費(fèi)氏數(shù)及黃金分割

1、兔子、花瓣、希臘神殿：費(fèi)氏數(shù)及黃金分割十三世紀(jì)的義大利數(shù)學(xué)家費(fèi)伯納西(Fibonacci)寫了一本商用的算術(shù)和代數(shù)手冊(cè)Liber abacci。在這本書裏，他提出了這麼一個(gè)有趣的問題：假定一對(duì)兔子在它們出生整整兩個(gè)月以後可以生一對(duì)小兔子，其後每隔一個(gè)月又可以再生一對(duì)小兔子。假定現(xiàn)在在一個(gè)籠子裡有一對(duì)剛生下來的小兔子，請(qǐng)問一年以後籠子裏應(yīng)該有幾對(duì)兔子？讓我們仔細(xì)地算一下。第一、第二個(gè)月，小兔子長(zhǎng)成大兔子，但還沒成熟不能生小兔子，所以總共只有一對(duì)。第三個(gè)月，原有的一對(duì)大兔子生了一對(duì)小兔子，現(xiàn)在一共有二對(duì)了。第四個(gè)月，大兔子又生了一對(duì)小兔子，但是第二代的那對(duì)小兔子還沒成熟，還不能生小兔子，所以總共有

2、三對(duì)。第五個(gè)月，第一、二兩代的兩對(duì)兔子各生了一對(duì)小兔子，連同四月份原有的三對(duì)，現(xiàn)在一共有五對(duì)了。第六個(gè)月，在四月份已經(jīng)有的三對(duì)兔子各生一對(duì)小兔了，連同五月份原有的五對(duì)兔子,現(xiàn)在一共有八對(duì)了。依此類推，每個(gè)月份所有的兔子對(duì)數(shù)應(yīng)該等於其上一個(gè)月所有的兔子對(duì)數(shù)（也就是原有的兔子對(duì)數(shù)）及其上上個(gè)月所有的兔子對(duì)數(shù)（這些兔子各生了一對(duì)小兔子）的總和。所以每個(gè)月的兔子對(duì)數(shù)應(yīng)該是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和。因此，一年後籠子裡應(yīng)該有233對(duì)兔子了。這些兔子的數(shù)目我們稱之為費(fèi)氏數(shù)（Fibonacci numbers）。為方便起見，我們用Fn表示第代

3、兔子的數(shù)目。我們觀察到F1 = F = 1而當(dāng)時(shí)，F(xiàn)n = Fn - 1 + Fn 2F1F2F3F4F5F6F7F8F9F10F11F12F131123581321345589144233費(fèi)氏數(shù)的神奇性質(zhì)（一） 如果你把前五個(gè)費(fèi)氏數(shù)加起來再加1，結(jié)果會(huì)等於第七個(gè)費(fèi)氏數(shù)；如果把前六個(gè)費(fèi)氏數(shù)加起來，再加1，就會(huì)得出第八個(gè)費(fèi)氏數(shù)。那麼前n個(gè)費(fèi)氏數(shù)加起來再加1，會(huì)不會(huì)等於第n+2個(gè)費(fèi)氏數(shù)呢？1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 131 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21我們可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明F1 + F2 + + Fn + 1 = Fn + 2(1) n = 1

4、時(shí)，左式 = F1 + 1 = 1 + 1 = 2右式 = F1+2 = F3 = 2故等式成立(2) 對(duì)任意自然數(shù) n，假設(shè) n = k 時(shí)等式成立，即F1 + F2 + + Fk + 1 = Fk + 2則 F1 + F2 + + Fk + Fk+ 1 + 1= ( F1 + F2 + + Fk + 1 ) + Fk+ 1 = Fk + 2 + Fk+ 1 = Fk+ 3故 n=k+1時(shí)等式成立由 (1) (2)與數(shù)學(xué)歸納法原理得證：F1 + F2 + + Fn + 1 = Fn + 2（二） 如果我們分別對(duì)偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)做加法運(yùn)算的話，情形又如何呢？1 + 2 + 5 = 81 + 2

5、+ 5 + 13 = 211 + 1 + 3 + 8 = 131 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34 我們可以得到下列的結(jié)果：(a) F1 + F3 + + F2n - 1 = F2n (b) 1 + F2 + F4 + + F2n = F2n + 1 <證明(a)> 利用數(shù)學(xué)歸納法：(1) 當(dāng) n = 1 時(shí)，左式 = F1 = 1右式 = F2 = 1故等式成立(2) 對(duì)任意自然數(shù) n，若n = k 時(shí)等式成立，即 F1 + F3 + + F2k - 1 = F 2k 當(dāng) n = k + 1 時(shí)， 左式 = F1 + F3 + + F2k - 1 + F2k+ 1 =

6、(F1 + F3 + + F2k - 1 ) + F2k+ 1 = F 2k + F2k+ 1 = F2k+ 2右式 = F2( k+ 1) = F2k+ 2故等式成立由 (1) (2) 與數(shù)學(xué)歸納法原理得證：F1 + F3 + + F2n - 1 = F2n <證明(b)> 與(a)的證法相同。（三） 更不可思議的是，如果我們把第三項(xiàng)的平方加上第四項(xiàng)的平方會(huì)得到第七項(xiàng)。試試看其他的情形。Fn2 + Fn + 12 = F2n + 1是不是都成立呢？ 32 + 52 = 9 + 25 = 34 82 + 132 = 64 + 169 = 233費(fèi)氏數(shù)與巴斯卡三角形巴斯卡三角形中除了

7、兩邊上的數(shù)字1之外，其餘的每個(gè)數(shù)都等於它頂上兩個(gè)數(shù)字的和：乍看之下，似乎與費(fèi)氏數(shù)沒什麼關(guān)係，但是只要把每條斜線上的數(shù)字加起來，費(fèi)氏數(shù)就會(huì)現(xiàn)身了：真的每一條斜線的和都是費(fèi)氏數(shù)嗎？ 仔細(xì)觀察一下，由於三角形內(nèi)的每個(gè)數(shù)皆可由它上頭的數(shù)相加得到，所以每條斜線上的數(shù)字和恰好就等於它上兩條斜線的數(shù)字和，也就是Dn = Dn-1 + Dn-2，如圖：再加上D1 = 1，D2 = 1，這正與計(jì)算費(fèi)氏數(shù)的方法不謀而合。費(fèi)氏數(shù)前後項(xiàng)的比值把費(fèi)氏數(shù)中的每一項(xiàng)用前一項(xiàng)來除，我們得到一個(gè)新數(shù)列： 下圖中橫軸為n的值，縱軸為的取值：上圖中好像趨近某個(gè)定值，大約為1.61。讓我們用表示新數(shù)列的第n項(xiàng) 。因?yàn)?，所以?這個(gè)關(guān)

8、係式，我們可以證明是趨近到一個(gè)定值的（證明的過程要費(fèi)一點(diǎn)手腳，在此不提），我們管這個(gè)定值叫做（讀作phi）。直觀上，當(dāng)n愈大時(shí)，和之差就愈小，而 和 之差也可以小而不計(jì)。所以由 這個(gè)式子我們可以推得 （嚴(yán)格的證明須要有清楚的極限觀念），亦即，利用解二次方程式根的公式而算得我們注意到滿足下面兩個(gè)式子：因此如果我們考慮下面的等比數(shù)列：此數(shù)列則擁有費(fèi)氏數(shù)的特徵，亦即相鄰兩項(xiàng)的和等於下一項(xiàng)。的連分?jǐn)?shù)表法：由上面我們知道，因此黃金分割雅典的帕德能神廟 (Parthenon at Athens) 莊嚴(yán)、宏偉，被認(rèn)為是古希臘最偉大的建築之一。有人認(rèn)為它之所以顯得那麼和諧，是因?yàn)檫@個(gè)建築符合黃金律。什麼是黃金

9、律？那就得先從黃金分割談起。假如C為AB線段上的一點(diǎn)，而且，那麼我們就說C點(diǎn)把線段AB黃金分割了，如圖。如果C點(diǎn)把線段AB黃金分割，那麼這個(gè)比值是多少呢？這個(gè)比值不就是前面提到的嗎？一點(diǎn)也不錯(cuò)，我們叫它做黃金比值（Golden Ratio）。報(bào)紙、書本的長(zhǎng)度和寬度之比往往接近這個(gè)比值，大概是因?yàn)樵谶@個(gè)比例之下，它們看起來很順眼，很和諧吧！建築和繪畫方面也常利用這個(gè)比值來引起美的感覺，這就叫做黃金律。如何才可以把一線段AB黃金分割呢？引直線BD垂直於AB，令BD = AB，連接AD，並在AD上取E點(diǎn)使DE = BD，再在AB上取C點(diǎn)使AC = AE，則C點(diǎn)就把AB黃金分割了。 請(qǐng)各位自己驗(yàn)算看看

10、吧！ 帕德能神廟中的黃金律： 上圖中所有藍(lán)線與紅線之比都是黃金比例。為什麼這樣造形簡(jiǎn)單的建築物中會(huì)出現(xiàn)如此多的黃金比例呢？如果B、D分別為AC之兩個(gè)黃金分割，則D、B分別為AB及DC之黃金分割。因?yàn)椋?如此一來，兩個(gè)分割點(diǎn)定卻造就了四個(gè)黃金比例；這也就是黃金分割神奇的地方。近代法國(guó)建築師Le corbusier在設(shè)計(jì)著名的馬賽聯(lián)合公寓時(shí)，便充分利用黃金律及人的知覺美學(xué)作為其建築舒適度的建構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)。聯(lián)合公寓的最大夢(mèng)想是能夠在最小單位中容納眾多人口，而在建造這種公寓時(shí)碰到的最大問題在於如何製造出最舒適的居住空間。傳統(tǒng)的考量主要是著重於機(jī)能方面，也許生活上會(huì)覺得方便吧，但是仍然無法滿足人的舒適感。

11、Le corbusier以人們雙手上舉的平均高度2.26公尺作為黃金比例的基準(zhǔn)比例尺；整個(gè)建築使用15個(gè)這種基本尺寸來構(gòu)築，而各部分之間也都依此比例設(shè)計(jì)，雖然公寓本身的機(jī)能較為簡(jiǎn)單，但簡(jiǎn)單而和諧的黃金比例卻賦與它雄偉氣勢(shì)，使居民有寬大而舒適的感受。在我們身邊還有很多東西都是以黃金比例的姿態(tài)出現(xiàn)，如：動(dòng)植物身上的花紋、達(dá)文西的畫像、希臘的帕德能神廟、聯(lián)合國(guó)大廈、人體結(jié)構(gòu)等，請(qǐng)參考網(wǎng)頁THE GOLDEN PROPORTION。不過，不是每個(gè)人都認(rèn)為黃金比例是美麗的象徵，馬可夫斯基（G. Markowsky）就曾提出質(zhì)疑：金字塔裡有這麼多的尺寸，如高度、寬度、斜長(zhǎng)、邊飾寬等，任選其中兩個(gè)數(shù)，就可以

12、找到大大小小不同的比例。若只因?yàn)榇蠼鹱炙膫?cè)面三角形之高與底邊長(zhǎng)之半的比值正是黃金分割就說黃金比例影響金字塔設(shè)計(jì)，實(shí)在是有點(diǎn)牽強(qiáng)。同樣地，達(dá)文西的畫像、希臘的帕德能神廟、聯(lián)合國(guó)大廈、人體結(jié)構(gòu)等與黃金比例有關(guān)的說法也都缺乏根據(jù)。他還做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，要大家選出最好看的長(zhǎng)方形，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：最多人選擇的是長(zhǎng)寬比為1.83的長(zhǎng)方形，而不是長(zhǎng)寬比為黃金比的長(zhǎng)方形。真相到底如何呢？有興趣的人也可以做做相同的實(shí)驗(yàn)。黃金三角形所謂黃金三角形是一個(gè)等腰三角形其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值。我們?nèi)粢缘走厼橐谎饕坏妊切蝿t此三角形亦為一黃金三角形，如下圖。圖中三種不同長(zhǎng)度的線段，其中最長(zhǎng)的線段（粉紅色）與次長(zhǎng)的線段（紫色

13、）比是黃金比例，次長(zhǎng)的線段（紫色）與最短的線段（綠色）也是黃金比例。畢氏五星旗古希臘時(shí)代有個(gè)以畢達(dá)哥拉斯為首的哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家組織，他們以一個(gè)在外面圍上正五邊形的五角星作為他們畢氏學(xué)派的標(biāo)幟：五角星形內(nèi)部隱藏著一個(gè)五邊形，畫出這個(gè)五邊形的對(duì)角線，就產(chǎn)生一個(gè)小的倒五角星形，其內(nèi)部也包含一個(gè)更小的五邊形，再畫出它的每條對(duì)角線又可得到一個(gè)小小的五角星形這個(gè)過程可以不斷地進(jìn)行下去。但最令畢氏學(xué)派對(duì)五角星形著迷的並不是它能夠自我複製的特性，而是隱藏在它線條之內(nèi)的黃金比例。左圖中任兩條交叉的對(duì)角線，都被對(duì)方切成兩段不等長(zhǎng)的線段，而整段對(duì)角線（綠色）與長(zhǎng)段（藍(lán)色）的比值，恰好就是長(zhǎng)段（藍(lán)色）與短段（紅色）的比

14、值。這個(gè)比值正是黃金比值。而右圖中的兩條黑色對(duì)角線將另一條和他們相交的對(duì)角線黃金分割於兩交點(diǎn)。再仔細(xì)觀察一下，不難發(fā)現(xiàn)在這五邊星形中充滿了大大小小的黃金三角形；下圖中的三個(gè)相似三角形都是黃金三角形。黃金矩形及等角螺線長(zhǎng)和寬之比為黃金比例的矩形叫做黃金矩形。上圖中ABCD為一黃金矩形，而E、F分別為 AD 及 BC 線段上的黃金分割點(diǎn)，則而所以也就是說，F(xiàn)DCE是一個(gè)黃金矩形。因此，黃金矩形ABCD可以被分為一個(gè)正方形及一個(gè)小的黃金矩形FDCE。這個(gè)小的黃金矩形又可以再分成一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形。雅典的帕德能神廟便是最好的實(shí)物說明，如下圖：所謂等角螺線就是向徑和切線的交角永遠(yuǎn)不變的曲線，

15、如下圖：一個(gè)黃金矩形可以不斷地被分為正方形及較小的黃金矩形，通過這些正方形的端點(diǎn)（黃金分割點(diǎn)），可以描出一條等角螺線為什麼，而螺線的中心正好是第一個(gè)黃金矩形及第二個(gè)黃金矩形的對(duì)角線交點(diǎn)，也是第二個(gè)黃金矩形與第三個(gè)黃金矩形的對(duì)角線交點(diǎn)。如下圖：我們可以在鸚鵡螺的外殼發(fā)現(xiàn)這樣的螺線。 費(fèi)氏長(zhǎng)方形與費(fèi)氏螺線我們?nèi)魧⒁涣幸再M(fèi)氏數(shù)為邊長(zhǎng)的正方形相疊，便可不斷地堆出許多更大的長(zhǎng)方形。這些長(zhǎng)方形我們稱之為費(fèi)氏長(zhǎng)方形，如下圖（請(qǐng)做成動(dòng)畫）。如果在每個(gè)正方形中，加上一個(gè)四分之一圓，我們也會(huì)描出一條螺線，稱之為費(fèi)氏螺線。因?yàn)槠渲姓叫蔚倪呴L(zhǎng)並非以固定比值成長(zhǎng)，而是費(fèi)氏數(shù)的相鄰兩項(xiàng)之比例成長(zhǎng)；雖然費(fèi)氏螺線乍看起來很

16、像是一條等角螺線，但其實(shí)不是。當(dāng)然，因?yàn)橘M(fèi)氏數(shù)的相鄰兩項(xiàng)之比會(huì)愈來愈接近黃金比值，費(fèi)氏螺線愈往外畫愈接近等角螺線。黃金角如果我們將一個(gè)圓分成兩個(gè)弧，而兩個(gè)弧的長(zhǎng)度比為黃金比例，小弧的圓心角我們稱之為黃金角。如下圖： 由此可知，圓周與大弧長(zhǎng)度的比亦為黃金比例，而大弧的圓心角之徑度量即為黃金比值。黃金角有多大呢？經(jīng)過計(jì)算大約是137.5度。自然界中的費(fèi)氏數(shù)自然界中到處可見費(fèi)氏數(shù)列的蹤跡。樹技上的分枝數(shù)，多數(shù)花的瓣數(shù)都是費(fèi)氏數(shù)：火鶴、百合，梅花，桔梗常為，金盞花等等。費(fèi)氏數(shù)列也出現(xiàn)在松果上。一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺線排列：一組呈順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，另一組呈反時(shí)針，請(qǐng)參考http:/www.mcs.

17、surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html網(wǎng)頁上的圖；仔細(xì)瞧瞧，順時(shí)針螺線的排列數(shù)目是，而反時(shí)針方向則為，而另一組常出現(xiàn)的數(shù)字是及。向日葵也是一樣，常見的螺線數(shù)目為34及55，較大的向日葵的螺線數(shù)目則為89及144，更大的甚至還有144及233。這些全都是費(fèi)氏數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的數(shù)值。而大部份雛菊的螺線數(shù)目則是21及34：也有些品種雛菊的螺線數(shù)目是34及55：為什麼呢？植物是以種子和嫩芽為開始生長(zhǎng)；種子發(fā)芽後，很多細(xì)根會(huì)長(zhǎng)出來，並且向地底下生長(zhǎng)，而嫩芽則是迎向陽光。如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有植物的主要徵貌的生長(zhǎng)過程包括葉子

18、、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在頂端的中央，有一個(gè)圓形的組織稱為頂尖（apex）；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個(gè)接一個(gè)的形成，這些隆起則稱為原基（primordium）。成長(zhǎng)時(shí)，每一個(gè)原基自頂尖移開（頂尖從隆起處向外生長(zhǎng)，新的原基則在原地）；最後，這些隆起原基會(huì)長(zhǎng)成葉子、花瓣、萼片等等。每個(gè)原基都希望生成的花、蕊、或葉片等等，之後能夠獲得最大的生長(zhǎng)空間。例如葉片希望得到充足的陽光，根部則希望得到充足的水份，花瓣或花蕊則希望充份地自我展現(xiàn)好吸引昆蟲來傳粉。因此，原基與原基隔得相當(dāng)開，由於較早產(chǎn)生的原基移開的較遠(yuǎn)，所以你可以從它與頂尖之間的距離，來推斷出現(xiàn)的先後次序。另人驚奇的是，我

19、們?nèi)粢勒赵纳蓵r(shí)間順序描出原基的位置，便可畫出一條捲繞得非常緊的螺線稱為生成螺線（generative spiral）。之前我們提到過的左右旋螺線，雖然能夠明顯到讓人一眼看出（植物學(xué)家稱之為斜列線，parastichy），但那並不是植物的原基生長(zhǎng)模式的實(shí)際表徵；就某種程度而言，這些螺線只是視學(xué)上的錯(cuò)覺。人的眼睛之所以能分辨出斜列線，是因?yàn)樾绷芯€是由相鄰的原基所形成。晶體學(xué)先驅(qū)布拉菲兄弟（Auguste and Louise Bravais）發(fā)現(xiàn)原基沿生成螺線交錯(cuò)排列的數(shù)學(xué)規(guī)則。他們量測(cè)相鄰兩原基之間的角度，發(fā)現(xiàn)量得的各個(gè)角度非常相近；這些角的共同值就稱為發(fā)散角（divergence ang

20、le）。想像從原基的中心各畫一條直線連到頂尖的中心，然後測(cè)量這兩條線的夾角。如下圖中編號(hào)29的原基與編號(hào)30的原基之間的角度，及編號(hào)30與31的原基之間的角。他們並且發(fā)現(xiàn)發(fā)散角往往非常接近137.5度（或 222.5度，如果從另一邊量起），也就是黃金角。一九七年，數(shù)學(xué)家易特生（G. Van Iterson）在一條繞得很緊的螺線上，每隔137.5度畫一個(gè)點(diǎn)。結(jié)果他發(fā)現(xiàn)，由於這些點(diǎn)的排列方式特殊，因此眼睛會(huì)看到兩組互相交錯(cuò)的螺線一組是順時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)，另一組是逆時(shí)鐘（如下圖）。又因?yàn)橘M(fèi)布納西數(shù)與黃金數(shù)密切相關(guān)，所以兩組螺線的數(shù)目是相鄰的費(fèi)布納西數(shù)。究竟是哪些費(fèi)布納西數(shù)，則要看螺線的旋轉(zhuǎn)有多緊密。 除了在

21、松果的鱗片、向日葵上的小花可以看到明顯的生成螺線外，鳳梨上的生成螺線更是清楚可數(shù)，因?yàn)樗耐馄た杀环殖梢恍缀跏橇切蔚男「褡樱缦聢D。其中有五條較平緩的平行螺線往右上旋，有八條較陡的平行螺線往左上旋，另外還有更陡的十三條平行螺線是往右上旋。如果我們將鳳梨視為一個(gè)圓柱體，並延著一條垂直線將它切開攤平，便得到一個(gè)長(zhǎng)方形，其左右兩邊表示的是同一條線圓柱體被切開的地方。我們令左方的邊為 x = 0，而右方的邊為 x = 1，下方的邊是 y = 0。鳳梨上一小塊一小塊的六角形小格子是依時(shí)間先後，一片片長(zhǎng)出來的，而且它們與前一片的距離都是等距。假設(shè)它們以 (0, 0) 為起始點(diǎn)，所以我們?cè)谖混?(0,

22、0) 及 (1, 0) 位置（其實(shí)是同一點(diǎn)）的六角形小格子上標(biāo)記0，接著再依生成順序在其他六角形小格子上做標(biāo)記，這樣才知道它們與 (0, 0) 的距離。若發(fā)散角為黃金角，則第1塊六角形小格子的座標(biāo)為 (, h)（是黃金比律，），而第n塊六角形小格子的位置是 (x, nh)，其中x是的小數(shù)部分（任意一個(gè)數(shù)都可分成整數(shù)部分與小數(shù)部分，如：3.14的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是0.14）。如果把這個(gè)長(zhǎng)方形裹在一個(gè)圓柱體上，就會(huì)看到一條條螺線像梯子一樣盤旋而上。既然兩個(gè)連續(xù)費(fèi)氏數(shù)之比會(huì)趨近於黃金比律，即 ，表示幾乎就是（正整數(shù)），所以的小數(shù)部分幾乎等於0。所以，標(biāo)記為的六角形小格子會(huì)很靠近 y = 0，且

23、隨著k愈大會(huì)愈靠近。此外，觀察每條構(gòu)成幾乎是垂直線的六角形小格子，上面的標(biāo)記都相差某個(gè)費(fèi)氏數(shù)。不同的h會(huì)使螺線排列有一點(diǎn)不同，例如：令 h = 就可以讓標(biāo)記為0的六角形小格子與標(biāo)記為5, 8, 13, -5, -8, -13的六角形小格子相鄰，如上圖。而且，圖中最明顯的那些螺線，相鄰的六角形小格子的標(biāo)記都相差= 8，如：由0往左上斜的0, 8, 16, 24, 32, 40, 48，或由3開始的3, 11, 19, 27, 35, 43, 51等。大自然的機(jī)制使得原基的生長(zhǎng)遵循著有效率堆排的幾何原理。一九七九年，數(shù)學(xué)家伏格（H. Vogel）以電腦模擬原基的生長(zhǎng)情形，他用圓點(diǎn)來代表向日葵的原基

24、，在發(fā)散角為固定值的假設(shè)下，試圖找出最佳的發(fā)散角使這些圓點(diǎn)盡可能緊密地排在一起。他的電腦實(shí)驗(yàn)顯示，當(dāng)發(fā)散角小於137.5度，圓點(diǎn)間就會(huì)出現(xiàn)空隙，而只會(huì)看到一組螺線；同樣的，如果發(fā)散角超過137.5度，圓點(diǎn)間也會(huì)出現(xiàn)空隙，但是這次看到的是另一組螺線。因此，如果要使圓點(diǎn)排列沒有空隙，發(fā)散角就必須是黃金角；而這時(shí)，兩組螺線就會(huì)同時(shí)出現(xiàn)。簡(jiǎn)言之，要使花頭最密實(shí)、最堅(jiān)固，最有效的堆排方式是讓發(fā)散角等於黃金角。下面的圖是用數(shù)學(xué)軟體模擬伏格的實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 發(fā)散角為137.6度 發(fā)散角為137.4度發(fā)散角為137.5度如果你有Maple，可以按這裡取得執(zhí)行上面圖形的程式。你不妨將其中的發(fā)散角改成其他的角度玩一玩。事實(shí)上，如果我們選用的發(fā)散角是三百六十度的有理數(shù)倍，就必定會(huì)得到一