概率論課堂講義ppt課件

1、*3.2 3.2 邊緣分布與隨機變量的獨立性邊緣分布與隨機變量的獨立性 邊緣分布隨機變量獨立性一、邊緣分布的定義 1邊緣分布 設(X,Y)為二維隨機向量其分布函數為F(x,y)，X和Y的分布函數分別記為Fx(x)和FY(y), 依次稱Fx(x),FY(y)為(X,Y)關于X和關于Y的邊緣分布函數.2.公式. 由于Fx(x)=P(XxY+)=PXx,Y+ =F(x,+) 同理有 FY(y)=F(+, y).例1: 設(X,Y)的分布函數為 F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)， - x+ , - y+ 求(1)常數A,B,C (2)邊緣分布函數Fx(x),FY(y)。解:

2、 由分布函數的性質知 )2)(2(),(lim1 CBAyxFyx)arctan)(2(),(lim0yCBAyxFx )2)(arctan(),(lim0 CxBAyxFy聯(lián)立這三個方程,并取x=0,y=0,可得 A=1/2, B=/2,C=/2. yxyxFarctan2arctan21),(2 xxxyxFxFyXarctan121arctan2122arctan21),(lim)()2(2 yyxFyFxYarctan121),(lim)( 從而 1邊緣分布律 設(X,Y)為離散型二維隨機向量,分別稱X和Y的分布律為(X,Y)關于X和Y的邊緣分布律。 2計算 問題：設(X,Y)的結合分

3、布律為PX=xi,Y=yj=pij,i，j=1,2,求關于X和Y的邊緣分布律。 xxyyijijpyYxXPyxF,),(因因為為解解： xxjijxxyijXiijppxFxF1),()(所所以以二、離散型二維隨機向量的邊緣分布律，另另一一方方面面 xxixxiXiixXPpxXPxF)( ijijippxXP1比比較較兩兩式式，有有jiijjppyYP 1同同理理，例2XY -1 0 4 1 0.17 0.05 0.213 0.04 0.28 0.25求(X,Y)關于X和Y的邊緣分布律。3邊緣分布律的表示法 解: X的能夠取值為1,3且 PX=1=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0+PX

4、=1,Y=4 =0.17+0.05+0.21=0.43 PX=3=PX=3,Y=-1+PX=3,Y=0+PX=3,Y=4 = 0.04+0.28+0.25 =0.57 因此關于X的邊緣分布律為 X 1 3p 0.43 0.57同樣的方法求得關于Y的邊緣分布律為 Y -1 0 4p 0.21 0.33 0.46 我們把邊緣分布律寫在結合分布律表格的邊緣上如下表所示 YX -1 0 4 PX=xi=pi. 1 0.17 0.05 0.21 0.43 3 0.04 0.28 0.25 0.57 PY=yj=p.j 0.21 0.33 0.46 1YX12 gLLjiyyyp12MMijxxxp111

5、211 gLLjpppp212222 gLLjppppMMMM12 gLLiiijippppMMMM12 1gggLLjppp邊緣分布律的表示法 三、延續(xù)型隨機向量(X,Y)的邊緣概率密度1.邊緣概率密度 設(X,Y)為延續(xù)型隨機向量,具有概率密度f(x,y), X和Y的概率密度分別為fx(x),fY(y),分別稱fx(x), fY(y)為(X,Y)關于X和Y的邊緣概率密度。 2.公式: ,),()(dyyxfxfX dxyxfyfY ),()( )( ,)( , )xXFxF xf u y dy du 證：因為，另一方面另一方面dxxfxFxXX )()(.),()(dyyxfxfX 比比較

6、較兩兩式式，有有dxyxfyfY ),()(同同樣樣，可可得得 例例3 3 設設(X,Y)(X,Y)的概率密度是的概率密度是其它,xy,x),x(cy)y, x(f00102求求 (1) c的值；的值； 2兩個邊緣密度。兩個邊緣密度。=5c/24=1,得得 c =24/5。 100)2(xdxdyxcy解：解：(1) 由概率密度的性質，由概率密度的性質，dxxxc10222/ )( 1),(dxdyyxf dxdyyxf),(2) xXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx10 x留意積分限留意積分限留意取值范圍留意取值范圍xy01y=x),2223(5242yyy1)2(524)

7、(yYdxxyyf10 y其它, 010),2223(524)(2yyyyyfY其它, 010),2(512)(2xxxxfX即即例: 設(X,Y)在單位圓D(x,y)|x2+y21上服從均勻分布,求邊緣概率密度fx(x),fY(y)。解： (X,Y)的概率密度為： 其其他他011),(22yxyxf -1 0 x 1 xy 先求fx(x) : 當-1x1時 211121),()(22xdydyyxfxfxxX 其他0112)(2xxxfX 留意積分限留意積分限留意取值范圍留意取值范圍 211121)(1122ydxyfyyyY 同同理理時時當當 其其他他0112)(2yyyfY 例4: 設(

8、X,Y)N(1,2,12,22,)，即(X,Y)具有概率密度 2211222221212()()()()122(1)2121( , ),21, xxyyf x yexy求邊緣概率密度fx(x),fY(y) 。 212122112221212222)()(2)( xxyyxy由于解：222121222121()11(1)2 12(1)2121( )21 所以xyxXfxeedy 1122211 xyt令令：dydt2211: 則則 dteexftxX22)(12212121)( 222 dtet而而 xexfxX,21)(21212)(1 所以所以 yeyfyY,21)(22222)(2 同同理

9、理即XN(1,12)，YN(2,22).且不依賴參數。 *隨機變量獨立性隨機變量獨立性 引言引言 我們把獨立性這一概念引入隨機變量的情況。我們把獨立性這一概念引入隨機變量的情況。那么我們怎樣定義隨機變量獨立性這一概念呢？那么我們怎樣定義隨機變量獨立性這一概念呢？ 直觀上，假設隨機變量直觀上，假設隨機變量X(Y)X(Y)的取值絲毫不影的取值絲毫不影響隨機變量響隨機變量Y(X)Y(X)的取值，那么的取值，那么X X和和Y Y是獨立的隨機是獨立的隨機變量。即設變量。即設I1I1，I2I2為數軸上任何兩個區(qū)間，事件為數軸上任何兩個區(qū)間，事件XI1XI1與與YI2YI2是獨立的，即是獨立的，即 PXI1

10、 PXI1 ， YI2=PXI1PYI2 YI2=PXI1PYI2 特別取特別取I1 =(-, xI1 =(-, x，I2=(-I2=(-，yy，(x(x，y y為恣意實數為恣意實數) )，上式就化為，上式就化為 PXx PXx，Yy=PXxPYy Yy=PXxPYy 即為 F(x，y)=FX(x)FY(y) 反之，假設X與Y滿足F(x，y)=FX(x)FY(y) ，那么有 Px1Xx2，y1Yy2 =F(x2, y2)- F(x1, y2)-F(x2, y1)+ F(x1, y1) = Fx(x2)FY(y2)- Fx(x1)FY(y2)- Fx(x2)FY(y1)+Fx(x1)FY(y1)

11、 =Fx(x2)-Fx(x1)FY(y2)-FY(y1) =Px1Xx2Py1Y y2 可進一步推行，對恣意區(qū)間I1，I2，有 PXI1，YI2=PXI1PYI2。 1 1 定義：設定義：設F(xF(x，y)y)及及Fx(x) Fx(x) ， FY(y) FY(y)分別是二維隨機分別是二維隨機變量變量(X(X，Y)Y)的分布函數及邊緣分布函數。假設對于一切的分布函數及邊緣分布函數。假設對于一切x x，y y有有 F(x F(x，y)=Fx(x)FY(y) y)=Fx(x)FY(y) 那么稱隨機變量那么稱隨機變量X X和和Y Y是相互獨立的。是相互獨立的。 一、隨機變量獨立性的定義 例1: 設(

12、X,Y)的分布函數為 , 邊緣分布函數分別為 yyFxxFYXarctan21)(,arctan21)( 容易看出，對于恣意實數x，y都有 F(x，y)=Fx(x)FY(y),所以X與Y是相互獨立的 解: yxyxFarctan2arctan21),(2 討論X與Y的獨立性。- x+ , - y+,注釋注釋 由結合分布可以確定邊緣分布，但反之，由邊緣分布由結合分布可以確定邊緣分布，但反之，由邊緣分布不能確定結合分布。假設不能確定結合分布。假設X X與與Y Y相互獨立，那么相互獨立，那么X X，Y Y的的邊緣分布就能確定結合分布。邊緣分布就能確定結合分布。 定理 設(X，Y)為離散型隨機變量，其

13、分布律為 PX=xi,Y=yj=pij (i，j=1，2，) 其邊緣分布律分別為PX=xi=pi (i=1，2，) PY=yj=p j (j=1，2，) 那么X與Y相互獨立的充要條件是對于恣意i，j有: pij= pipj 二、離散型隨機變量獨立的等價條件)()(),(,yFxFpppppyxFYXyyjxxijyyxxiyyxxijjijiji 所以X與Y相互獨立。 (2)必要性。假設X與Y相互獨立，對于恣意實數 x1x2，y1y2，有 Px1Xx2，y1Yy2=Px1Xx2Py1Yy2證明：(1)充分性。假設對于恣意i，j有: pij=pip j 那么對于恣意實數x,y有 ,ijijpP

14、Xx Yy于是，對于恣意i，j，由概率的延續(xù)性11lim,iijjnmP xXxyYynm11lim limiijjnmP xXxP yYynmijijP XxP Yypp 例1: 在上節(jié)例中討論X與Y的獨立性。 YX -1 0 4 PX=xi=Pi. 1 0.17 0.05 0.21 0.43 3 0.04 0.28 0.25 0.57 PY=yj=P.j 0.21 0.33 0.46 1解: 由計算知 PX=1=0.43，PY=-1=0.21， 且 PX=1， Y=-1=0.17 容易看出 PX=1，Y =-1PX=1PY=-1 因此X與Y不是相互獨立的隨機變量. 三、延續(xù)型隨機變量獨立的

15、等價條件定理. 設(X，Y)是延續(xù)型隨機變量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分別為(X，Y)的概率密度和邊緣概率密度，那么X和Y相互獨立的充要條件是等式 f(x，y) = fx(x)fY(y) 對f(x，y)，fx(x)，fY(y)的一切延續(xù)點成立.證明：(1) 充分性。假設f(x，y)=fx(x)fY(y) ，那么 ( , )( , )( )( ) xyxyXYF x yf u v dvdufufv dvdu所以，X與Y相互獨立 ( )( )( )( )xyXYXYfu dufv dvFxFy(2)必要性。假設X與Y相互獨立，那么在f(x，y) ， fx(x)，fY(y)的一切延續(xù)點有

16、 )()()()()()(),(),(22yfxfdyydFdxxdFyxyFxFyxyxFyxfYXYXYX 例2: 設(X，Y)N(1，2，12，22，)，證明X 與Y相互獨立的充要條件為=0。 證明: (X，Y)的概率密度為 )()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 xxxxyxf關于X和Y的邊緣密度分別為 ,21)(21212)(1 xXexf22222)(221)( yYeyf(1)充分性。假設=0,那么對一切x，y有 f(x，y) = fx(x)fY(y) ，即X與Y相互獨立。 (2)必要性。假設X與Y相互獨立，由于f(x，y), fx(x), fY(y)都是延續(xù)函數，故對一切x，y有f(x，y) = fx(x)fY(y) ，特別地，取x=1 ，y=2可得 2)(2)(212