小學(xué)奧數(shù)——三角形的等積變形附答案

1、小學(xué)奧數(shù) 三角形的等積變形我們已經(jīng)掌握了三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積=底×高÷2這個(gè)公式告訴我們：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變，高越大（?。?，三角形面積也就越大（?。┩瑯尤羧切蔚母卟蛔?，底越大（?。?，三角形面積也就越大（?。┻@說(shuō)明；當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉?lái)角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化同時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無(wú)數(shù)多個(gè)不同的形狀本講即研究面積相同的三角形的各種形狀以

2、及它們之間的關(guān)系為便于實(shí)際問(wèn)題的研究，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等底在同一條直線上并且相等，該底所對(duì)的角的頂點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)或在與底平行的直線上，這兩個(gè)三角形面積相等若兩個(gè)三角形的高（或底）相等，其中一個(gè)三角形的底（或高）是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍，它們所對(duì)的頂點(diǎn)同為A點(diǎn)，（也就是它們的高相等）那么這兩個(gè)三角形的面積相等同時(shí)也可以知道ABC的面積是ABD或AEC面積的3倍例如在右圖中，ABC與DBC的底相同（它們的底都是BC），它所對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)A、D在與底BC平行的直線上，（也就是它們的高相等），那么這兩個(gè)三角形的面積相等例如右圖

3、中，ABC與DBC的底相同（它們的底都是BC），ABC的高是DBC高的2倍（D是AB中點(diǎn)，AB=2BD，有AH=2DE），則ABC的面積是DBC面積的2倍上述結(jié)論，是我們研究三角形等積變形的重要依據(jù)例1 用三種不同的方法，把任意一個(gè)三角形分成四個(gè)面積相等的三角形方法2：如右圖，先將BC二等分，分點(diǎn)D、連結(jié)AD，得到兩個(gè)等積三角形，即ABD與ADC等積然后取AC、AB中點(diǎn)E、F，并連結(jié)DE、DF以而得到四個(gè)等積三角形，即ADF、BDF、DCE、ADE等積例2 用三種不同的方法將任意一個(gè)三角形分成三個(gè)小三角形，使它們的面積比為及134方法 1：如下左圖，將BC邊八等分，取134的分點(diǎn)D、E，連結(jié)A

4、D、AE，從而得到ABD、ADE、AEC的面積比為134DE，從而得到三個(gè)三角形：ADE、BDE、ACD其面積比為134當(dāng)然本題還有許多種其他分法，同學(xué)們可以自己尋找解決例3 如右圖，在梯形ABCD中，AC與BD是對(duì)角線，其交點(diǎn)O，求證：AOB與COD面積相等證明：ABC與DBC等底等高，SABC=SDBC又 SAOB=SABCSBOC SDOC=SDBCSBOCSAOB=SCOD例4 如右圖，把四邊形ABCD改成一個(gè)等積的三角形分析本題有兩點(diǎn)要求，一是把四邊形改成一個(gè)三角形，二是改成的三角形與原四邊形面積相等我們可以利用三角形等積變形的方法，如右圖，把頂點(diǎn)A移到CB的延長(zhǎng)線上的A處，ABD與

5、ABD面積相等，從而ADC面積與原四邊形ABCD面積也相等這樣就把四邊形ABCD等積地改成了三角形ADC問(wèn)題是A位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原則過(guò)A作一條和DB平行的直線與CB的延長(zhǎng)線交于A點(diǎn)解：連結(jié)BD；過(guò)A作BD的平行線，與CB的延長(zhǎng)線交于A連結(jié)AD，則ACD與四邊形ABCD等積例5 如右圖，已知在ABC中，BE=3AE，CD=2AD若ADE的面積為1平方厘米求三角形ABC的面積解法1：連結(jié)BD，在ABD中 BE=3AE， SABD=4SADE=4（平方厘米）在ABC中，CD=2AD， SABC=3SABD=3×4=12（平方厘米）解法2：連結(jié)CE，如右圖所示，在ACE中， C

6、D=2AD， SACE=3SADE=3（平方厘米）在ABC中，BE=3AE SABC=4SACE=4×3=12（平方厘米）例6 如下頁(yè)圖，在ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：連結(jié)BG，在ABG中， SADG+SBDE+SCFG例7 如右圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC，如果ADE的面積為4平方厘米求三角形CDF的面積解：連結(jié)AF、CE，SADE=SACE；SCDF=SACF；又AC與EF平行，SACE=SACF； SADE=SCDF=4（平方厘米）例8 如右圖，四邊形ABCD面積為1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH求四邊形EFGH的面積解：連結(jié)BD，將四邊形ABCD分成兩個(gè)部分S1與S2連結(jié)FD，有SFBD=SDBC=S1 所以SCGF=SDFC=2S1同理 SAEH=2S2，因此SAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2同理，連結(jié)AC之后，可求出SHGD+SEBF=2所以四邊形EFGH的面積為2+2+1=5（平方單位）例9 如右圖，在平行四邊形ABCD中，直線CF交AB于E，交DA延長(zhǎng)線于F，