求曲線方程的常用方法

1、求曲線方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)曲線的不同這種方法叫做定義法.率e 1，字，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍.2'求曲線方程的常用方法 曲線方程的求法是解析幾何的重要內(nèi)容和高考的常考點(diǎn).背景，不同的結(jié)構(gòu)特征，選用不同的思路和方法，才能簡捷明快地解決問題.下面對其求法 進(jìn)行探究.1定義法求曲線方程時(shí)，如果動點(diǎn)軌跡滿足已知曲線的定義，則可根據(jù)題設(shè)條件和圖形的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用平面幾何的知識去尋求其數(shù)量關(guān)系，再由曲線定義直接寫出方程,例1如圖，點(diǎn)A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點(diǎn)，動點(diǎn)M在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn) M與點(diǎn)A重合，設(shè)折痕 m交線段CM于點(diǎn)N現(xiàn). . . . 2 2 2 將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系xOy

2、中，設(shè)圓C： (X + 1) + y= 4a (a>1) , A(1,0)，記點(diǎn)N的軌跡為曲線 E(1)證明曲線E是橢圓，并寫出當(dāng)a= 2時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線I過點(diǎn)C和橢圓E的上頂點(diǎn)B,點(diǎn)A關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q若橢圓E的離心解(1)依題意，直線 m為線段AM的垂直平分線,I NC + I NA = I NC + I NM = I CM = 2a>2, N的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，長軸長為 2a,焦距為2的橢圓.當(dāng)a= 2時(shí)，長軸長為 2a= 4,焦距為2c= 2,2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為X4+ 3 =1-2 2X y設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a+ b= 1 ( a>b&

3、gt;0).占 b=- 1,4b消去X得y=喬T離心率 e 1，字， !e 2由(1)知：a b = 1.又 q 1,0),耳0 , b),直線I的方程為二1+ b= 1，即卩bxy + b= 0.設(shè)Qx, y) ,點(diǎn)Q與點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線I對稱,<4,b= 1時(shí)取等號.b+b又當(dāng) b=y3時(shí)，y =(3；當(dāng) b=¥時(shí)，y=Q3.y<2.點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是h/3, 2 2.直接法若題設(shè)條件有明顯的等量關(guān)系,或者可運(yùn)用平面幾何的知識推導(dǎo)出等量關(guān)系，則可通過“建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、檢驗(yàn)”五個(gè)步驟直接求出動點(diǎn)的軌跡方程，這種“五步法”可稱為直接法.例2已知直線l 1

4、： 2x3y +2= 0,l 2：3x 2y+ 3= 0.有一動圓M圓心和半徑都在變動）與li, 12都相交，并且Ii, |2被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值26,24.求圓心M的軌跡方程.解 如圖，設(shè)Mx, y)，圓半徑為r, M到|1, |2的距離分別是d1, 則 d1 + 132= r2, d2+ 122= r2,- d2 d1= 25,3x 2y + 3 22x 3y + 2 2即一2 品2 = 25，化簡得圓心M的軌跡方程是2 21) y = 65.點(diǎn)評若動點(diǎn)運(yùn)動的規(guī)律是一些幾何量的等量關(guān)系，則常用直接法求解,即將這些關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成含有動點(diǎn)坐標(biāo) .待定系數(shù)法 若已知曲線（軌跡）的

5、形狀，求曲線（軌跡）的方程時(shí)，可由待定系數(shù)法求解.例3已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長是6,且cos/ OFA= I，求橢圓的方程.解 橢圓的長軸長為6, cos/ OFA= 3, 所以點(diǎn)A不是長軸的頂點(diǎn)，是短軸的頂點(diǎn), 所以 |OF = c, |AF| = p|OA2+ I OF2 = pb2+ C2=a= 3, 3= |,所以 c= 2, b2 = 32 22= 5, x, y的方程即可.2 2 2 2故橢圓的方程為X+春=1或Xi+9=1.4.相關(guān)點(diǎn)法（或代入法）如果點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡或所在的曲線已知，又點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)之間可以建立某種關(guān)系，

6、 借助 于點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡便可得到點(diǎn) Q的運(yùn)動軌跡.垂足為N,求線段QN勺中點(diǎn)P的軌跡方程.例4如圖所示，從雙曲線X2 y2= 1上一點(diǎn)Q引直線的坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程即可.分析設(shè)P（X, y），因?yàn)镻是QN的中點(diǎn)，為此需用解 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（X, y），雙曲線上點(diǎn) Q的坐標(biāo)為（X0, yo）,點(diǎn)P是線段QN的中點(diǎn), N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x Xo,2y yo).又點(diǎn)N在直線X + y= 2上，.寫X xo+ 2y yo= 2, 即 Xo + yo = 2x + 2y 2.又 QNL I , kQN=了 = 1,2x 2xo即 Xo yo = X y.由，得 Xo= 2(3 X + y 2) , yo

7、 = 2( x + 3y 2).又點(diǎn)Q在雙曲線上, 4(3 X + y 2)2X + 3y 2) 2= 1.1 2 1 2 1 化簡，得 X 2 2 y22= 2.線段QN勺中點(diǎn)P的軌跡方程為1 2 1 2 1 x 2 y2 = 2.點(diǎn)評 本題中動點(diǎn)P與點(diǎn)Q相關(guān)，而Q點(diǎn)的軌跡確定，所以解決這類問題的關(guān)鍵是找出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，用相關(guān)點(diǎn)法求解.5.參數(shù)法有時(shí)求動點(diǎn)滿足的幾何條件不易得出,也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個(gè)動點(diǎn)的運(yùn)動常常受到另一個(gè)變量（角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等）的制約，即動點(diǎn)的 坐標(biāo)（X, y）中的X, y分別隨另一個(gè)變量的變化而變化，我們可以設(shè)這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法.例5已知點(diǎn)P在直線X= 2上移動，直線I通過原點(diǎn)且與 OP垂直，通過點(diǎn) A（1,o）及點(diǎn)P的直線m和直線I交于點(diǎn)Q求點(diǎn)Q的軌跡方程.解如圖，設(shè)OP的斜率為k,則 P(2,2 k).當(dāng)k M0