小學(xué)二年級奧數(shù)下冊 一筆畫問題習(xí)題答案

1、第五講 一筆畫問題一天，小明做完作業(yè)正在休息，收音機(jī)中播放著輕松、悅耳的音樂.他拿了支筆，信手在紙上寫了“中”、“日”、“田”幾個字.突然，他腦子里閃出一個念頭，這幾個字都能一筆寫出來嗎？他試著寫了寫，“中”和“日”可以一筆寫成（沒有重復(fù)的筆劃），但寫到“田”字，試來試去也沒有成功.下面是他寫的字樣.（見下圖）這可真有意思！由此他又聯(lián)想到一些簡單的圖形，哪個能一筆畫成，哪個不能一筆畫成呢？下面是他試著畫的圖樣.（見下圖）經(jīng)過反復(fù)試畫，小明得到了初步結(jié)論：圖中的（1）、（3）、（5）能一筆畫成；（2）、（4）、（6）不能一筆畫成.真奇怪！小明發(fā)現(xiàn)，簡單的筆畫少的圖不一定能一筆畫得出來.而復(fù)雜的筆

2、畫多的圖有時反倒能夠一筆畫出來，這其中隱藏著什么奧秘呢？小明進(jìn)一步又提出了如下問題：如果說一個圖形是否能一筆畫出不決定于圖的復(fù)雜程度，那么這事又決定于什么呢？能不能找到一條判定法則，依據(jù)這條法則，對于一個圖形，不論復(fù)雜與否，也不用試畫，就能知道是不是能一筆畫成？“線”，可以是直線段，也可以是一段曲線.而且為了明顯起見，圖中所有線的端點或是幾條線的交點都用較大的黑點“”表示出來了.首先不難發(fā)現(xiàn)，每個圖中的每一個點都有線與它相連；有的點與一條線相連，有的點與兩條線相連，有的點與3條線相連等等.其次從前面的試畫過程中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，一個圖能否一筆畫成不在于圖形是否復(fù)雜，也就是說不在于這個圖包含多少個點和多

3、少條線，而在于點和線的連接情況如何一個點在圖中究竟和幾條線相連.看來，這是需要仔細(xì)考察的.第一組（見下圖）（1）兩個點，一條線.每個點都只與一條線相連.（2）三個點.兩個端點都只與一條線相連，中間點與兩條線連.第一組的兩個圖都能一筆畫出來.（但注意第（2）個圖必須從一個端點畫起）第二組（見下圖）（1）五個點，五條線.A點與一條線相連，B點與三條線相連，其他的點都各與兩條線相連.（2）六個點，七條線.（“日”字圖）A點與B點各與三條線相連，其他點都各與兩條線相連.第二組的兩個圖也都能一筆畫出來，如箭頭所示那樣畫.即起點必需是A點（或B點），而終點則定是B點（或A點）.第三組（見下圖）（1）四個點

4、，三條線.三個端點各與一條線相連，中間點與三條線相連.（2）四個點，六條線.每個點都與三條線相連.（3）五個點，八條線.點O與四條線相連，其他四個頂點各與三條線相連.第三組的三個圖形都不能一筆畫出來.第四組（見下圖）（1）這個圖通常叫五角星.五個角的頂點各與兩條線相連，其他各點都各與四條線相連.（2）由一個圓及一個內(nèi)接三角形構(gòu)成.三個交點，每個點都與四條線相連（這四條線是兩條線段和兩條弧線）.（3）一個正方形和一個內(nèi)切圓構(gòu)成.正方形的四個頂點各與兩條線相連，四個交點各與四條線相連.（四條線是兩條線段和兩條弧線）.第四組的三個圖雖然比較復(fù)雜，但每一個圖都可以一筆畫成，而且畫的時候從任何一點開始畫

5、都可以.第五組（見下圖）（1）這是“品”字圖形，它由三個正方形構(gòu)成，它們之間沒有線相連.（2）這是古代的錢幣圖形，它是由一個圓形和中間的正方形方孔組成.圓和正方形之間沒有線相連.第五組的兩個圖形叫不連通圖，顯然不能一筆把這樣的不連通圖畫出來.進(jìn)行總結(jié)、歸納，看能否找出可以一筆畫成的圖形的共同特點，為方便起見，把點分為兩種，并分別定名：把和一條、三條、五條等奇數(shù)條線相連的點叫做奇點；把和兩條、四條、六條等偶數(shù)條線相連的點叫偶點，這樣圖中的要么是奇點，要么是偶點.提出猜想：一個圖能不能一筆畫成可能與它包含的奇點個數(shù)有關(guān)，對此列表詳查：從此表來看，猜想是對的.下面試提出幾點初步結(jié)論：不連通的圖形必定

6、不能一筆畫；能夠一筆畫成的圖形必定是連通圖形.有0個奇點（即全部是偶點）的連通圖能夠一筆畫成.（畫時可以任一點為起點，最后又將回到該點）.只有兩個奇點的連通圖也能一筆畫成（畫時必須以一個奇點為起點，而另一個奇點為終點）；奇點個數(shù)超過兩個的連通圖形不能一筆畫成.最后，綜合成一條判定法則：有0個或2個奇點的連通圖能夠一筆畫成，否則不能一筆畫成.能夠一筆畫成的圖形，叫做“一筆畫”.用這條判定法則看一個圖形是不是一筆畫時，只要找出這個圖形的奇點的個數(shù)來就能行了，根本不必用筆試著畫來畫去.看看下面的圖可能會加深你對這條法則的理解.從畫圖的過程來看：筆總是先從起點出發(fā)，然后進(jìn)入下一個點，再出去，然后再進(jìn)出

7、另外一些點，一直到最后進(jìn)入終點不再出來為止.由此可見：筆經(jīng)過的中間各點是有進(jìn)有出的，若經(jīng)過一次，該點就與兩條線相連，若經(jīng)過兩次則就與四條線相連等等，所以中間點必為偶點.再看起點和終點，可分為兩種情況：如果筆無重復(fù)地畫完整個圖形時最后回到起點，終點和起點就重合了，那么這個重合點必成為偶點，這樣一來整個圖形的所有點必將都是偶點，或者說有0個奇點；如果筆畫完整個圖形時最后回不到起點，就是終點和起點不重合，那么起點和終點必定都是奇點，因而該圖必有2個奇點，可見有0個或2個奇點的連通圖能夠一筆畫成.習(xí)題五1.下面的各個小圖形都是由點和線組成的.請你仔細(xì)觀察后回答：與一條線相連的有哪些點？與二條線相連的有

8、哪些點？與三條線相連的有哪些點？與四條線或四條以上的線相連的有哪些點？2.若把與奇數(shù)條線相連的點叫做奇點，把與偶數(shù)條線相連的點叫偶點，那么請你回答：有0個奇點（即全部是偶點）的圖形有哪些？有2個奇點的圖形有哪些？有4個或4個以上奇點的圖形有哪些？連通圖形有哪些？不連通圖形有哪些？3.如果筆在紙上連續(xù)不斷、又不重復(fù)地一筆畫成的圖形叫一筆畫，自己動筆實際畫畫看，然后回答：哪些圖形能夠一筆畫成？哪些圖形不能一筆畫成？4.把以上各向聯(lián)系起來看，進(jìn)行歸納，找出規(guī)律然后回答：如果把各部分連結(jié)在一起的圖形叫做連通圖形，那么能一筆畫出的圖形必定是連通圖形；而不是連通圖形必定不能一筆畫出.這句話說得對嗎？有0個奇點（即全部是偶點）的連通圖形一定可以一筆畫出來（畫時可以以任一點為起點，最后必能回到該點），這句話對嗎？只有兩個奇點的連通圖形也能一筆畫出來，但要注意畫時必須以一個奇點為起點，而以另一個奇點為終點，這句話對嗎？奇點個數(shù)超過兩個的圖形不能一筆畫出來.這句話對嗎？5.從畫圖過程的角度，進(jìn)一步理解所發(fā)現(xiàn)的一些規(guī)律.習(xí)題五解答1.解：見下圖與一條線相連的點有：（在圖中畫成黑點，下同.）與兩條線相連的點有：與三條線相連的點有：與四條及四條以上的線相連的點有：2.解：有0個奇點（即全部是偶點）的圖形是：（1）、（5）、（10）；有2個奇點的圖形是：（2）、（3）、（6）、（7）；有4個