2018版高考數(shù)學大一輪復習第十四章14.1坐標系與參數(shù)方程第1課時坐標系試題理北師大

1、第1課時坐標系基礎知識自主學習EI知識梳理-1 平面直角坐標系一X =入 X 入/0,設點F(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換0：* ,“的y= y卩汕作用下，點P(x,y)對應到點 P(xy)，稱0為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換.2 極坐標系(1)極坐標與極坐標系的概念在平面內(nèi)取一個定點O叫作極點，從O點引一條射線Ox,叫作極軸，選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向).這樣就確定了一個平面極坐標系，簡稱為極坐標系.對于平面內(nèi)任意一點M用P表示線段OM勺長，0表示以Ox為始邊、OM為終邊的角度，p叫作點M的極徑,0叫作點M的極角,有序?qū)崝?shù)對(p , 0)叫

2、做點M的極坐標，記作M P,0)當點M在極點時，它的極徑p= 0，極角0可以取任意值.(2)極坐標與直角坐標的互化設M為平面內(nèi)的一點，它的直角坐標為(x,y)，極坐標為(p,0).由圖可知下面關系式成這就是極坐標與直角坐標的互化公式.x= pcos0 ,y= psin0- 2 2 2P=x+ y ,或 5ytan0 =x3 .常見曲線的極坐標方程3ffi 線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓p = r(0W 02n)圓心為（r,0），半徑為r的圓p =2rcos01nn(2W 02)圓心為（r,n），半徑為r的圓0p =2rsin_0(0W 0n)過極點，傾斜角為a的直線/ 1 -/I0

3、= a(p R) 或0=n+a(p R)過點（a,0）,與極軸垂直的直線0pcos0 = ann(20R過點（a,牙），與極軸平行的直線血？）hp-：psin0 = a(00n)考點自測1 . （2016 北京西城區(qū)模擬）求在極坐標系中，過點（2 ,n2）且與極軸平行的直線方程.n解點（2，）在直角坐標系下的坐標為nn（2cos , 2sin），即（0,2）.過點（0,2）且與x軸平行的直線方程為y= 2.即為psin0= 2.nn2 在極坐標系中，已知兩點A B的極坐標分別為（3 , ）、（4 ,），求AOB其中O為極36點）的面積.nn1解 由題意知A、B的極坐標分別為（3 ,）、（4，石

4、），則AOB勺面積SAOB=OA- OB-sin /AOB1n=-x3X4XSin=3.2643 .在以O為極點的極坐標系中，圓p= 4sin0和直線psin0=a相交于A B兩點.當 AOB是等邊三角形時，求a的值.解由p= 4sin0可得x2+y2= 4y,即x2+ (y 2)2= 4.由psin0=a可得y=a.設圓的圓心為O,y=a與x2+ (y 2)2= 4 的兩交點 A,B與0構成等邊三角形，如圖所示. 由對稱性知/0 OB=30,OD= a.在 Rt DO沖，易求DB=fa,.B點的坐標為(fa,a).42即a 4a= 0，解得a= 0（舍去）或a= 3.題型分類深度剖析題型一極

5、坐標與直角坐標的互化例 1(1)以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系， 求線段y= 1 x(0 xw1)的極坐標方程.(2)在極坐標系中，曲線C和C2的方程分別為psin0= cos0和psin0= 1.以極點為平 面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線G和C2交點的直 角坐標.x= pcos0 ,解 T Vy= 1 x化成極坐標方程為pcos0+psin0= 1，即py= psin0 ,_ 1_=cos0 +sin0.nT0W xw1,.線段在第一象限內(nèi)(含端點)，0W 0-.2 2 2(2)因為x=pcos0,y=psin0,由psin0=

6、 cos0,得psin0=pcos0,所以曲線C的直角坐標方程為y2=x.由psin0= 1,得曲線C2的直角坐標方程為y= 1.由y=x,x= 1,得i故曲線C與曲線C2交點的直角坐標為(1,1).y= 1y= 1,又TB在x2+y2 4y= 0 上,5思維升華(1)極坐標與直角坐標互化的前提條件：極點與原點重合；極軸與x軸的正半6軸重合；取相同的單位長度.(2)直角坐標方程化為極坐標方程比較容易，只要運用公式x=pcosB及y =psin0直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構造形如pcos0,psin0,p2的形式，進行整體代換.羔心門:

7、萇(i)曲線C的直角坐標方程為x2+y2 2x= 0,以原點為極點，x軸的正半軸為極 軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程.(2)求在極坐標系中，圓p= 2cos0垂直于極軸的兩條切線方程.解將x2+y2=p2,x=pcos0代入x2+y2 2x= 0,得p2 2pcos0= 0,整理得p =2cos0.由p= 2cos0,得p2= 2pcos0,化為直角坐標方程為x2+y2 2x= 0,即(x 1)2+ny= 1，其垂直于x軸的兩條切線方程為x= 0 和x= 2，相應的極坐標方程為0=三(p R)和pcos0= 2.題型二 求曲線的極坐標方程例 2 將圓x2+y2= 1 上每一點的橫坐標保持

8、不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍，得曲線C.(1)寫出曲線C的方程；設直線I: 2x+y 2 = 0 與C的交點為Pi,F2,以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建 立極坐標系，求過線段PiF2的中點且與I垂直的直線的極坐標方程.解(1)設(xi,yi)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x,y)，依題意，得Xb|.y= 2y1.,22,/ 冃2zy2/由 X+y3=1,得x+(2)=1,1 1不妨設F(1,0) ,F2(0,2)，則線段RF2的中點坐標為(？，1)，所求直線斜率為k= ?,2即曲線C的方程為x2+y4 = 1.3 1于是所求直線方程為y 1 = (x刁,化為極坐標方程，并整理

9、得2pcos0 4psin0= 3,即p=4sin0 2cos0.思維升華求曲線的極坐標方程的步驟：(1)建立適當?shù)臉O坐標系，設F(p,0)是曲線上任意一點;- 2x2+ 卷=1,Nx +y 2= 0,x= 1,解得 ily= 0,x= 0,或彳y=2.7由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑P和極角(3)將列出的關系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標方程.在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點R2,nL)，圓心為直線p與極軸的交點，求圓C的極坐標方程.解在Psini B 3 = 中，令B= 0,得p= 1, 所以圓C的圓心坐標為(1,0).如圖所示，因為圓C經(jīng)過點P2，專，所以圓C的半徑|

10、pq =,22+122X1X；2cos； =1,于是圓C過極點，所以圓C的極坐標方程為P= 2cos0.題型三極坐標方程的應用例 3(2015 課標全國I)在直角坐標系xOy中，直線C：x= 2，圓=1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1) 求C，C2的極坐標方程；%若直線G的極坐標方程為0= 4(P R)，設C2與C3的交點為M解(1)因為x=pcos0，y=psin0，所以G的極坐標方程為pcos0= 2，2G2的極坐標方程為p 2pcos0 4psin0+ 4= 0.n2(2) 將0= 代入p 2pcos0 4psin0+ 4 = 0，4得p2 3,2p+4= 0，解

11、得p1= 2 寸 2，p2=r_：2故p1p2=駕 2，即卩MN=,2.由于C的半徑為 1,所以CMN為等腰直角三角形，所以CMN的面積為 2.0之間的關系式；sin0 n=f(x 1)2+ (y 2)求厶CMN的面積.8思維升華（1）已知極坐標系方程討論位置關系時，可以先化為直角坐標方程;（2）在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，注意轉(zhuǎn)化的等價性.口ml班(2016 廣州調(diào)研)在極坐標系中，求直線psin(0+ -4) = 2 被圓p= 4 截得的 弦長.解 由psin(0+ -4) = 2,得-(psin0+ pcos0) = 2 可化為x+y 2 2= 0.圓p= 4為43.課

12、時作業(yè)的極坐標為 i1, 2 .a的值.解圓p= 3cos0的直角坐標方程為x2+y2= 3x,3229即x-2+y=9,0+a= 0 的直角坐標方程為 2x+ 4y+a= 0.可化為x2+y2= 16,由圓中的弦長公式得:1 . （2015 廣東）已知直線I的極坐標方程為2psinn0a2，點A的極坐標為,扌，求點A到直線I的距離.解依題可知直線I: 2psin2），所以點A到直線I的距離為2.在極坐標系（p,0）（0w 0 v2n）中，求曲線p（cos)=1 與p(sin0 cos0） = 1 的交點的極坐標.解 曲線p（cos0+ sin0） = 1 化為直角坐標方程為x+y= 1,p(

13、sin0 cos化為直角坐標方程為yx= 1.聯(lián)立方程組,x +y=1,lyx=1,x= 0,得。y=1,則交點為（0,1） ，對應3.在極坐標系中，已知圓p= 3cos0與直線 2pcos0 +4psin0+a= 0 相切, 求實數(shù)直線 2pcos0+ 4psin2= 4 3.故所求弦長l:xy+ 1 = 0 和A(2 ,0 +sin00 9因為圓與直線相切，所以3|2x - +4X0+ a|12132+7 =2，10解得a= 335.n4.在極坐標系中，求曲線p= 2cos0關于直線0二刁對稱的曲線的極坐標方程. 解 以極點為坐標原點，極軸為x軸建立直角坐標系，則曲線p= 2cos0的直角

14、坐標方程為(x 1)2+y2= 1,且圓心為(1,0).n直線0=4的直角坐標方程為y=x,因為圓心(1,0)關于y=x的對稱點為(0,1),2 2 2 2所以圓(X 1) +y= 1 關于y=x的對稱曲線為x+ (y 1) = 1.n所以曲線p= 2cos0關于直線0=-4 對稱的曲線的極坐標方程為p= 2sin0.n5.在極坐標系中，P是曲線C：p= 12sin0上的動點，Q是曲線C2:p= 12cos(0)6上的動點，求|PQ的最大值.解對曲線C的極坐標方程進行轉(zhuǎn)化：2 2 2T p= 12sin0,p= 12psin0,.x+y 12y= 0,22即x+ (y 6) = 36.對曲線C

15、2的極坐標方程進行轉(zhuǎn)化： p =12cos(0-卡)， x2+y2 6 3x 6y= 0,.(x 3 3)2+ (y 3)2= 36,|PQmax= 6+ 6 +,32+ 32= 18.O是極點，設A(4 ,專),B(5 , )，求AOB勺面積.解 如圖所示，/AOB=2n一專一二二二366OA= 4,OB=5,斗 c 15n故AO=-x4X5Xsin=5.2 6p =12p(cosn0cos+sin6n0sin ),6 .在極坐標系中,11122n7 已知P(5 , -) ,O為極點，求使POP為正三角形的點P的坐標.3解設 P點的極坐標為(P,0) POP為正三角形，如圖所示，n又p= 5

16、,.P點的極坐標為(5 ,)或(5 ,n) 3圓相交.判斷M N、P三點是否在一條直線上.x = pcos0 ,廠(1)由公式/得M的直角坐標為(1，一寸 3);|y= psin0N的直角坐標為(2,0) ;P的直角坐標為(3，訂 3)(2) kMN= 21 . 3, kNF= 3 32 2 =. 3.kMN=kNP,.M N P三點在一條直線上.10 .在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.n方程為pcos(0 3)= 1,M N分別為C與x軸、y軸的交點.(1)寫出C的直角坐標方程，并求M N的極坐標；設MN的中點為P,求直線OP的極坐標方程.8 在極坐標系中，判斷直線解 直線pcos02y,即x2+ (y1)2= 1.圓心(0,1)到直線xy+ 1 = 0 的距離d=|0 1 + 1|的位置關系. 可化為x2+y2