授課題目不定積分

1、sinx,就有可能部分授課題目 (不定積分 )分部積分法 熟練掌握基本的不定積分公式，熟練掌握分部積分法。 重點(diǎn)：分部積分法。難點(diǎn)：分部積分法 怎樣計(jì)算不定積分呢 xcosxdx, 我們已經(jīng)知道，如果猜測(cè) 是函數(shù) cosxdx,sinx ， cF(x),xsinx, f(x),xcosx 的一個(gè)反導(dǎo)數(shù)，是否正確呢對(duì)函數(shù)按乘積法則求導(dǎo) F ,F(x),(xsinx),sinx ， xcosx與 f 不同，多出一項(xiàng) 。但是，我們知道 sinxdx,cosx ， c cosx 如果給加上一項(xiàng)而變成，即 FGG(x),cosx ， xsinx,那么 G(x),(cosx ，xsinx),xcosx ，

2、 sinx,sinx,xcosx 所以 xcosxdx,cosx ，xsinx ，c , 把上面的思路對(duì)一般的函數(shù)表達(dá)出來(lái)就是：為了計(jì)算 f(x)g(x)dx , 按照導(dǎo)數(shù)的乘積法則d,f(x)g(x),f(x)g(x) ，f(x)g(x), dx d,f(x)g(x),f(x)g(x)dx ，f(x)g(x)dx, ,dx d,f(x)g(x)dx,f(x)g(x),f(x)g(x)dx ,dx ,f(x)g(x)dx,f(x)g(x),f(x)g(x)dx ,如果不定積分 f(x)g(x)dxf(x)g(x)dx 比較容易計(jì)算，那么 , 算出.這種思路方法叫做分部積分法( integrat

3、ion by parts )。一般地，稱(chēng)公式udv,uv,vdu ,為分部積分公式( formula of integration by parts)。分部積分的作用是把求 udvvdu 轉(zhuǎn)化成求 因此，利用分部積分法 求 ,f(x)dxf(x)dxu(x)dv(x) 的關(guān)鍵是：將 改寫(xiě)成 的形式，即把被積函數(shù)的 湊成。 dv(x)dx 與二、分部積分法舉例例 1 求 xsinxdx.,解 設(shè) 那么 u,cosx,v,x xsinxdx.,x(,cosx),(,cosx)dx,xcosx ，cosxdx,xcosx ，sinx ，c, 2x 但是，為什么不選擇 u,xv,sin, 呢如果這樣

4、2 2222xxxxxsinxdx,()(sinx),()d(sinx),()(sinx),()cosxdx ,22222x 而積分 cosxdx. 更加不容易計(jì)算，此路不通，不符合分部積分的思路。 因,2此在運(yùn)用分部積分方法時(shí)，怎樣選擇 uv 和是個(gè)問(wèn)題，解決這個(gè)問(wèn)題的有效途 徑是多觀察，多積累。10 例 2 求 x(1，x)dx. , 10u,x,dv,(1 ，x)dx, 解 設(shè)2 x(1 ，x)dx.,x(1 ，x),(1， x)dx,x(1 ， x),(1，x)，c,2x 例 3 求 2xedx.,1xx2u,e,2xdx,dv 解 設(shè) 同時(shí) ，按分部積分法 du,edx,dv,x2

5、xxxxxxx2xedx,2xd(e),2xe,2edx,2xe,2e，c,2(x,1)e ，c ,例4 求 xlnxdx,112 解 設(shè) u,lnx,xdx,dv 同時(shí) du,dx,dv,d(x) ，按分部積分法 x2 222xxxlnln()lnlnI,xxdx,xd,x,dx,222 222xxxx,x,dx,x,，clnln,2224 例 5 求4xcos(3x)dx , u,4x,dv,cos(3x)dx 解 設(shè) 1114xcos(3x)dx,4xd(sin3x),4x(sin3x),sin3xd(4x) ,333 4444 x(sin3x),sin3xd(3x),x(sin3x)，

6、cos3x ，c,39392x 例 6 求ecosxdx,解2x2x2x2x2x2x ecosxdx,ed(sinx),esinx,sinxd(e),esinx,2esinxdx, 2x2x2x2x2x ,esinx,2ed(,cosx),esinx,2(e(,cosx)，2(,cosx)d(e),2x2x2x ,esinx ，2ecosx,4ecosxdx,12x2x 即 ecosxdx,e(sinx ，2cosx) ，c,5 一般地，當(dāng)被積函數(shù)是如下形式時(shí)，必須采用分部積分法： f(x)naxf(x),xena (1) 這里是正整數(shù)，為常數(shù)；nf(x),xsinbxn (2) 這里是正整數(shù)

7、，為常數(shù)； bnf（x）,xlnxn （ 3） 這里是正整數(shù)；nnf（x）,xarctgx,f（x）,xarcsinx,n （4） 這里是正整數(shù)； axf（x）,esinbx （5 ）， 這里 a,b 為常數(shù)。并且一般的規(guī)律是，對(duì)（ 1）（ 2）兩種情況，宜將指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)與合 起 dx 來(lái)湊成；對(duì)（ 3）（4）兩種情況，宜將冪函數(shù)與合起來(lái)湊成 ;而第（ 5）類(lèi)函 dvdxdv 數(shù)的積分往往需要連續(xù)幾次使用分部積分法（參考例）。再舉一例子說(shuō)明，有時(shí)為了計(jì)算不定積分，湊微分法和分部積分法這兩種方法 需要同時(shí)使用。例7 求 sinxdx ,2x,u 先設(shè)法去掉根號(hào)，令 或 x,u2sinxdx

8、,sinud（u）,2usinudu , 這時(shí)，再利用分部積分法 usinudu,ud（,cosu）,u（,cosu）,（,cosu）du,ucosu，sinu ，c ,所以sinxdx,2（,ucosu ，sinu） ，c,2xcosx ，2sicx，c , 最后，請(qǐng)大家注意：在計(jì)算導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，我們知道，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一定 還是初等函數(shù)。作為求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，是不是可以說(shuō)初等函數(shù)的反導(dǎo)數(shù)一定是初等函數(shù)呢 答案是否定的，也就是說(shuō)：初等函數(shù)的反導(dǎo)數(shù)不一定仍然是初等函數(shù)，例如2sinxx,x,e xlnx這些函數(shù)的反導(dǎo)數(shù)都不能用初等函數(shù)表示！但是，這并不意味著這些函數(shù)沒(méi)有 反導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上，任何連續(xù)函

9、數(shù)都有反導(dǎo)數(shù)，也就是說(shuō)，按照上面介紹的積分的計(jì)算方 法，是計(jì)算不出積分2sinxx,x edx,dx,dx,xlnx 的。它們的計(jì)算需要借助一種稱(chēng)為無(wú)窮級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)方法。1.計(jì)算下列不定積分：（ P 5.（1）- （12 ） 225,2.設(shè) 計(jì)算 f(0),1,f(2),3,f(2),5,xf(2x)dx,0xx,3. 設(shè) f(e),xe,f(1), 求. f(x) b f(g(x)g(x)dx 如果需要計(jì)算定積分 a, 那么，按照不定積分，因該存在函數(shù)F,使得.f(g(x)g(x)dx,F(g(x)， c,按照微積分學(xué)基本定理，有 bb f(g(x)g(x)dx,F(g(x),F(g(b),F(g(a)aa, g(b)g(b) 同時(shí)，由于 f(u)du,F(u),F(g(b),F(g(a)g(a)g(a), u,g(x)bg(b) 結(jié)合起來(lái)就有 f(g(x)g(x)dx,f(u)du ag(a), 這就是定積分的換元積分公式。2x1 例求 dx232,(1 ， x)1233 解 因?yàn)?，?,積分變