B樣條曲線與曲面

1、四、B樣條曲線與曲面Bezier曲線具有很多優(yōu)越性，但有二點不足:1)特征多邊形頂點數(shù)決定了它的階次數(shù)，當(dāng)n較大時，不僅計算量增大，穩(wěn)定性降低，且控制頂點對曲線的形狀控制減弱；2)不具有局部性，即修改一控制點對曲線產(chǎn)生全局性影響。1972年Gordon等用B樣條基代替Bernstein基函數(shù)，從而改進(jìn)上述缺點。E樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:nP,n(U)=2； Pdk、Nk,n(U)k=0,m所以可以看出：B樣條曲線是分段定義的。在上式中，0 w u w 1 ; i= 0, 1,2,如果給定 m+n+1個頂點Pi ( i=0, 1,2,m+n)，則可定義 m+1段n次的參數(shù)曲線。在以上表達(dá)式中:N

2、<,n(u)為n次B樣條基函數(shù)，也稱B樣條分段混合函數(shù)。其表達(dá)式為:1 n_kNk,n(u)=-2 (-1)j ch (u+n-k-j)n n!式中：0 w u w 1k = 0, 1,2,n1 .均勻B樣條曲線1一次均勻B樣條曲線的矩陣表示空間n+1個頂點P (i = 0 , 1,，n)定義n段一次(k = 0,1, n=1)均勻B樣條曲線，即每相鄰兩個點可構(gòu)造一曲線段 Pi (u),其定義表達(dá)為:P(u) = u叩0【；i -4i=1,，n; 0<u<1=(1 - u) Pi -1 + UPi=No, 1 (u) Pi-1 +N1，1 (u) Pi形。第i段曲線端點位置矢

3、量：R(°)=Pg, P (1) = R，且一次均勻B樣條曲線就是控制多邊2 二次均勻B樣條曲線的空間n+1個頂點的位置矢量 P （i=0,1,，n）定義 n 1 段二次（k= 0,1,2 ,n=2）均勻B樣條曲線，每相鄰三個點可構(gòu)造一曲線段Pi （u） （i=1，n 1）,其定義表達(dá)為:-2P（u）=1u2 u 1】-2 2 0Pi11 1 0.LP#111PJi = 1, . n.,1; 0 < u < 1丄2） Pi-1 +2 （1 + 2 u 2u2） P +12!u 2P + 1No, 2 （u）Pi-1 + N1，2 （ u） Ri + N2，2 （ u） R

4、 + 1Q】端點位置矢量：P（0） =0.5（也+ Pi）RO） =0.5（R + P葉），即曲線的起點和終點分別位于控制多邊形Pi-1 Pi和PiPi+1的中點。P、P寺三個頂點位于同一條直線上，P（U）蛻化成略R Pm直線邊上的一段直線。端點一階導(dǎo)數(shù)矢量：P（0）= Pi 一 Pm，RX Pt" Pi， P（0）= P* PiR（1） = Pi七-p十，即曲線的起點切矢和終點切矢分別和二邊重合，且相鄰兩曲線段在節(jié)點處具有一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。二階導(dǎo)數(shù)矢量：Pi（0）= P2 一 2 Pi + P葉二Pi=Pi （t），即曲線段內(nèi)任何點處二階導(dǎo)數(shù)相等，且相鄰兩曲線段在節(jié)點處二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。

5、3 三次均勻B樣條曲線空間n+1個頂點的位置矢量 R （i=0 , 1 , 0 0 0 , n）構(gòu)造n 2段三次（k = 0,1,2,3，四階n=3）點處具有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)(因R "=P ”(°)。r-1Pi JPi + 2Pig"13! (1 u)-3L13Pi-1+ 3-6PiPi屮i =1,., n 2;0 < u < 1(4 6u2 + 3u3)1R + 3! (1 + 3u +3u') R + 1 + 3! u 'No, 3( u)Pi- 1 + N1, 3 ( U) Pi + N2' 3( u)Pi + 1+ N3，3

6、( U)Pi + 2Qi+iHQiMlQi+i端點位置矢量：Pig%( P"4 i盼)旳=%(P,+4PP，Q，即起點位于三角形 仲i-1 PiPi+1中線PiM1的1/3處，終點位于三角形即iPi + 1Pi+2中線Pi+1M2的1/3處?？梢夿樣條曲線的端點并不通過控制點。端點一階導(dǎo)數(shù)矢量：對°) =( Pi十"Pi 4)/2 ,P(1) =(Pi42 - Pi)/2 = Pi(0)，即曲線起點的切矢平行于即i-1PiPi+1的底邊Pi-1 Pi+1，其模長為底邊Pi-1 Pi+1長的1/2，同樣曲線終點的切矢平行于即iPi+1 Pi+2的底邊PiPi+2，其

7、模長也為底邊PiPi+2長的1/2。且相鄰兩曲線段具有一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)個 P (1)=Pi+(0)二階導(dǎo)數(shù)矢量：Pi(°)=PgZPi+ Pf,Pi(1) Pi -2盼 + 卩違=R： (0)，即曲線段在端點處的二階導(dǎo)數(shù)矢量等于相鄰兩直線邊所形成的平行四邊形的對角線，且兩曲線段在節(jié)若R、R、R +三個頂點位于同一條直線上，三次均勻R、Pi卡、R卡四點共線，則Pi(u)變成一段直線；若Pi、B樣條曲線將產(chǎn)生拐點；若 RR、R出三點重合，則Pi(U)過Pi點。G)四頂點共線(b)二重頂點和三重頂點(J二重節(jié)點和三重節(jié)點(d)三頂點共線ffl.1.26三次E樣條曲線的一些特例思考：用作圖法繪制

8、下圖均勻三次B樣條曲線。三重頂點Bezier曲線段與段之間B樣條曲線段與段之間具有天然的連續(xù)性，具有整體的光滑特性，而必須光滑拼接。因此在商用系統(tǒng)中 B樣條方法應(yīng)用更為廣泛。2. B樣條曲線的性質(zhì)1 局部性空間n+1個控制頂點P （i=0, 1,，n）構(gòu)造（nk+ 1 ）段k次（k+ 1階）B樣條曲線段,Pi*等k +1個控制頂點確定,且每一曲線段 Pi ( u) (i = 1 ,，n k +1)由 Rd、Pi與其它控制點無關(guān)。2整體性和連續(xù)性般情況下（即無重節(jié)點、重頂點），n+1個控制頂點所構(gòu)造的（n k +1）段k次（k +1階）B樣條曲線段組成一完整的B樣條曲線，曲線段與段之間具有 C

9、k 1階函數(shù)連續(xù)性（或G k 1階幾何連續(xù)性），當(dāng)有K重頂點時，將可能產(chǎn)生尖點（前面已介紹），雖然仍滿足函數(shù)連續(xù)，但不 滿足幾何連續(xù)。4 幾何不變性改變坐標(biāo)系不改變曲線形狀。5變差縮減性與Bezier曲線性質(zhì)相同。（5）造型的靈活性由于其良好的局部特性，可以方便構(gòu)造低次的復(fù)雜曲線，且編輯頂點對曲線形狀的改變是 局部的;由于其整體性和連續(xù)性，曲線具有整體的光滑性。正因如此，B樣條曲線比Bezier應(yīng)用更為廣泛，為商用系統(tǒng)普遍采用。缺點：首末兩端點不通過控制頂點，與其優(yōu)點比較微不足道。3.均勻雙二次B樣條曲面已知曲面的控制點Pij（'“0,1,2）參數(shù)u,w，且u,w0，1】，k = l=

10、2，構(gòu)造步驟是:a沿w向構(gòu)造均勻二次B樣條曲線,Po (w) = W21-21PoolPoo-220P.1=WMPo1L110-LP02.Po2 -即有:P01P02 M B wT經(jīng)轉(zhuǎn)置后:Po ( W) = V00同上可得:P1 ( W)= 1P10PiiP12 M BWTP2( W = P20P21P22 M BwT, 。b再沿U向構(gòu)造均勻二次B樣條曲線，即可得到均勻二次 B樣條曲面:P1oP11P12P13 - 13-63oP 2oP21P22P 23M B =-B 6-3o3oLP3oP31P32P33 -L,141oiMPo ( w)S(u,w)=UM B R(w) =UM BPoo

11、PoLP2 簡記為：S( u, w)=UMb pm TW T。P0IPlP2IP12 M TwP224.均勻雙三次B樣條曲面已知曲面的控制點Pij (I，"0,1,2,3)，參數(shù)U, w，且U,w b，1】,k = i = 3，構(gòu)造雙三次B樣條曲面的步驟同上述。a沿w向構(gòu)造均勻三次B樣條曲線，有:Po ( w) Poo Po1 Po2Po3 M TwTP1( w)= lP1oP11P12pJm T w tP2 ( W) = P20 P21 P22P23 M TW TP3( W=叵0P31P32P33 M BW TB樣條曲線，此時可認(rèn)為頂點沿滑動，每組頂點對應(yīng)相同的，當(dāng) 值由0到1連續(xù)

12、變化，即形成均勻雙三次 B樣條曲面。此時表達(dá)式為：b再沿u向構(gòu)造均勻三次P0(w)S(u,w) = UMP1(w)P 2(w)LP3(wL=UM BPMB W TPi,jP,j半Pi,jwP,j卡N0,3(W廣PfjPfj屮P+I,j42Pi+I,j書N1,3（W）R半,jP半?yún)`PH2, H2P*,j 書N2,3（W）LP 書,jP,jH4Pi 43, j 半Pi43,j43 ”N3,3（W）.B樣條曲面其定義如下:，等3)6個控I = j，征網(wǎng)格頂點有關(guān)，女口： Sij（0, 0） = 1/36 （Pi, j +Pi, j+2 +Pi+2, j +Pi+2, j+2） + 1/9 （P i,

13、 j+1 +Pi+1, j +Pi+2, j+1 +Pi+1, j+2）+ 4/9 Pi +1,j+1，同理可得 S j （ 0, 1 ） ' Si j （ 1 ,（2）均勻雙三次B樣條曲面的邊界曲線仍為0)、 Sij (1,B樣條曲線,1 ）。該邊界B樣條曲線由對應(yīng)的三條邊上式也可表達(dá)為:S（ U,W） = N0,3（U）Ni,3（U）N0,3（U）N0,3（U） Pi j 4x4 N 0,3（W）Nl,3（W） N 2,3（W）N3,3（W）T對于由控制點Pij('二0,1，m, j二0,1，,n)組成的均勻雙三次Si,j（u,w） = No,3（u） Ni,3（u） N2

14、,3（u） N3,3（u）即任意單張均勻雙三次B樣條曲面片Si,j(u, w)是由Pk,i(k = i, . , i+3,制點定義而成。仍以均勻雙三B樣條曲面具有B樣條曲線的多種性質(zhì)， 曲面片與片之間具有天然的連續(xù)性。次曲面為例的說明B樣條曲面的性質(zhì)。9個特(1)均勻雙三次B樣條曲面的頂點不經(jīng)過任何特征網(wǎng)格頂點，且僅與各角點對應(yīng)的界特征網(wǎng)格頂點確定，由 B樣條曲面得定義可得:Si,j（u,0） = No,3（u）Ni,3（u） N2,3（u） N3,3（u）Pi,jPi,j 卅P,j42Pi,j Jf1/6P也PH1,jH1PiHt,j42Pi+,H32/3P七,jR七,j十Pi七,j七P42

15、,j七1/6LP知PH3,j41P也j七Prte,H3 ”_ 0 .=N0,3（u）同理可得Si j( u，丨 1/6Pi,j +2/3Pi,j 十 +1/6Pi,j421/6Pi 也 +2/3Pi 十,M +1/6Pi也七1/6Pi 也j + 2/3Pi 也M +1/6Pi 七,j 七L1/6Pi 也 +2/3P 七,j41+1/6Pi 七,jj1 ）、Si j （0, w）、Si j （1, w）。推廣之：沿B樣條曲面任何等參數(shù)的截線Ni,3（u） N2,3（u） N3,3（u）均為一 B樣條曲線(讀者證明)。(3)均勻雙三次B樣條曲面邊界的跨界一階切矢只與定義該邊界的頂點及相鄰二排頂點(

16、共三排頂點)有關(guān),S'i,jdu,1） = No：3（u） Ni：3（u） N2,3（u） N3,3（u）-Pi'jP,jRmP,j 卡 10】Pi*j_1P*jP+I,j 半PH1,j421/6Pi卡,jP42,jR42,j 申P(guān)H2,H22/3%訂_1P43,jPi 43, j 屮P,j42 _1/6”= N0,3（u） Ni：3（u） N2,3（u）N3,3（u）S'i,j（u,O） = N0,3（u） Ni：3（u） N2,3（u） N3,3（u）1/6Pi,j +2/3P 1/6R 旳 1/6Pi杓 L1/6Pi 和Pi,jPH4,jR也j» +1/

17、6R,j 卡中2/3P#j屮杓/旳屮,j4£+ 2/3p 卡卄 +1/6P42,j42中2/3p書,j唏+/旳帕佯=NO,3 （u） Ni：3（u） N2,3（u）N3,3（u）LP43,j1/6Pi,j1/6Pi,j1/6Pi 也 jRmPi,j 卡P,j書P也+R*H,j42R+'j 書P也j +Pi42,佯P臨,j卡PH3,j +PH3,j42P 也，j43+ 2/3P,j1/6R,j書+ 2/3越卄 +1/6P 也 42Ti/612/31/6+ 2/3R七卄+1/6R也j七 Ll/6Pi 相 j +2/3R 書卄+1/6R 知廂=Su i 丄 j （u,1） 依次可得

18、 Su i，j （u,1）, SwiHQw）,Sw i，j (1,w)?？梢娋鶆蛉蜝羊條曲面具有一階函數(shù)連續(xù)性。同理可得 Su i，j （u,0）, Su i，j （u,1）,SWi，j(0,w), Swi，j(1,w)，其跨界二階導(dǎo)矢只與定義該邊界的及相鄰兩排頂點(共三排頂點)有關(guān)，且均勻三次B樣條曲面具有二階函數(shù)連續(xù)性。泛。(4)幾何不變性。(5)對稱性。(6)凸包性。B樣條曲面的線框圖繪制方法：先沿等參數(shù)方向離散成網(wǎng)格點，然后依次連線繪制。由此可見，B樣條方法能夠很方便繪制復(fù)雜曲面，顯然比Bezier方法更靈活，因此應(yīng)用更廣15. B樣條曲線與曲面的遞推表達(dá)1） B樣條曲線的定義定義:

19、由前面的內(nèi)容得知，三次均勻 B樣條曲線的基函數(shù)為:No，3(u)=13! (1 u)3N1，3 ( u) =3! (4 6u2+ 3u3)N2，3( u)=13! (1+3u+ 3u2 3u3)N3, 3 ( U)=13!u 3上述基函數(shù)圖形如下圖所示:已知n+1個控制點P （i=0，1,000，n），也稱為特征多邊形的頂點,K次（k + 1階）B樣條曲線的表達(dá)式是:nC(u) =2 PiNi,k(u)i=0k <= n其中Ni，k（u）是調(diào)和函數(shù),也稱為基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為:Ni,o(u)1°若 ti <u Yti其它(u-ti)Ni ,k (u)丄(臥勺u)N

20、 (u)Ni,k (u)k aO=十ti* -titj棟 + -tj+l0/0=0式中ti是節(jié)點值，且為非減序列，T二虹我1，,*勺'構(gòu)成了 K次（k + 1階）B樣條基函數(shù)的節(jié)點矢量，每一基函數(shù)由對應(yīng)的 K + 2個節(jié)點決定;上式也表明，高次B樣條函數(shù)可用低次的B樣條函數(shù)來表示，由此式可得其遞推計算方法。由基函數(shù)的示意圖可知B樣條基函數(shù)具有局部支撐特性，即B （ ） I-0xpki'ti七十Bi，k（u"UxitiZ節(jié)點矢量所含節(jié)點數(shù)目由控制頂點Pi （i= 0， 1,000， n）和曲線次數(shù)k所確定（節(jié)點數(shù)=n+ k + 2）,顯然，基函數(shù)個數(shù)=控制點數(shù)。當(dāng)節(jié)點沿

21、參數(shù)軸是均勻等距分布的，則表示均勻B樣條函數(shù)，其節(jié)點值ti ti 1 =常數(shù);例如：當(dāng)k = 3, ti ti1 = 1，b,1 ，則上述基函數(shù)可表示為均勻三次 B樣條函數(shù),并通過變換可得如下表達(dá):Ni, 3 (U)=3! (1 U) 3Ni+1 , 3(U)丄3!(4 6u2 + 3u3)Ni+2，313!(1 + 3u+ 3u2一 3u3)Ni+3，3(U)13!當(dāng)節(jié)點沿參數(shù)軸的分布是不等距的，則表示非均勻B樣條函數(shù)，即節(jié)點值ti ti 1工 常數(shù)。均勻B樣條和非均勻B樣條曲線一般不通過控制多邊形首末兩點。若需B樣條曲線具有較好的端點性質(zhì)（即通過端點），實際應(yīng)用中常引入準(zhǔn)均勻 B樣條，即在

22、節(jié)點矢量中兩端節(jié)點具有k+ 1個重復(fù)度:tot1=t k.t n+1 = t n+2 =t n+k+1 。F圖為例：構(gòu)造n=5, k = 2這樣構(gòu)造的準(zhǔn)均勻B樣條曲線將通過控制多邊形首末兩點。圖3.1.24推均勻三次E樣條曲線0， 0， 1, 2，當(dāng)門=乙k = 3的準(zhǔn)均勻三次B樣條曲線的節(jié)點矢量可定義為U = 0，0, 3， 4， 5， 5， 5， 5。若門=3，k = 3的節(jié)點矢量U = 0，0，0，0，1，1，1，1 ，此時三次B樣條曲線轉(zhuǎn)化為三U = 0,30,14,1k+ ，此時K次B樣條曲線次Bezier曲線。推而廣之，若n = k ,節(jié)點矢量為為K次Bezier曲線。性質(zhì):局部性:K次B樣條曲線僅在K + 1個區(qū)間內(nèi)非0。換句話說，每段k次B樣條曲線只涉及k + 1個基函數(shù),并由k+ 1個頂點所定義。第i段K次B樣條曲線僅由Pi, Pi+1 , 0 0 0 , Pi + k共 k + 1個頂點所控制，與其它點無關(guān)；反之,修改一個控制頂點，其影響范圍為與該頂點有關(guān)的k+ 1段。凸組合性質(zhì)(凸包性)連續(xù)性:在無重節(jié)點的情況下，K次B樣條在節(jié)點處具有k 1次連續(xù)性，如三次B樣條具有二階連續(xù);若在某節(jié)點處具有 m重節(jié)點，則K次B樣條在該節(jié)點處連續(xù)性K 1 階。利用重節(jié)