極限的求法與技巧

1、姓名：印溪極限的求法與技巧學(xué)號(hào)：B09060503函數(shù)極限的計(jì)算是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，那么如何根據(jù)表達(dá)式求出極限值呢?對(duì)于這一問(wèn)題只能針對(duì)小同體型采取相應(yīng)的求法。下面概括了常用的若干求極限的方法，更多方法，有賴于人們?nèi)タ偨Y(jié)和發(fā)現(xiàn)。1.運(yùn)用極限的定義例:用極限定義證明lim x2 3x 21x 2x23x則當(dāng)0由函數(shù)極限3x定義有：3x2.利用等價(jià)無(wú)窮小替換 常用的等價(jià)無(wú)窮小關(guān)系:0,sin x x,tanarcsinarctan1 x,n1 1x1 2x,ex1 x,(1 x)lOga(1 7,x,l n(1x)x,等價(jià)無(wú)窮小代換法都是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量，且有:lim存在,則 lim 也存在

2、，且有l(wèi)im = lim1 2 例:求極限lim cosxx2 sin x2 2 sin x2x2,1 COS x/ 2,2(X )2. 21 cosxlim n-X 0 X sin X(X2)222 2X X注:在利用等價(jià)無(wú)窮小做代換時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過(guò)代換后，往往改變了它的無(wú)窮小量之比的“階數(shù)”一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換，若以和、差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，3.利用極限的四則運(yùn)算法則若 lim f (X)A lim g(x)X X0BX Xo(I)lim f(x)g(x)limf(x)lim g(x)A BX XXX0X X0(II)lim f (X)g(x)lim f(x)lim g(x)

3、 ABXXoXx。XX0(III)若B工0則：極限的四則運(yùn)算法則敘述如下:f(x)Alimx xolim更x x0 g(x)lim g(x)x 、x0(IV)lim cx xof(x)c lim f (x)x X0cA(c為常數(shù))上述性質(zhì)對(duì)于x,x,x時(shí)也同樣成立總的說(shuō)來(lái),就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。例：求limx 22x 3x 52 2x 3x 5 23 2 54、利用兩個(gè)重要的極限。sin X d(A)lim1X 0 x但我們經(jīng)常使用的是它們的變形:(B)lim(1 丄)X e X x(x)(A')limsin(X)(x)1,(x)0)(x)e,(例

4、：求下列函數(shù)極限x 4(1)、lim a_-X 0 xcosaxln、cosbx解：(1)令ax也衛(wèi)于是ln aln(1 u)又當(dāng)x 0時(shí)，ulim 丄1u 01n(1 u)In alimu 0 ln(1 u)limu 0ln(1ln a , ln auf101lim ln(1(cosax1)x 0 ln1(cos bx1)lim ln(1(cosax1)x 0cosax 1ln1(cosbx1)cosbx 1cosbx1limx 0 cosax1.2 a sin x(2)、原式cosaxcosbx 1_2_2si n2 Xlim2x0 2sin2bx2limx,a 、2(2x)0 . 2 b

5、 sin x 2_b 2(2x)/b、2(r)(|x)22b22a5、利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。(I )若：lim f(X)limf(x)(II)若：lim f (x)0f(x)limf(x)例：求下列極限5) lim x x 5 lim 1x由 ixm(x1)解：由lim(xxlim0x x 5lim 丄=x 1 x 16.變量替換例求極限分析當(dāng)時(shí),分子、分母都趨于,不能直接應(yīng)用法則，注意到,故可作變量替換.解原式=,引進(jìn)新的變量，將原來(lái)的關(guān)于的極的極限轉(zhuǎn)化為限.)(型,最高次冪在分母上）7.分段函數(shù)的極限例設(shè)討論在點(diǎn)處的極限是否存在.分析所給函數(shù)是分段函數(shù)，是分段點(diǎn)，要知解因?yàn)槭欠翊嬖?/p>

6、，必須從極限存在的充要條件入手不存在.所以注1因?yàn)閺牡淖筮呞呌?則注2因?yàn)閺牡挠疫呞呌?則8利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限）若f（X）在xx0處連續(xù)，則（ii）若f （X）是復(fù)合函數(shù)，又f（u）在u a處連續(xù)，則limX Xolim f(X)X Xolim (X)X Xof(f(X0)（X）flim (X) f(a)X X0(2)limX 0 X例：求下列函數(shù)的極限X廠, e cosx 5(1)、lim2X 01 X2ln(1 X)解：由于x 0屬于初等函數(shù)f(x)X廠e COSX 5 1r的定義域之內(nèi)。x2 ln(1 x)200 P有:故由函數(shù)的連續(xù)性定義XUf(0)e CO

7、SX 5lim2x 01 X ln(1 X)(2卜由ln(1 x)ln(11X)；(11x)x故有:limI x)x|xm0In(1In(lim (1x 01X)')Ine9、洛必達(dá)法則(適用于未定式極限) 定理：若(i) lim f (X) 0,lim g(x)u0(X0)內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)X X0X X0(ii) f與g在x0的某空心鄰域f (x)(iiQliml A(A可為實(shí)數(shù)，也可為 或)， x x。g (x)lim 出 lim 3 AX x0 g(x) x x0 g (x)此定理是對(duì) 0型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。0注：運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限應(yīng)注意

8、以下幾點(diǎn)：1、2、3、要注意條件，也就是說(shuō)，在沒(méi)有化為0, 時(shí)不可求導(dǎo)。0應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即 停止使用洛必達(dá)法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。4、當(dāng)lim丄型 不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。 x a g (X)例：求下列函數(shù)的極限x lim x 0 ln(1(12x)%x2)lim呼X x(a 0,x0)解：令f(x)=ex (12x/,g(x)= I n(1x2)(1 Zx)%, g'(x)嚴(yán)1 X2f"(2) eX

9、 (12x)%g(x)陽(yáng)由于 f(0) f'(0)0,g(0) g'(0)0但 f (0)2,g(0)2從而運(yùn)用洛必達(dá)法則兩次后得到limeX (12X)'X 0ln(1 xlim ln xx12limxln XaXlimxXaxex (12x) %2x2Xlimaax故此例屬于0(a00ex (12x)2(1 X2) (1 X )型,0,x由洛必達(dá)法則有:0) 2 Sin XX1 sinx2 =2limX 02cosx注：此法采用洛必達(dá)法則配合使用兩個(gè)重要極限法。解法二：1 cosx222si n202lim 22X 0X sinX =lXm0x2sinx22.X s

10、in lim 22x 0 X2 2 Sin X2 X2Xsin2 122丄2注：此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個(gè)重要極限法。2x sin2X2X解法三：1 cosx21 cosx22xsin x2lim lim 2lim入x 0 X sin X x 0 X X X 0 4x注:此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合使用無(wú)窮小代換法以及洛必達(dá)法則 解法四：. 21 cosxlim 7x 0 x sin X. 21 cos x limx 02X. 2 sin x/ 2 2(X ). 2 Sin x注：此解法利用了無(wú)窮小代換法配合使用兩個(gè)重要極限的方法。解法五:x2 2 吋 lim 22x 0 x2

11、(x2)1 4x24x22 x.22 si n 1 cosx 2lim 2 lim 豈x 0 x2 sin x2x 0 x2 sin x2注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無(wú)窮小代換法。解法六: 令u x2(k 1)n 21 cosx lim 7X 0 x sin X1 cosu limu 0 usin usin ucosulimu 0 cosu cosu u sinulimu 0 sin u u cosu1注：此解法利用變量代換法配合使用洛必達(dá)法則。解法七：2 21 cosxsin xlim lim 22x 0 x sin X x 0 x cosx sin xlimx1tg注:此解法利

12、用了洛必達(dá)法則配合使用兩個(gè)重要極限。利用函數(shù)極限的存在性定理(夾逼準(zhǔn)則)10、定理:設(shè)在X0的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)(x) < f(x)< h(x)且有:ximg(x)lim h(x) Ax xq則極限 limx xof (x) 存在，且有l(wèi)imx xf(x)nlimxx(a>1,n>0)a時(shí),存在唯一的正整數(shù)k,使< x< k+1于是當(dāng)n>0時(shí)有:aknxx anXXakn1k! 1 ak a22!時(shí),kJimklim(k 1)nkaJim(k1)naknaklimknk alimXnX =0a11、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，

13、以及用定義求極限等情形)O定理：函數(shù)極限limX Xqf(x)存在且等于A的充分必要條件是左極限lim f(x)及右極限lim f (x)都X X0X Xq存在且都等于A。即有:lim f (X)X Xqlim f (x) = limf(X)=A例：設(shè)f(x) =X02e X,x解:limX 0lim f(X)X 0Vx,0求 lim f(X)及 lim f (x)X 0x 1,X 1f (x) lim (1X 0X Jx、2e x)lim (丘 1)1X 0由 lim f (x)X 0lim f (x)X 0嘰 f(x)又 lim f (x)X 1limX Qxlim (TX1)0X 1li

14、m f(x) limX 1X 1f(x)不存在由 f(1 0) f (1 limX 112、約去零因式(此法適用于 xx0時(shí)，號(hào)型)32冶 + . X X 16x20例： 求 lim 2X 2X3 7x216x 12解:原式=|imX33X：10X(2：26X20)X 2X35x26x(2x210x12)2(X 2)(X2 5x 6)Iim (X 2)(X 3x 10)X 2(x2 5x6)2= lim(x 3X 10)X 2= lim(X 5)(X 2)X 2(X 2)(X 3)13、通分法（適用于型）九）原式=02(2 X)(2 X)(2 X)(2 X)02 (2X)(2X）14、利用泰勒

15、公式對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō),應(yīng)用泰勒公式比使用洛必達(dá)法則更為方便，下列為常用的展開式:1、2 X2!n Xn!o(Xn)2、sin X3 X3!5 X5!1)n2n 11 X/ 2no(x ) (2n1)!3、COSX2 X2!4 X4!1)n2no(x2n1) (2n)!4、ln(1X）1)nX / n O(X )n5、(1 X)以2(1)( n 1)Xn O(xn)n!6、xx* 2o(xn)上述展開式中的符號(hào)o(xn)都有:limOX)0)x 0例:求xm0 解:利用泰勒公式,o(x)于是= xm04a 1Timx 01 2x2（丁）o（x）x-o(x)a12需 xJa o(x)1x

16、 o(x) ,2Ja limx 0(i) f(ii) f則在(a ,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得15、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿足如下條件:在閉區(qū)間上連續(xù)在（a ,b）內(nèi)可導(dǎo)f(b) f(a)此式變形可為：f(b)f (a)f (a(b a)(01)sin x exe例：求 lim x 0 x sin Xesinx f (x) f (sin X)I(X sin X)f (sinX (x sin x) (01) 即e*in X f (sin X X sin X（Xsin X)(01)f （X） ex連續(xù)IX叫 f (sinx（Xsin X)f'(0)X從而有：limX 0sin X

17、 eX sin X16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法（1）有理式的情況，即若：R(x)竺Q(x)a0Xmb0Xnm 1a1xb1xambn(a。0, bo0)(I)當(dāng) X時(shí),lim叫xb0Xna1xm 1 b1xn 1ambna0b。0若Q（X0）0則 limP(x)P (X0)x 0Q(x)Q(X0)若Q（X0）0而 P(x0)0則 lim P(X)x 0Q(x)若Q（X0）0 , P(x。)0,則分別考慮若即:P(x)(xX0）sP（X）也為Q（X） 0的r重根，即:Q(x) (XX0）rQ1（x）可得結(jié)論如下：0時(shí)有:(II)當(dāng) XX0為P（X）0的 s重根，lim(X)X X0 Q(x)lim

18、 (X X0)srp(x)X X0 , s rP1(X0)Q1(X0),s r,s r例：求下列函數(shù)的極限Qi(X)lim (2x 3)20(3x 2)30x(2x 1)50 lim X43x 2x 1 x4 4x 3解：分子,分母的最高次方相同，故limx3)20(3x 2)3O=222(2x1)5033050(l)30P(x) x33x2,P(1)4Q(x) x4x3,Q(1)P(x),Q(x)必含有(x-i）之因子，即有1的重根故有:(x 1)2(x 2)lim x43x2lim (x21)22(x 2) lim2x 2x 1 x44x3x 1(x 1)2(x22x3) x 1x2 2x3（2）無(wú)理式的情況。雖然無(wú)理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述 這里我主要舉例說(shuō)明有理化的方法求極限。lim n(1.33.5(2n 1)(2 n 1)分析：由于(2n 1)(2 n 1)肘 1 2n 1例：求 lim (JxxJx仮）解：lim (JxJx仮 r仮）.xJxxlim ixpQxJxlim Jx111111xPxJx11Vli