2定積分——微積分基本公式

1、第二講第二講 微積分基本公式微積分基本公式 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.1. 變上限的定積分；變上限的定積分； 2.2.牛頓萊布尼茲公式牛頓萊布尼茲公式 。 教學要求教學要求 1.1.理解作為變上限的函數(shù)的定積分及求導方法；理解作為變上限的函數(shù)的定積分及求導方法； 2.2.熟悉牛頓萊布尼茲公式熟悉牛頓萊布尼茲公式 。 21)(ttdttv)()(12tsts 一、變上限的定積分一、變上限的定積分).()()(1221tstsdttvtt ).()(tvts 其中其中一般地，若一般地，若 baafbfdxxf)()()()()(xfxf ? 設物體作直線運動，設物體作直線運動， 其速度其速度 ， )(

2、tvv 則在則在 時間間隔時間間隔 若已知路程函數(shù)若已知路程函數(shù), )(ts的路程也可表示為的路程也可表示為在解決這個問題之前，先討論原函數(shù)存在問題在解決這個問題之前，先討論原函數(shù)存在問題.,21tt內(nèi)所經(jīng)過的路程為內(nèi)所經(jīng)過的路程為,21tt則在則在 時間間隔時間間隔 內(nèi)經(jīng)過內(nèi)經(jīng)過記為記為.)()(xadttfxfabxyo)(xfy ,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設設函函數(shù)數(shù)baxf,上上任任一一定定值值時時取取當當bax xaxdttf,)(對對應應有有唯唯一一確確定定值值與與 xadttf在在因因此此)(稱它為變上限定積分所確定的函數(shù)稱它為變上限定積分所確定的函數(shù), (變上限定積分變上限定積分)

3、.,的的函函數(shù)數(shù)上上確確定定了了一一個個 xbax ,bax x x)(xf上可積，上可積，在在設函數(shù)設函數(shù) ba xf ,)(定理定理1xabaxdttfxf,)()(;,)()1(上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)是是 ba xf 則則上可微，且上可微，且在在上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在若若 ba xf ba xf ,)(,)()2()()( xfxf)()(xfdttf xa即即關(guān)于定理的說明：關(guān)于定理的說明：式式。的的另另外外一一種種新新的的函函數(shù)數(shù)形形是是不不同同于于初初等等函函數(shù)數(shù)拓拓展展了了函函數(shù)數(shù)的的形形式式，它它xadttf)()1(上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，在在正正是是時時，定定理理

4、說說明明了了當當,)()(,)()2(baxfdttfbacxfxa即即任何一個連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)。任何一個連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)。的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是如如xaxxdtttsinsin處處的的導導數(shù)數(shù)在在計計算算例例0sin)(.102 xdttxx)(x 解解)0( )()(xfdttfdxdxa xdttdxd02sin2sin x 20sin 0 的導數(shù)。的導數(shù)。計算計算例例 dttxf x20sin)(. 2,sin)()(0udttugxf則則由復合函數(shù)求導法則，由復合函數(shù)求導法則，)( )()(xuugxfxuxu2sin2xxsin2,2xu 令令解：解：).()(32x

5、feedttfxax，求，求已知已知例例解解)( axdttfdxd)( xadttfdxd)(xf )(2 eexxe22 )(xf xe22 )( xadttfdxd)(xf即即xe22 例例4 求極限求極限xtdtxx2020coslim解解型）型）（00 xtdtxx2020coslimxtdtxx2020)cos(limxx2cos2lim202又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已已知知)(xf是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)， ,)()(cxxf ,bax 證證二、牛頓二、牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式令令ax ,)()(caaf 定理定理

6、2上上的的在在區(qū)區(qū)間間是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)如如果果,)()(baxfxf，任一原函數(shù)任一原函數(shù) aadttfa)()(0 . )(afc . )()()(afxxf 再令再令bx )()()(afbbf dttfba )(即即).()()(afbfb )()()(afbfdxxfba 故故)()()(afbfdxxfba 則則牛頓：英國數(shù)學家牛頓：英國數(shù)學家萊布尼茲萊布尼茲：德國數(shù)學家德國數(shù)學家)()(afbf )()()(afbfdxxfba 說明：說明：)()(,)(,afbfbaxf 上上的的改改變變量量在在使使用用時時.)()(babaxfxf或或通常記為通常記為babaxfdxxf)

7、()( 這樣，牛頓這樣，牛頓 萊布尼茲公式又可寫成萊布尼茲公式又可寫成babaxfdxxf)()( 或或dxx 1021計算：計算：例例解解cxdxx 3321031023xdxx 31 解解dxx 0sin2計算：計算：例例牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 00)cos(sinxdxx20coscos .2cos302dxx 計算計算例例解解dxx2cos02 dxx 02cos1dxx 0)cos1(21)cos(2100dxxdx 00sin21xx 2 .141024dxxx 計算計算例例解解dxxx 10241dxxx 1024111dxx 10211dxxx 1022111dxx

8、 102dx 1010331x 10 x 10arctan x 432 .445312dxxx 計算計算例例解解dxxx 31244dxx 312dxx 21)2(dxx 32)2(dx 212dxx 21dxx 32dx 322212 x21221 x32221x 322x 5 例例6 6 設設 42,20,3)(2xxxxxf.)(40 dxxf求求解解 40)(dxxf 20)(dxxf 42)(dxxf 203xdx 422dxx20223x 42331x 3224 nnn 7n212111lim計算計算例例解：解： 將和式改寫為將和式改寫為nnnnnnnn11211111121211

9、1nnnnnnnn112111111212111的的等等距距分分割割后后，作作中中對對函函數(shù)數(shù)這這相相當當于于在在nxxxfi111)(1 , 0iiiixxx 上取上取在小區(qū)間在小區(qū)間,1和和的的riemannni), 2 , 1(niiixf0)( 于是于是nnn n212111limniiinx011lim 101xdx2ln)1ln(10 x3. 牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式1 . 變上限定積分變上限定積分 xadttfxf)()(2. 變上限定積分的導數(shù)變上限定積分的導數(shù))()( xfxf)()()(afbfdxxfba 小結(jié)小結(jié)牛頓萊布尼茲公式揭示了定積分與原函數(shù)牛頓萊布尼茲公

10、式揭示了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系之間的關(guān)系牛頓（牛頓（1642. 12. 251727. 3. 20）生平簡介）生平簡介牛頓是英國數(shù)學家、物理學家和天文學家。祖父和父親都是農(nóng)民。牛頓是英國數(shù)學家、物理學家和天文學家。祖父和父親都是農(nóng)民。牛頓的幼年是不幸的，他是個遺腹子，又是早產(chǎn)兒，生下來只有牛頓的幼年是不幸的，他是個遺腹子，又是早產(chǎn)兒，生下來只有3磅重，人們都擔心他活不長久，可誰料到，就在這個小的可憐的頭磅重，人們都擔心他活不長久，可誰料到，就在這個小的可憐的頭腦里孕育著非凡的才智，他的思想影響了人類數(shù)百年。腦里孕育著非凡的才智，他的思想影響了人類數(shù)百年。 牛頓一生為近代自然科學奠定了重要的基

11、礎，被益為牛頓一生為近代自然科學奠定了重要的基礎，被益為“有史以來有史以來最偉大的科學家最偉大的科學家”。在。在60 多年的科學生涯中，牛頓共撰寫專著多年的科學生涯中，牛頓共撰寫專著12本本，其中科學著作，其中科學著作6本，年代學本，年代學2本，宗教著作本，宗教著作4本。作為數(shù)學家，牛本。作為數(shù)學家，牛頓從二項式定理到微積分，從代數(shù)和數(shù)論到古典幾何和解析幾何，頓從二項式定理到微積分，從代數(shù)和數(shù)論到古典幾何和解析幾何，有限差分、曲線分類、計算方法和逼近論，甚至在概率論等方面，有限差分、曲線分類、計算方法和逼近論，甚至在概率論等方面，都有創(chuàng)造性的成就和貢獻。萊布尼茲曾說：都有創(chuàng)造性的成就和貢獻。萊

12、布尼茲曾說：“在從世界開始到牛頓在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數(shù)學中，牛頓的工作超過一半。生活的時代的全部數(shù)學中，牛頓的工作超過一半?！?牛頓以國葬禮埋在威斯敏斯特大教堂內(nèi)，參加吊唁的法國大文牛頓以國葬禮埋在威斯敏斯特大教堂內(nèi)，參加吊唁的法國大文豪伏爾泰評論說，英國紀念一位數(shù)學家就象其他國家紀念國王一樣豪伏爾泰評論說，英國紀念一位數(shù)學家就象其他國家紀念國王一樣隆重。牛頓墓碑上的拉丁碑銘的最后一句是：隆重。牛頓墓碑上的拉丁碑銘的最后一句是：“他是人類的真正驕他是人類的真正驕傲，讓我們?yōu)橹畾g呼吧！傲，讓我們?yōu)橹畾g呼吧！”萊布尼茲是德國數(shù)學家、哲學家，萊布尼茲出身于書香門第，萊布尼茲是德國數(shù)學家

13、、哲學家，萊布尼茲出身于書香門第，父親是萊比錫大學的道德哲學教授，母親也出身于教授家庭。父母父親是萊比錫大學的道德哲學教授，母親也出身于教授家庭。父母親自做孩子的啟蒙教師，耳濡目染，使萊布尼茲從小就十分好學，親自做孩子的啟蒙教師，耳濡目染，使萊布尼茲從小就十分好學，并有很高的天賦。不幸的是，父親在他六歲時去世，卻給他留下了并有很高的天賦。不幸的是，父親在他六歲時去世，卻給他留下了比金錢更寶貴的豐富藏書。從此，知書達理的母親擔負起兒子的幼比金錢更寶貴的豐富藏書。從此，知書達理的母親擔負起兒子的幼年教育。年教育。1661年，年，15歲的萊布尼茲入萊比錫大學學法律，歲的萊布尼茲入萊比錫大學學法律，1663年年5月獲學士學位；月獲學士學位；1664年年1月獲哲學碩士學位；月獲哲學碩士學位；1667年年2月，獲法學博月，獲法學博士學位。士學位。萊布尼茲是一位百科全書式的杰出學者，他的研究領(lǐng)域及成果萊布尼茲是一位百科全書式的杰出學者，他的研究領(lǐng)域及成果遍及數(shù)學、物理學、邏輯學、生物學、地理學、航海學、法學、解遍及數(shù)學、物理學、邏輯學、生物學、地理學、航海學、法學、解剖學、哲學、歷史和外交剖學、哲學、歷史和外交，等等。其中以數(shù)學和哲學最為著名。等等。其中以數(shù)學和哲學最為著名。萊布尼茲一生沒有結(jié)婚，沒有在大學當過教授。但他的工作領(lǐng)萊布尼茲一生沒有結(jié)婚