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文檔簡介

1、 40*3講義 靜下來,鑄我實力;拼上去,亮我風采第十講 二項分布及應用 隨機變量的均值與方差知識要點1.事件的相互獨立性(概率的乘法公式)設A、B為兩個事件,如果P(AB)P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨立2. 互斥事件概率的加法公式:如果事件A與事件B互斥,則P(AB)P(A)P(B)3.對立事件的概率:若事件A與事件B互為對立事件,則P(A)1P(B)4.條件概率的加法公式:若B、C是兩個互斥事件,則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)5.獨立重復試驗:在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗,即若用Ai(i1,2,n)表示第i次試驗結果,則 P(A1A2A3An)P

2、(A1)P(A2)P(A3)P(An)注:判斷某事件發(fā)生是否是獨立重復試驗,關鍵有兩點(1)在同樣的條件下重復,相互獨立進行;(2)試驗結果要么發(fā)生,要么不發(fā)生6.二項分布:在n次獨立重復試驗中,設事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,那么在n次獨立重復試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk)Cpk·(1p)nk(k0,1,2,n),此時稱隨機變量X服從二項分布,記作XB(n,p),并稱p為成功概率注:判斷一個隨機變量是否服從二項分布,要看兩點(1)是否為n次獨立重復試驗(2)隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)7.離散型隨機變量的均值與方差及其

3、性質定義:若離散型隨機變量X的分布列為P(xi)pi,i1,2,n.(1)均值:稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望(2)方差:D(X) (xiE(X)2pi為隨機變量X的方差,其算術平方根為隨機變量X的標準差(3)均值與方差的性質:(1)E(aXb)aE(X)b;(2)D(aXb)a2D(X)(a,b為常數(shù))8.兩點分布與二項分布的均值、方差變量X服從兩點分布: E(X)p , D(X)p(1p); XB(n,p): E(X)np ,D(X)np(1p)典例精析例1.【2015高考四川,理17】某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽,A中學推薦3名男生,2名

4、女生,B中學推薦了3名男生,4名女生,兩校推薦的學生一起參加集訓,由于集訓后隊員的水平相當,從參加集訓的男生中隨機抽取3人,女生中隨機抽取3人組成代表隊(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率.(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,設X表示參賽的男生人數(shù),求X得分布列和數(shù)學期望.例2如圖,用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為 ( )A0.960 B0.864 C0.720 D0.576例3.(2013·山東高考)甲

5、、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結束除第五局甲隊獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是,假設各局比賽結果相互獨立(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率(2)若比賽結果為30或31,則勝利方得3分,對方得0分;若比賽結果為32,則勝利方得2分,對方得1分求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望例4.為貫徹“激情工作,快樂生活”的理念,某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽,比賽分初賽和決賽兩部分,為了增加節(jié)目的趣味性,初賽采用選手選一題答一題的方式進行,每位選手最多有5次選答題的機會,選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽,答對3題者直接進入決賽,答錯3題者

6、則被淘汰,已知選手甲答題的正確率為.(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進入決賽的概率;(2)設選手甲在初賽 中答題的個數(shù),試寫出的分布列,并求的數(shù)學期望例5.(2014·福建高考改編)為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元,其余3個均為10元求:顧客所獲的獎勵額為60元的概率;顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望(2)商場對獎勵總額的預算是60 000元,為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位

7、顧客所獲的獎勵額相對均衡下面給出兩種方案:方案1:4個球中所標面值分別為10元,10元,50元,50元;方案2:4個球中所標面值分別為20元,20元,40元,40元如果你作為商場經(jīng)理,更傾向選擇哪種方案?例6(13分)如圖所示,是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位:噸)的頻率分布直方圖 (1)求直方圖中x的值;(2)若將頻率視為概率,從這個城市隨機抽取3位居民(看作有放回的抽樣),求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列、數(shù)學期望與方差例7(12分)某網(wǎng)站用“10分制”調查一社區(qū)人們的幸福度現(xiàn)從調查人群中隨機抽取16名,以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小

8、數(shù)點后的一位數(shù)字為葉): (1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);(2)若幸福度不低于9,則稱該人的幸福度為“極幸?!鼻髲倪@16人中隨機選取3人,至多有1人是“極幸福”的概率;(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“極幸?!钡娜藬?shù),求的分布列及數(shù)學期望例8.【2015高考湖南,理18】某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額商品后即可抽獎,每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.(1)求顧客抽獎1次能獲

9、獎的概率;(2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.例9.(2016 河北張家口市 三模21)(本小題滿分12分) 設函數(shù)()若,求的單調區(qū)間;()若當時,求的取值范圍參考答案例1.【2015高考四川,理17】某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽,A中學推薦3名男生,2名女生,B中學推薦了3名男生,4名女生,兩校推薦的學生一起參加集訓,由于集訓后隊員的水平相當,從參加集訓的男生中隨機抽取3人,女生中隨機抽取3人組成代表隊(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率.(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,設X表示參賽的男生人數(shù),

10、求X得分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)A中學至少1名學生入選的概率為.(2)X的分布列為:X的期望為.【解析】(1)由題意,參加集訓的男女生各有6名.參賽學生全從B中抽取(等價于A中沒有學生入選代表隊)的概率為.因此,A中學至少1名學生入選的概率為.(2)根據(jù)題意,X的可能取值為1,2,3.,所以X的分布列為:因此,X的期望為.例2如圖1081,用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為(B)A0.960 B0.864 C0.720 D0.576【答案

11、】B 至少有一個正常工作的概率為 ,則系統(tǒng)正常工作的概率為 例3.(2013·山東高考)甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結束除第五局甲隊獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是,假設各局比賽結果相互獨立(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率(2)若比賽結果為30或31,則勝利方得3分,對方得0分;若比賽結果為32,則勝利方得2分,對方得1分求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望【嘗試解答】(1)記“甲隊以30勝利”為事件A1,“甲隊以31勝利”為事件A2,“甲隊以32勝利”為事件A3,由題意,各局比賽結果相互獨立,故P(A1)3,P(A2)C2&#

12、215;,P(A3)C22×.所以甲隊以30勝利,以31勝利的概率都為,以32勝利的概率為.(2)設“乙隊以32勝利”為事件A4,由題意,各局比賽結果相互獨立,所以P(A4)C22×.由題意,隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3,根據(jù)事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2).又P(X1)P(A3),P(X2)P(A4),P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2),故X的分布列為X0123P所以EX0×1×2×3×.例4.為貫徹“激情工作,快樂生活”的理念,某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽,比賽分初賽和決賽兩

13、部分,為了增加節(jié)目的趣味性,初賽采用選手選一題答一題的方式進行,每位選手最多有5次選答題的機會,選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽,答對3題者直接進入決賽,答錯3題者則被淘汰,已知選手甲答題的正確率為.(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進入決賽的概率;(2)設選手甲在初賽 中答題的個數(shù),試寫出的分布列,并求的數(shù)學期望【嘗試解答】(1)選手甲答3道題進入決賽的概率為3,選手甲答4道題進入決賽的概率為C·2··,選手甲答題次數(shù)不超過4次可進入決賽的概率P;(2)依題意,的可取取值為3、4、5,則有P(3)33,P(4)C·2··

14、C·2··,P(5)C·2·2·C·2·2·,因此,有345PE3×4×5×.規(guī)律方法2求離散型隨機變量的均值與方差的方法:(1)先求隨機變量的分布列,然后利用均值與方差的定義求解(2)若隨機變量XB(n,p),則可直接使用公式E(X)np,D(X)np(1p)求解例5.(2014·福建高考改編)為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額

15、(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元,其余3個均為10元求:顧客所獲的獎勵額為60元的概率;顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望(2)商場對獎勵總額的預算是60 000元,為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡下面給出兩種方案:方案1:4個球中所標面值分別為10元,10元,50元,50元;方案2:4個球中所標面值分別為20元,20元,40元,40元如果你作為商場經(jīng)理,更傾向選擇哪種方案?【解答】(1)設顧客所獲的獎勵額為X.依題意,得P(X60),即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為.依題意,得X的所有可能取值為20,60.P(X20),P(X60

16、),即X的分布列為X2060P所以顧客所獲的獎勵額的數(shù)學期望為E(X)20×60×40(元)(2)對于方案1:設每位顧客獲得的獎勵額為X1元,則隨機變量X1的分布列為X12060100P數(shù)學期望E(X1)20×60×100×60,方差D(X1)×(6060)2.對于方案2:設顧客獲得的獎勵額為X2元,則X2的分布列為X2406080P數(shù)學期望E(X2)40×60×80×60,方差D(X2)×(6060)2.根據(jù)預算,每個顧客的平均獎勵額為60元,且E(X1)E(X2)60,D(X1)>D(

17、X2)因此,根據(jù)商場的設想,應選擇方案2.例6.如圖1094所示,是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位:噸)的頻率分布直方圖圖1094(1)求直方圖中x的值;(2)若將頻率視為概率,從這個城市隨機抽取3位居民(看作有放回的抽樣),求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列、數(shù)學期望與方差【解】(1)依題意及頻率分布直方圖知,0020.1x0.370.391,解得x0.12.(2)由題意知,XB(3,0.1)因此P(X0)C×0.930.729,P(X1)C×0.1×0.920.243,P(X2)C×0.12×0.90.027,P(X3

18、)C×0.130.001.故隨機變量X的分布列為X0123P0.7290.2430.0270.001X的數(shù)學期望為E(X)3×0.10.3.X的方差為D(X)3×0.1×(10.1)0.27.例7某網(wǎng)站用“10分制”調查一社區(qū)人們的幸福度現(xiàn)從調查人群中隨機抽取16名,以下莖葉圖1093記錄了他們的幸福度分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉):圖1093(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);(2)若幸福度不低于9,則稱該人的幸福度為“極幸?!鼻髲倪@16人中隨機選取3人,至多有1人是“極幸福”的概率;(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總

19、體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“極幸?!钡娜藬?shù),求的分布列及數(shù)學期望【解】(1)眾數(shù):8,6;中位數(shù):8.75(2)由莖葉圖可知,幸福度為“極幸?!钡娜擞?人設Ai表示所取3人中有i個人是“極幸?!?,至多有1人是“極幸?!庇洖槭录嗀,則P(A)P(A0)P(A1)(3)從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人,抽到“極幸福”的人的概率為,故依題意可知,從該社區(qū)中任選1人,抽到“極幸福”的人的概率P的可能取值為0,1,2,3P(0)3;P(1)C2P(2)C2;P(3)3所以的分布列為0123PE0×1×2×3×0.75另解由題可知B,所以E3

20、×0.75.例8. 【2015高考湖南,理18】某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額商品后即可抽獎,每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;(2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1);(2)詳見解析.【解析】試題分析:(1)記事件從甲箱中摸出的1個球是紅球,從乙箱中摸出的1個球是紅球 顧客抽獎1次獲一等獎,顧客抽獎1次獲二等獎,顧客抽獎1次能獲

21、獎,則可知與相互獨立,與互斥,與互斥,且,再利用概率的加法公式即可求解;(2)分析題意可知,分別求得,即可知的概率分布及其期望.試題解析:(1)記事件從甲箱中摸出的1個球是紅球,從乙箱中摸出的1個球是紅球 顧客抽獎1次獲一等獎,顧客抽獎1次獲二等獎,顧客抽獎1次能獲獎,由題意,與相互獨立,與互斥,與互斥,且,故所求概率為;(2)顧【考點定位】1.概率的加法公式;2.離散型隨機變量的概率分布與期望.【名師點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的概率分布與期望以及概率統(tǒng)計在生活中的實際應用,這一直都是高考命題的熱點,試題的背景由傳統(tǒng)的摸球,骰子問題向現(xiàn)實生活中的熱點問題轉化,并且與統(tǒng)計的聯(lián)系越來越密切,與統(tǒng)計中的抽樣,頻率分布直方圖等基礎知識綜合的試題逐漸增

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