第十六章隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)

1、第十六章 隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)(一) 教學(xué)目的： 1）掌握隱函數(shù)存在定理；2）掌握函數(shù)行列式的性質(zhì)、函數(shù)相關(guān)。(二) 教學(xué)重點：1）隱函數(shù)存在定理；2）數(shù)行列式的性質(zhì)、函數(shù)相關(guān)。（三）教學(xué)難點1）多變量隱函數(shù)存在定理；2）函數(shù)行列式的性質(zhì)、函數(shù)相關(guān)。16.1 隱函數(shù)存在定理一 一個方程的情形在前面，我們是在假定從方程中可以確定的前提下，給出求導(dǎo)數(shù)的方法。然而需要指出的是：并不是任一方程都能確定出隱函數(shù)。因此，我們必須知道方程在什么情況下才能確定隱函數(shù)？ 例1：設(shè)有方程，問在點，的附近是否確定為的函數(shù)？定理1：（隱函數(shù)存在定理） 設(shè)二元函數(shù)滿足下列條件： 1）在區(qū)域: 上連續(xù); 2） 3）

2、則有以下結(jié)果: （1）在點的某一鄰域內(nèi), 唯一確定一個函數(shù) ,且.換句話說,函數(shù) 被定義在點的某個鄰域 內(nèi),它滿足方程且 （2）在內(nèi)連續(xù); 在內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且 注：(1)定理的幾何意義：條件(1)表明曲面是光滑的；條件（2）表明曲面和坐標(biāo)平面有一個交點，條件（3）（不妨設(shè)）表明在的附近，對固定的，設(shè)為正向，曲面是單調(diào)增加的。定理的結(jié)論是：在點的附近曲面和有一條唯一的光滑交線.（2）定理的結(jié)論是局部性的，即在點的某個鄰域內(nèi)由方程可以唯一確定一個可微的隱函數(shù)。例如：在點(0,1)的某個鄰域內(nèi)由方程可以確定唯一的。在點(0,-1)的某個鄰域內(nèi)由方程可確定唯一的 （3） 定理的條件是充分的，非必要的。如上例中的函數(shù)：在（-1，0）和（1，0）兩點，破壞了定理中的條件（3），從而定理失效。從圖中可以看出，對于一在右鄰域或左鄰域內(nèi)的任何一個值，將獲得兩個值： ，唯一性條件破壞。 定理1中的方程是含有兩個變量和的，對于3個變量，甚至于多個變量，也有類似的結(jié)果。二 多變量及方程組的情形定理2 滿足： （1）的一個鄰域內(nèi)對各個變元有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；（2） （3） F，G關(guān)于的Jacobi矩陣則：（1）存在點的一個鄰域，在此鄰域內(nèi)由方程組 可以確定唯一的函數(shù)：滿足：（2）在內(nèi)連續(xù)；（3）在內(nèi)有關(guān)于和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。例1：。問： （1）由方程確定的是關(guān)于和的可微函數(shù)？ （2）由方程