ch9-3第三講曲面及其方程

1、§7.3曲面及其方程第三講IIV授課題目§7 3 曲面及其方程教學目的與要求1、理解曲面與方程之間的關(guān)系，會建立簡單曲面的方程；2、理解旋轉(zhuǎn)曲面的概念，能建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程；3、理解柱面的概念，掌握柱面方程的特點；4、理解二次曲面的概念，知道二次曲面的方程與圖形的對應關(guān)系。教學重點與難點重點：曲面方程的概念、旋轉(zhuǎn)曲面、柱面。難點：二次曲面的形狀，截痕法，伸縮變形法。講授內(nèi)容一、曲面方程的概念在空間解析幾何中、任何曲面都可以看作點的幾何軌跡 .在這樣的意義下、如果曲面S與三 元方程F(x *y .z)m有下述關(guān)系：(1) 曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(xjrZ)=0；(2

2、) 不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程F(xy.z)=0r那么、方程F(x、y.z)=0就叫做曲面S的方程、而曲面S就叫做方程F(x、yz)=O的圖形.常見的曲面的方程：1建立球心在點 Mo(xo、yo.zo)、半徑為R的球面的方程. 設(shè)M(Xry、z)是球面上的任一點、那么|MoM|=R.J(x-Xo)2t(y-yo)2 4(z-Z0)2 =R *2 2 2 2(X 以o)科y-yo)丸zzo) =R .這就是球面上的點的坐標所滿足的方程.而不在球面上的點的坐標都不滿足這個方程.所以2 2 2 2 (xfo)十(y-yo)丸z-zo) =R .就是球心在點 Mo(xoyo、zo)、半徑為R的

3、球面的方程.特殊地、球心在原點O(oQ、o)、半徑為R的球面的方程為X2 為2 七2 =R2 .例2 設(shè)有點A(1 .2、3)和B(21 4)、求線段AB的垂直平分面的方程.解 由題意知道、所求的平面就是與 A和B等距離的點的幾何軌跡.設(shè)M(x* y *z)為所求平 面上的任一點 '則有1§7.3曲面及其方程AM |=|BM |、J(x 1)2 +(y 利zd)2 = J(x_2)2 +(y +1)2 +(z4)2 .等式兩邊平方，然后化簡得2x-6y 也z7=0.這就是所求平面上的點的坐標所滿足的方程，而不在此平面上的點的坐標都不滿足這個方程以這個方程就是所求平面的方程.以

4、上表明作為點的幾何軌跡的曲面可以用它的點的坐標間的方程來表示，反之，變量'所X、y和z間的方程通常表示一個曲面。因此在空間解析幾何中關(guān)于曲面的研究，有下列兩個基本問題(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時、建立這曲面的方程； 已知坐標x、y和z間的一個方程時、研究這方程所表示的曲面的形狀2 2 2例3 方程xz -2x+4y=0表示怎樣的曲面?解通過配方.原方程可以改寫成2 2 2(X1) +(y+2) +z=5.這是一個球面方程 '球心在點Mo(1 *-2*0)、半徑為R=J5 .一般地 '設(shè)有三兀二次方程2 2 2Ax 協(xié)y 快Z +Dx+Ey節(jié)zg=0,這個方程的特點

5、是缺xy護茁各項、而且平方項系數(shù)相同.只要將方程經(jīng)過配方就可以化成方程(X 如2 +(y -y0)2 +(z -z0)2 =R2 .的形式.它的圖形就是一個球面.二、旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面 做旋轉(zhuǎn)曲面的軸.設(shè)在yO z坐標面上有一已知曲線C、它的方程為f (y -z) =0 -把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周、就得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.它的方程可以求得如下*這條定直線叫設(shè)M(x .y .Z)為曲面上任一點r它是曲線C上點Mi(0、yi .zi)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的.因 此有如下關(guān)系等式f(yi, zi)=0、zPi、|yi|=Jx2+y2 、從而得f

6、(±Jx2+y2, z)=0 -§7.3曲面及其方程這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.在曲線C的方程f(yz)=0中將y改 成± Jx2+y2、便得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程f(±Jx2+y2, z) =0 .同理*曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為f(y, ±Vx2+z2)=0 .例4直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周、所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面 .兩直線的交點叫做圓錐面的頂點、兩直線的夾角(Ova <y)叫做圓錐面的半頂角.試建立頂點在坐標原點8O、旋轉(zhuǎn)軸為z軸、半頂角為 的圓錐面的方程. 解在yOz坐標面內(nèi)、直線L的方程為z=y

7、cot a、將方程z=ycota中的y改成±Jx2勺2 *就得到所要求的圓錐面的方程z=±Jx2+y2cog .Z2W2 (X%2) r其中 a=cot a .x2例5.將zOx坐標面上的雙曲線拿2-務勻分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周r求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面c2的方程.解繞x軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為xl_y2 + ； a2 c2 八繞z軸旋轉(zhuǎn)所在的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為a2 c2這兩種曲面分別叫做雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面和單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面三、柱面例6方程x2+y2二R2表示怎樣的曲面？解 方程x2+y2二R2在xOy面上表示圓心在原點 O、半徑為R的圓.在空間直角坐標系中.這 方程不含豎坐標 Z*

8、即不論空間點的豎坐標 z怎樣 '只要它的橫坐標x和縱坐標y能滿足這方程. 那么這些點就在這曲面上.也就是說，過xOy面上的圓x+yR2,且平行于z軸的直線一定在x24y2祝2表示的曲面上.所以這個曲面可以看成是由平行于z軸的直線I沿xOy面上的圓叫做它的母線.x2®2釆2移動而形成的.這曲面叫做圓柱面 xOy面上的圓x2+y2缶2叫做它的準線、這平行于z軸 的直線方程X2勺2 =R2表示怎樣的曲面？在空間直角坐標系中.過xOy面上的圓x24y2=R2作平行于z軸的直線I *則直線I上的 點都滿足方程x%yR2，因此直線I 一定在X24y2=R2表示的曲面上.所以這個曲面可以看

9、成是由 平行于z軸的直線I沿xOy面上的圓x%yR2移動而形成的.這曲面叫做圓柱面rXOy面上的圓 x24y2爭2叫做它的準線、這平行于z軸的直線I叫做它的母線.柱面：平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面、定曲線C叫做柱面的準線、動直線L叫做柱面的母線.上面我們看到、不含z的方程X2為2-R2在空間直角坐標系中表示圓柱面、它的母線平行于z軸*它的準線是xOy面上的圓x24y2=R2.一般地、只含X、y而缺z的方程F(xj)n、在空間直角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面、其準線是xOy面上的曲線 C：F(x.y)=0.例如*方程y2x表示母線平行于z軸的柱面，它的準線是xOy面

10、上的拋物線y2Px*該柱面 叫做拋物柱面.又如*方程x-y=0表示母線平行于z軸的柱面 '其準線是xOy面的直線x-y=0*所以它是過 z軸的平面.類似地 '只含X、z而缺y的方程G(XrZ)=0和只含y、z而缺x的方程H(yrZ)=0分別表示母線 平行于y軸和X軸的柱面.例如、方程X遼n表示母線平行于y軸的柱面、其準線是zOx面上的直線 X-z=0.所以它是 過y軸的平面.四、二次曲面與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線相類似.我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.把平面叫做一次曲面.?方法之一是用坐標面和平行于坐標面、從而了解曲面的立體形狀.這種方法叫怎樣了解三元方程F(x

11、 $n所表示的曲面的形狀呢的平面與曲面相截、考察其交線的形狀.然后加以綜合 做截痕法.研究曲面的另一種方程是伸縮變形法：S沿x軸方向伸縮M咅所得的曲面.設(shè)S是一個曲面-其方程為F(x耳.z)=0是將曲面顯然、若(X y .Z)忘S、則(hxy、z)忘s'；若(xyz)%；則葉兒y, Z)忘S .因此*對于任意的(x$*z盧S；有F(土X, y,z)=O '即Fpx, y, z)=0是曲面S'的方程.例如，把圓錐面 X2 +/ =a2z2沿y軸方向伸縮b倍、所得曲面的方程為a2 ,2宀自)22、即討牯9橢圓錐面由方程ol+bl =z2所表示的曲面稱為橢圓錐面圓錐曲面在y軸

12、方向伸縮而得的曲面X2把圓錐面J沿y軸方向伸縮I倍所得曲面稱為橢圓錐面S+.z2以垂直于z軸的平面Z三截此曲面、當trn時得一點(0、0.0)；當t丸時、得平面Z三上的橢圓X22+二 T (at)2 (bt)2當t變化時 '上式表示一族長短軸比例不變的橢圓、當|t|從大到小并變?yōu)?時*這族橢圓從大到小并縮為一點.綜合上述討論、可得橢圓錐面的形狀如圖.(2)橢球面由方程X +石=1所表示的曲面稱為橢球面.球面在X軸、y軸或z軸方向伸縮而得的曲面.把為備弋2沿z軸方向伸縮1倍、得旋轉(zhuǎn)橢球面寧+計；再沿y軸方向伸縮=1x2即得橢球面務a2(3) 單葉雙曲面由方程M所表示的曲面稱為單葉雙曲面把

13、zOX面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面 學沿y軸方向伸縮b倍、即得單葉雙曲面fl話-音=1(4) 雙葉雙曲面由方程 備-與-z2=1所表示的曲面稱為雙葉雙曲面.a b c2 2 2把zOx面上的雙曲線聳-今=繞X軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面今2考1寧=1a ca再沿y軸方向伸縮b倍'即得雙葉雙曲面4耳弓=1ca2 b2 c2(5) 橢圓拋物面x2 y2由方程 芻所表示的曲面稱為橢圓拋物面.2,2再沿y軸aa2 b22把zOx面上的拋物線Ot-z繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面2 2方向伸縮b倍、所得曲面叫做橢圓拋物面討b=z(6)雙曲拋物面2 2由方程 芻_爲氓所表示的曲面稱為雙曲拋物面.a2 b2雙曲拋物面又稱馬鞍面一t2其項點坐標為(t, 0,每)當t變化時 I的形狀不變位置只作平移a2L為平面y=0上的拋物線此拋物線開口朝下用平面xn截此曲面所得截痕I為平面x=t上的拋物線而I的項點的軌跡x2 z存因此 以I為母線 L為準線 母線I的項點在準線L上滑動 且母線作平行移動 這樣得到的曲面便是雙曲拋物