2, PiOAi是等邊三角形， / PiOAi=60 又TPiB 丄 OAi,OB=BAi=i, PiB=, Pi的坐標為（i ,）,代入反比例函數解析式可得k=.,反比例函數的解析式為科八； 如圖所示，過 P2作 P2C 丄 AiA2于點 C, F2AiA2為等邊三角形， / P2AiA2=60 設 AiC=x 貝 U P2C=x,點 P2的坐標為（2+X,卜彳 X）,代入反比例函數解析式可得（2

7、+x）. x=,解得 X1=計二-1 , X2= &濟-1 （舍去），0C=2+|W-1=電+1,P2C= $（ *2 -1）=氣岡-0）上的任意一點，過點 P 作 PC 丄 x 軸于點C，PD 丄 y 軸于點 D.求四邊形ABCD 面積的最（2）解：設 P （X， 丫），貝 V C（X，0）， D (0,I ), - - CA=x+3, BD+4, S四邊形ABCCF二CAXBD= (x+3)( x +4),化簡得： S=2 (x+ *) +12. / x 0,X X 37 N =6,只有當x=，即 x=3 時，等號成立， S 2X6+12=24四邊形 ABCD 的面積P ( 3,

8、4), C (3 , 0), D ( 0, 4), AB=BC=CD=DA=5 四邊形【解析】【解答】解：（1 ）根據題目所給信息可知 m+皿,且當 m= 時等號,，只有當12（2）根據雙曲線上點的坐標特點設出P 點的坐標，根據垂直于坐標軸上的點的坐標特點表示出 C,D 兩點的坐標，從而表示出 AC,BD 的長，根據對角線互相垂直的四邊形的面積等于 兩對角線積的一半建立出 S 與 x 的函數關系式，根據題干提供的信息得出得出罷 7 氣只有在 匚即 x=3 時，等號成立，從而得出S 的最小值，從而得出PC,D 三點的坐標，進而算出 AB=BC=CD=DA=5 根據四邊相等的四邊形是菱形得出結論。

9、6.如圖，在平面直角坐標系中，點 A (- 5, 0)，以 0A 為半徑作半圓，點 C 是第一象限 內圓周上一動點，連結ACBC,并延長 BC 至點 D,使 CD= BC,過點 D 作 x 軸垂線，分別交 x 軸、直線 AC 于點 E、F,點 E 為垂足，連結 OF.(1) 當/ BAC= 30o 時，求 ABC 的面積；(2) 當 DE= 8 時，求線段 EF 的長；(3)在點 C 運動過程中，是否存在以點E、0、F 為頂點的三角形與ABC 相似，若存 在，請求出點 E 的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1)解：/ AB 是 O0 的直徑， / ACB=90 ,在 RtA ABC 中，A

10、B=10, / BAC=30 , BC= AB=5,AC=右用-爐二朋1SAABC=-AC?BC=2x=60 的度數90 時,點 E 在 O 點的左側,15十靈i7E/ACB=90,CD=BC AD=AB=10,DE 丄 AB,AE= W -比=6,BE=AB-AE=4,DE=2BE,/AFE+ZFAE=90, /DBE+ZFAE=90, ZAFE=ZDBE,/ZAEF=ZDEB=90, AEFADEB,EF= AE=X6=3(3 )解：連接 EC,設 E(x, 0),當 的度數為 60時，點 E 恰好與原點 0 重合；回10 的度數60。時，點 E 在 0、B 之間，ZEOFN BAC=ZD

11、,又/OEF=Z ACB=90 ,由相似知ZEOF=ZEBD,此時有 EOF EBD,0EBE/ EC 是 RtABDE 斜邊的中線,CE=CB ZCEB=Z CBE,OF/CE, AOFsAECAO OF OFAE CE 1尹AO 20k二BE15土刃J:解得 x=因為 x0,若/ EOFh B,貝 U OF/ BD,.OF= BC= BD,OF OE 1 x 13宙？/ 即國解得 x= , 若 / EOFN BAC,貝 U x=- J-15十51 A綜上點 E 的坐標為(，0);【解析】【分析】(1)根據圓周角定理求得 / ACB=90，根據 30的直角三角形的性質求得 BC,進而根據勾股

12、定理求得AC，然后根據三角形面積公式即可求得；(2)連接 AD，由垂直平分線的性質得 AD=AB=10,又 DE=8,在 RtAODE 中，由勾股定理求 AE，依題意證 明厶 AEFDEB,禾 U 用相似比求 EF;( 3)當以點 E、O、F 為頂點的三角形與 ABC 相似 時，分為兩種情況：當交點 E 在 O, B 之間時；當點 E 在 O 點的左側時；分別求 E 點 坐標.7.如圖， 二次函數 y=x2 3 4+bx+c 的圖像與 x 軸交于 A, B 兩點， B 點坐標為(4,0),與 y 軸交于 點 C(0,4).點 D 為拋物線上一點(1) 求拋物線的解析式及 A 點坐標；(2 )若

13、厶 BCD 是以 BC 為直角邊的直角三角形時，求點D 的坐標；(3 )若厶 BCD 是銳角三角形，請直接寫出點 D 的橫坐標 m 的取值范圍 _ .【答案】(1)解：將 B (4,0), C (0,4)代入 y=x2+bx+c 得， c = 6b = _彳 廠 J，解得，7,所以拋物線的解析式為丫 -處丿，令 y=0,得 4 nM，解得|打-，船 / ,.A 點的坐標為(1,0)2 解：設 D 點橫坐標為 k，則縱坐標為,當/ BCD=90時，如下圖所示，連接BC,過 C 點作 CD 丄 BC 與拋物線交于點 D,過 D 作DE 丄 y 軸與點 E,( J , 0 )； OBC 為等腰直角三

14、角形， /OCB=ZOBC=45；又 / BCD=90 ,/ECD+ZOCB=90ZECD=45,- CDE 為等腰直角三角形， DE=CE=a OE=OC+CE=a+4由 D、E 縱坐標相等，可得-忌亠解得醞二茂，應 ,當 k 二：（時，D 點坐標為（0,4）,與 C 重合，不符合題意，舍去當狀=上時，D 點坐標為（6,10）;2當ZCBD=90時，如下圖所示，連接 BC,過 B 點作 BD 丄 BC 與拋物線交于點 D,過 B 作FG 丄 x 軸，再過 C 作 CF 丄 FG 于 F,過 D 作 DG 丄 FG 于 G,/ ZCOB=ZOBF=ZBFC=90,四邊形 OBFC 為矩形，又

15、OC=OB四邊形 OBFC 為正方形， / CBF=45 / / CBD=90 ,/CBF+ZDBG=90 / DBG=45 DBG 為等腰直角三角形， DG=BG D 點橫坐標為 a, DG=4-a,而 BG= -心D-（d - 5n 0 - ! a解得醞二總，I 站=彳當|占二 6 時，D 點坐標為（4,0）,與 B 重合，不符合題意，舍去 當 k = 3 時，D 點坐標為（2,-2）;綜上所述，D 點坐標為（6,10）或（2,-2）.（3）3+ .vmv6 或 3- . vmv2【解析】【解答】解：（3）當 BC 為斜邊構成 RtABCD 時，如下圖所示，以 BC 中點 O為 圓心，以

16、BC 為直徑畫圓，與拋物線交于 D 和 D， / BDC=/BDC=90 , D 到 O的距離為圓 O的半徑/ D 點橫坐標為 m,縱坐標為 一辰 4 |：於 : -:;-O點坐標為（2,2）-化簡得：:總-由圖像易得 m=0 或 4 為方程的解，則方程左邊必有因式采用因式分解法進行降次解方程増仙-4）-(Joi 6) = G ,2當 CM 昭時，W / + (-盒+ 2)2,V73屈XI - 1 t - JC2 - 13當紐朋時，+ f _ -少十刃? -一 1卩于 f - Mr于 2卩解得 b 乞皐此時片簽【解析】【分析】(1)將A、B倆點代入拋物線解析式即可求出M的坐標，再設直線肌 的解

17、析式為廠加“屯， 代入M的值計算即可.(2)由已知軸， =可得點的坐標為 譏.-盈 寸花；|,再根據鑿衣伽他二沐宓扌R 漁半詁即可求得 t 的值.(3) 存在，根據等腰三角形的性質，分情況進行解答即可9如圖 1,在矩形 ABCD 中，AB=6cm, BC=12cm，點 P 從點 A 開始以 1cm/s 的速度沿 AB 邊向點 B運動，點 Q 從點 B 以 2cm/s 的速度沿 BC 邊向點 C 運動，如果 P、Q 同時出發(fā)，(3)否能平分/ ADQ?若能，求出點 Q 運動的時間；若不能,【答案】(1)解：當 t=2 時，AP=t=2, BQ=2t=4, / BP=AB-AP=4/ PBQ 的面

18、積=X4 X；4=8(2)解：當 t=時，AP=1.5, PB=4.5, BQ=3, CQ=9, DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25, PQ2=PB2+BQ2=29.25, DQ2=CD2+CQ?=117,(1) b二-Fr 怙#J ,y(1)當 t=2時，求(2)J當 t= 時，試說明DPQ 是直角三角形；當運動 3s 時，P 點停止運動，Q 點以原速立即向B 點返回，在返回的過程中，DP 是請說明理由 ?；0/PQ2+DQ2=DP2, /DQP=90 ,DPQ 是直角三角形CD2ABOQ,又CD=6,QB=x,CQ:.BQ A0=AB+B0=6+ /ADP=ZODP,

19、12 : DO=AP: PO,代入解得 x=0.75, DP 能平分/ ADQ,點 Q 的速度為 2cm/s , P 停止后 Q 往 B 走的路程為（6-0.75） =5.25cm.時間為 2.625s，加上剛開始的 3s, Q 點的運動時間為 5.625s.【解析】【分析】（1）根據路程等于速度乘以時間得出AP=t=2, BQ=2t=4,所以 BP=4 進而根據三角形的面積計算方法即可算出答案；（2） 當 t=時，根據路程等于速度乘以時間得出 AP=1.5, BQ=3,故 PB=4.5, CQ=9,根 據勾股定理表示出 DP2,PQ2,DQ2 從而根據勾股定理的逆定理判斷出 / DQP=90

20、 , DPQ 是 直角三角形；（3） 設存在點 Q 在 BC 上，延長 DQ 與 AB 延長線交于點 O ,設 QB 的長度為 x,貝 U QC 的長度為（12-x）, 判斷出CD2ABOQ, 根據全等三角形的對應邊成比例得出CQ CL二DC/BO, /C=ZQBO,/CDQ=ZO,QC=12-x,12 - x解得:DQ 與 AB 延長線交于點 O.12-x),BO=，即加骯,根據比例式可以用含x 的式子表示出 BO 的長，根據角平分線的性質定理得出12: DO=AP: P0,根據比例式求出 x 的值，從而即可解決問題 .10.如圖，已知一次函數y - X+4 的圖象是直線 I，設直線 I 分

21、別與 y 軸、x 軸交于點A、B.(1) 求線段 AB 的長度；(2) 設點 M 在射線 AB 上，將點 M 繞點 A 按逆時針方向旋轉 90到點 N，以點 N 為圓 心，NA 的長為半徑作ON.1當ON 與 x 軸相切時，求點 M 的坐標；2在的條件下，設直線 AN 與 x 軸交于點 C,與ON 的另一個交點為 D,連接 MD 交 x 軸于點 E,直線 m 過點 N 分別與 y 軸、直線 I 交于點 P、0,當 APQ 與厶 CDE 相似時，求 點 P 的坐標.【答案】(1)解：當 x=0 時，y=4,二 A (0, 4),OA=4,4當 y=0 時，-1x+4=0,x=3, B (3, 0

22、),OB=3,由勾股定理得：AB=5(2)解：如圖 1,過 N 作 NH 丄 y 軸于 H,過 M 作 ME 丄 y 軸于 E,OB EM 3tan / OAB=創(chuàng)丿 F ，設 EM=3x, AE=4x,貝 U AM=5x,/ M ( 3x, -4x+4),由旋轉得：AM=AN , / MAN=90 ,/EAM+ZHAN=90；/ZEAM+ZAME=90ZHAN=ZAME,/ZAHN=ZAEM=90；AHNAMEA, AH=EM=3x,vON 與 x 軸相切，設切點為 G,連接 NG,則 NG 丄 x 軸, NG=OH,則 5x=3x+4,2x=4,x=2, M ( 6, -4);如圖 2，由

23、知 N(8, 10), D (16, 16),設直線 DM: y=kx+b,把 D ( 16, 16)和 M (6, -4)代入得:J 6k屮b=166k小=-J,Tk*=g解得：，直線 DM 的解析式為：y=2x-16,直線 DM 交 x 軸于 E,當 y=0 時，2x-16=0,x=8,- E (8, 0),由 知：ON 與 x 軸相切，切點為 G,且 G (8, 0), E 與切點 G 重合，/ / QAP=/ OAB=/ DCE APQ 與厶 CDE 相似時，頂點 C 必與頂點 A 對應， 分兩種情況：門當 DCEAQAP 時，如圖 2, / AQP=ZNDE,/QNA=ZDNF, /

24、 NFD=/ QAN=90 ；/AO/ NE,ACOANCE, CO=連接 BN, AB=BE=5,/ /BAN=ZBEN=90,/ANB=ZENB,/EN=ND,/NDE=ZNED,/ /CNE=Z NDE+ZNED,/ANB=ZNDE, BN / DE,RtAABN 中，BN=:轎于宰-西胡/ /QNA=ZDNF, tan / QNA=tan / DNF=,AL , AQ=20,3 Qh/ tan / QAH=tan / OAB= 設 QH=3x, AH=4x,貝 U AQ=5x, 5x=20,x=4, QH=3x=12, AH=16, Q （-12 , 20）,1同理易得：直線 NQ 的

25、解析式：y=- x+14, P（ 0, 14）;ii）當厶 DCEAPAQ 時，如圖 3,sin/ANB=ZNDE=BN NF=2 ., DF=4 /APN=/CDE/ANB=ZCDE/ AP/ NG,/APN=ZPNE,/APN=ZPNE=ZANB, B 與 Q 重合， AN=AP=10, OP=AP-OA=10-4=6 P (0, -6 )；綜上所述，APQ與厶CDE 相似時，點 P 的坐標的坐標(0,14)或(0,-6)【解析】【分析】(1)由一次函數解析式容易求得A、B 的坐標，利用勾股定理可求得ABOB EM J的長度；(2)根據同角的三角函數得：tan / OAB=OA AE -丿

26、，設 EM=3x, AE=4x 則AM=5x，得 M(3x, -4x+4),證明 AHN MEA，貝 U AH=EM=3x,根據 NG=OH,列式可 得 x 的值，計算 M 的坐標即可； 如圖 2，先計算 E 與 G 重合，易得 / QAP=ZOAB=ZDCE 所以APQ 與厶 CDE 相似時， 頂點C 必與頂點 A 對應，可分兩種情況進行討論：門當 DCEQAP 時，證明ACO NCE,列比例式可得 CO=，根據三角函數得：DF 朋目 級tan / QNA=tan / DNF=, AQ=20,貝 U tan / QAH=tan / OAB=,設 QH=3x ,AH=4x，貝 U AQ=5x，求出 x 的值，得 P ( 0, 14);ii)當厶 DCEPAQ 時，如圖 3,先證明 B 與 Q 重合，由 AN=AP 可得 P (0, -6).11.如圖，已知直線 y=- 2x+6 與拋物線 y= ax2+bx+c 相交于 A , B 兩點，且點 A