二項(xiàng)分布、數(shù)學(xué)期望與方差專題復(fù)習(xí)word有詳解重點(diǎn)中學(xué)用

1、 40*3講義 靜下來，鑄我實(shí)力；拼上去，亮我風(fēng)采第十講 二項(xiàng)分布及應(yīng)用 隨機(jī)變量的均值與方差知識(shí)要點(diǎn)1.事件的相互獨(dú)立性(概率的乘法公式)設(shè)A、B為兩個(gè)事件，如果P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(AB)P(A)P(B)3.對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則P(A)1P(B)4.條件概率的加法公式：若B、C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)5.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即若用Ai(i1,2，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則 P(A1A2A3An)P

2、(A1)P(A2)P(A3)P(An)注：判斷某事件發(fā)生是否是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，關(guān)鍵有兩點(diǎn)(1)在同樣的條件下重復(fù)，相互獨(dú)立進(jìn)行；(2)試驗(yàn)結(jié)果要么發(fā)生，要么不發(fā)生6.二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk)Cpk·(1p)nk(k0,1,2，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率注：判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)(1)是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(2)隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)7.離散型隨機(jī)變量的均值與方差及其

3、性質(zhì)定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(xi)pi，i1,2，n.(1)均值：稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(2)方差：D(X) (xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差(3)均值與方差的性質(zhì)：(1)E(aXb)aE(X)b；(2)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))8.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差變量X服從兩點(diǎn)分布： E(X)p ， D(X)p(1p)； XB(n，p)： E(X)np ，D(X)np(1p)典例精析例1.【2015高考四川，理17】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名

4、女生，B中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊(duì)員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)（1）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率.（2）某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.例2如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為 ( )A0.960 B0.864 C0.720 D0.576例3.(2013·山東高考)甲

5、、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是，假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)分別求甲隊(duì)以30,31,32勝利的概率(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分，對(duì)方得1分求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望例4.為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題者

6、則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為.(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率；(2)設(shè)選手甲在初賽 中答題的個(gè)數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望例5.(2014·福建高考改編)為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元，為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位

7、顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡下面給出兩種方案：方案1：4個(gè)球中所標(biāo)面值分別為10元，10元，50元，50元；方案2：4個(gè)球中所標(biāo)面值分別為20元，20元，40元，40元如果你作為商場(chǎng)經(jīng)理，更傾向選擇哪種方案？例6(13分)如圖所示，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖 (1)求直方圖中x的值；(2)若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差例7(12分)某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小

8、數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)： (1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若幸福度不低于9，則稱該人的幸福度為“極幸?！鼻髲倪@16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩?3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望例8.【2015高考湖南，理18】某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲

9、獎(jiǎng)的概率；（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.例9.（2016 河北張家口市 三模21）（本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù)()若，求的單調(diào)區(qū)間；()若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍參考答案例1.【2015高考四川，理17】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊(duì)員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)（1）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率.（2）某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，

10、求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）A中學(xué)至少1名學(xué)生入選的概率為.（2）X的分布列為：X的期望為.【解析】（1）由題意，參加集訓(xùn)的男女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中抽?。ǖ葍r(jià)于A中沒有學(xué)生入選代表隊(duì)）的概率為.因此，A中學(xué)至少1名學(xué)生入選的概率為.（2）根據(jù)題意，X的可能取值為1，2，3.，所以X的分布列為：因此，X的期望為.例2如圖1081，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為(B)A0.960 B0.864 C0.720 D0.576【答案

11、】B 至少有一個(gè)正常工作的概率為 ，則系統(tǒng)正常工作的概率為 例3.(2013·山東高考)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是，假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)分別求甲隊(duì)以30,31,32勝利的概率(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分，對(duì)方得1分求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望【嘗試解答】(1)記“甲隊(duì)以30勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以31勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以32勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A1)3，P(A2)C2&#

12、215;，P(A3)C22×.所以甲隊(duì)以30勝利，以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊(duì)以32勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以P(A4)C22×.由題意，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3，根據(jù)事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2).又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列為X0123P所以EX0×1×2×3×.例4.為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽，比賽分初賽和決賽兩

13、部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為.(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率；(2)設(shè)選手甲在初賽 中答題的個(gè)數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望【嘗試解答】(1)選手甲答3道題進(jìn)入決賽的概率為3，選手甲答4道題進(jìn)入決賽的概率為C·2··，選手甲答題次數(shù)不超過4次可進(jìn)入決賽的概率P；(2)依題意，的可取取值為3、4、5，則有P(3)33，P(4)C·2··

14、C·2··，P(5)C·2·2·C·2·2·，因此，有345PE3×4×5×.規(guī)律方法2求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的方法：(1)先求隨機(jī)變量的分布列，然后利用均值與方差的定義求解(2)若隨機(jī)變量XB(n，p)，則可直接使用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解例5.(2014·福建高考改編)為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額

15、(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元，為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡下面給出兩種方案：方案1：4個(gè)球中所標(biāo)面值分別為10元，10元，50元，50元；方案2：4個(gè)球中所標(biāo)面值分別為20元，20元，40元，40元如果你作為商場(chǎng)經(jīng)理，更傾向選擇哪種方案？【解答】(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.依題意，得P(X60)，即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為.依題意，得X的所有可能取值為20,60.P(X20)，P(X60

16、)，即X的分布列為X2060P所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望為E(X)20×60×40(元)(2)對(duì)于方案1：設(shè)每位顧客獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1元，則隨機(jī)變量X1的分布列為X12060100P數(shù)學(xué)期望E(X1)20×60×100×60，方差D(X1)×(6060)2.對(duì)于方案2：設(shè)顧客獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2元，則X2的分布列為X2406080P數(shù)學(xué)期望E(X2)40×60×80×60，方差D(X2)×(6060)2.根據(jù)預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元，且E(X1)E(X2)60，D(X1)>D(

17、X2)因此，根據(jù)商場(chǎng)的設(shè)想，應(yīng)選擇方案2.例6.如圖1094所示，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖圖1094(1)求直方圖中x的值；(2)若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差【解】(1)依題意及頻率分布直方圖知，0020.1x0.370.391，解得x0.12.(2)由題意知，XB(3,0.1)因此P(X0)C×0.930.729，P(X1)C×0.1×0.920.243，P(X2)C×0.12×0.90.027，P(X3

18、)C×0.130.001.故隨機(jī)變量X的分布列為X0123P0.7290.2430.0270.001X的數(shù)學(xué)期望為E(X)3×0.10.3.X的方差為D(X)3×0.1×(10.1)0.27.例7某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，以下莖葉圖1093記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)：圖1093(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若幸福度不低于9，則稱該人的幸福度為“極幸?！鼻髲倪@16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕?；(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總

19、體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望【解】(1)眾數(shù)：8,6；中位數(shù)：8.75(2)由莖葉圖可知，幸福度為“極幸?！钡娜擞?人設(shè)Ai表示所取3人中有i個(gè)人是“極幸福”，至多有1人是“極幸福”記為事件A，則P(A)P(A0)P(A1)(3)從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人，抽到“極幸福”的人的概率為，故依題意可知，從該社區(qū)中任選1人，抽到“極幸?！钡娜说母怕蔖的可能取值為0,1,2,3P(0)3；P(1)C2P(2)C2；P(3)3所以的分布列為0123PE0×1×2×3×0.75另解由題可知B，所以E3

20、×0.75.例8. 【2015高考湖南，理18】某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）記事件從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球，從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球 顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)，顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)，顧客抽獎(jiǎng)1次能獲

21、獎(jiǎng)，則可知與相互獨(dú)立，與互斥，與互斥，且，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析題意可知，分別求得，即可知的概率分布及其期望.試題解析：（1）記事件從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球，從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球 顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)，顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)，顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)，由題意，與相互獨(dú)立，與互斥，與互斥，且，故所求概率為；（2）顧【考點(diǎn)定位】1.概率的加法公式；2.離散型隨機(jī)變量的概率分布與期望.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布與期望以及概率統(tǒng)計(jì)在生活中的實(shí)際應(yīng)用，這一直都是高考命題的熱點(diǎn)，試題的背景由傳統(tǒng)的摸球，骰子問題向現(xiàn)實(shí)生活中的熱點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化，并且與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系越來越密切，與統(tǒng)計(jì)中的抽樣，頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)綜合的試題逐漸增