量子力學復習

1、量子力學復習資料，填空及問答部分 By Chaos Bluestar1能量量子化輻射黑體中分子和原子的振動可視為線性諧振子，這些線性諧振子可以發(fā)射和吸收輻射能。這些諧振子只能處于某些分立的狀態(tài)，在這些狀態(tài)下，諧振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量e 的整數(shù)倍對頻率為n 的諧振子, 最小能量e為: 2.波粒二象性波粒二象性（wave-particle duality）是指某物質同時具備波的特質及粒子的特質。波粒二象性是量子力學中的一個重要概念。在經(jīng)典力學中，研究對象總是被明確區(qū)分為兩類：波和粒子。前者的典型例子是光，后者則組成了我們常說的“物質”。1905年，愛因斯坦提出了光電效應的光量子

2、解釋，人們開始意識到光波同時具有波和粒子的雙重性質。1924年，德布羅意提出“物質波”假說，認為和光一樣，一切物質都具有波粒二象性。根據(jù)這一假說，電子也會具有干涉和衍射等波動現(xiàn)象，這被后來的電子衍射試驗所證實。德布羅意公式 3.波函數(shù)及其物理意義在量子力學中，引入一個物理量：波函數(shù) ，來描述粒子所具有的波粒二象性。波函數(shù)滿足薛定格波動方程粒子的波動性可以用波函數(shù)來表示，其中，振幅 表示波動在空間一點(x,y,z)上的強弱。所以，應該表示 粒子出現(xiàn)在點(x,y,z)附件的概率大小的一個量。從這個意義出發(fā)，可將粒子的波函數(shù)稱為概率波。自由粒子的波函數(shù)波函數(shù)的性質：可積性，歸一化，單值性，連續(xù)性4.

3、 波函數(shù)的歸一化及其物理意義常數(shù)因子不確定性設C是一個常數(shù)，則 和 對粒子在點(x,y,z)附件出現(xiàn)概率的描述是相同的。相位不定性如果常數(shù) ，則 和 對粒子在點(x,y,z)附件出現(xiàn)概率的描述是相同的。 表示粒子出現(xiàn)在點(x,y,z)附近的概率。 表示點(x,y,z)處的體積元 中找到粒子的概率。這就是波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋。自然要求該粒子在空間各點概率之總和為1必然有以下歸一化條件5. 力學量的平均值既然 表示 粒子出現(xiàn)在點 附件的概率，那么粒子坐標的平均值，例如x的平均值，由概率論，有又如，勢能V是 的函數(shù)：，其平均值由概率論，可表示為再如，動量 的平均值為：為什么不能寫成因為x完全確定時p完全

4、不確定，x點處的動量沒有意義。能否用以坐標為自變量的波函數(shù)計算動量的平均值？ 可以，但需要表示為 其中 為動量 的算符6.算符量子力學中的算符表示對波函數(shù)（量子態(tài)）的一種運算如動量算符能量算符動能算符 動能平均值角動量算符 角動量平均值薛定諤方程算符 ，被稱為哈密頓算符，7.定態(tài)數(shù)學中，形如 的方程，稱為本征方程。其中方程 稱為能量本征方程， 被稱為能量本征函數(shù)， E被稱為能量本征值。 當E為確定值，=撥函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為定態(tài)，處于定態(tài)下的粒子有以下特征： 粒子的空間概率密度不隨時間改變，任何不顯含t的力學量的平均值不隨時間改變，他們的測值概率分布也不隨時間改變。8.量子態(tài)疊加原理但一般情況

5、下，粒子并不只是完全處于其中的某一本征態(tài)，而是以某種概率處于其中的某一本征態(tài)。換句話說，粒子的狀態(tài)是所有這些分立狀態(tài)的疊加，即，9. 宇稱若勢函數(shù)V（x）=V（-x），若是能量本征方程對于能量本征值E的解，則也是能量本征方程對于能量本征值E的解10.束縛態(tài)通常把在無限遠處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)11. 一維諧振子的能量本征值12. 隧穿效應量子隧穿效應為一種量子特性，是如電子等微觀粒子能夠穿過比它們能量大的勢壘的現(xiàn)象。這是因為根據(jù)量子力學，微觀粒子具有波的性質，而有不為零的概率穿過位勢障壁。又稱隧穿效應，勢壘貫穿。按照經(jīng)典理論，總能量低于勢壘是不能實現(xiàn)反應的。但依量子力學觀點，無論粒

6、子能量是否高于勢壘，都不能肯定粒子是否能越過勢壘，只能說出粒子越過勢壘概率的大小。它取決于勢壘高度、寬度及粒子本身的能量。能量高于勢壘的、運動方向適宜的未必一定反應，只能說反應概率較大。而能量低于勢壘的仍有一定概率實現(xiàn)反應，即可能有一部分粒子(代表點)穿越勢壘(也稱勢壘穿透barrier penetration)，好像從大山隧道通過一般。這就是隧道效應。例如H+H2低溫下反應，其隧道效應就較突出。13. 算符對易式一般說來，算符之積不滿足交換律，即 ，由此導致量子力學中的一個基本問題：對易關系對易式 ，通常坐標對易關系 角動量的對易式14.厄密算符平均值的性質先轉置，再共軛。 體系的任何狀態(tài)下

7、，其厄密算符的平均值必為實數(shù)，在任何狀態(tài)下平均值為實的算符必為厄米算符，實驗上可觀測量相應的算符必須是厄米算符。厄密算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。15. 量子力學關于算符的基本假設1、微觀粒子的狀態(tài)由波函數(shù) 描寫。2、波函數(shù)的模方 表示 t 時刻粒子出現(xiàn)在空間點(x,y,z)的概率。3、力學量用算符表示。4、波函數(shù)的運動滿足薛定格方程16. 算符的本征方程，本征值與本征函數(shù)數(shù)學中，形如 的方程，稱為本征方程。其中17. 不確定度關系的嚴格表達18. 兩個算符有共同本征態(tài)的條件兩個算符對易，即19. 力學量完全集若算符的本征值是簡并的，僅由其本征值無法惟一地確定其本征態(tài)。若要惟一地確定

8、其本征態(tài)，必須再加上另一些與之對易的算符的本征值才可。例如，僅由 的本征值不能確定體系狀態(tài)，必再加上 的本征值才能確定體系狀態(tài)。這樣，為了完全確定一個體系的狀態(tài)，我們定義力學量完全集。 定義：如果有一組彼此獨立而且相互對易的厄米算符 ，它們只有一組共同完備本征函數(shù)集，記為 ， 可以表示一組量子數(shù)，給定一組量子數(shù)后，就完全確定了體系的一個可能狀態(tài)，則稱 為體系的一組力學量完全集。 20. 力學量完全集共同本征態(tài)的性質若能級簡并21. 守恒量對于Hamilton量H不含時的量子體系，如果力學量A與H對易，則無論體系處于什么狀態(tài)（定態(tài)或非定態(tài)），A的平均值及其測值的概率分布均不隨時間改變，所以把A稱

9、為量子體系的一個守恒量。22.狄拉克符號，內(nèi)積及其表示形式，算符向左作用把希爾伯特空間一分為二，互為對偶的空間，就是狄拉克符號的優(yōu)點。用右矢|>表示態(tài)矢，左矢<|表示其共厄矢量，<|>是內(nèi)積，<|>大于等于0，稱為模方。|><|是外積。 采用狄拉克符號表示量子態(tài)是，都只是一個抽象的態(tài)矢，未涉及任何具體的表象。算符向左作用23.角動量平方和角動量z分量的共同本征函數(shù)注意量綱注意，推導過程計算題有可能要考24. 氫原子的能量本征值與能級簡并度25. 正常Zeeman效應原子在外磁場中發(fā)光譜線發(fā)生分裂且偏振的現(xiàn)象稱為塞曼效應；歷史上首先觀測到并給予理論

10、解釋的是譜線一分為三的現(xiàn)象，后來又發(fā)現(xiàn)了較三分裂現(xiàn)象更為復雜的難以解釋的情況，因此稱前者為正?；蚝唵稳笳邽榉闯；驈碗s塞曼效應。26. 電子自旋電子的基本性質之一。電子內(nèi)稟運動或電子內(nèi)稟運動量子數(shù)的簡稱自旋不是機械的自轉27關于電子自旋的Stern-Gerlach實驗Stern-Gerlach experiment 首次證實原子在磁場中取向量子化的實驗，是由O. 斯特恩和W.革拉赫在1921年完成的。實驗裝置如圖斯特恩革拉赫實驗裝置示意圖示。使銀原子在電爐O內(nèi)蒸發(fā),通過狹縫形成細束， 經(jīng)過一個抽成真空的不均勻的磁場區(qū)域（磁場垂直于束方向）,最后到達照相底片P上。在顯像后的底片上現(xiàn)了兩條

11、黑斑，表示銀原子在經(jīng)過不均勻磁場區(qū)域時成了兩束。 實驗上高溫爐中的Ag原子處于高壓，從高溫爐中出來之后迅速冷卻，處于基態(tài)，磁量子數(shù)為零，似乎不該偏轉，因此原子除了軌道磁矩外，還有其他磁矩，即自旋磁矩。28堿金屬原子光譜雙線結構29. 量子躍遷與選擇定則即諧振子只能躍遷到相鄰能級30.禁戒躍遷31. 微擾論的思想   解薛定諤方程的一種常用的近似方法。一個量子體系，如果總哈密頓量的各部分具有不同的數(shù)量級，又對于它精確求解薛定諤方程有困難，但對于哈密頓量的主要部分可以精確求解,便可先略去次要部分,對簡化的薛定諤方程求出精確解；再從簡化問題的精確解出發(fā)，把略去的次要部分對系統(tǒng)的影響逐級考慮進去，從而得出逐步接近于原來問題精確解的各級近似解。這種方法稱為微擾論。32.突發(fā)微擾與絕熱微擾33. 能量與時間不確定度34. 能級寬度與譜線寬度35. 半經(jīng)典理論36吸收，