學(xué)案7空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、空間空間向量向量在立在立體幾體幾何中何中的應(yīng)的應(yīng)用用1.理解直線的方向向量和平面的法向量理解直線的方向向量和平面的法向量. 2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系、平行關(guān)系平面與平面的垂直關(guān)系、平行關(guān)系.3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理的一些定理.4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用. 從近兩年

2、的高考看，利用空間向量證明平行與垂從近兩年的高考看，利用空間向量證明平行與垂直、求異面直線所成的角、線面角及二面角大小是高直、求異面直線所成的角、線面角及二面角大小是高考的熱點(diǎn)，題型主要是解答題，難度屬中等偏高，主考的熱點(diǎn)，題型主要是解答題，難度屬中等偏高，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間想象能力和運(yùn)算能力要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間想象能力和運(yùn)算能力.預(yù)預(yù)計(jì)計(jì)2012年仍將以考查用向量方法證平行與垂直，求三年仍將以考查用向量方法證平行與垂直，求三類(lèi)角大小為主，重點(diǎn)考查數(shù)量積運(yùn)算、空間想象能力類(lèi)角大小為主，重點(diǎn)考查數(shù)量積運(yùn)算、空間想象能力和運(yùn)算能力和運(yùn)算能力. 1. 1.平面的法向量平面的法向量 直

3、線直線l，取直線，取直線l的的 ，則，則 叫叫做平面做平面的法向量的法向量. 2.直線直線l的方向向量是的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面，平面的法向的法向量量v=(a2,b2,c2),則則l . 方向向量方向向量a 向量向量a uv=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 3.設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量是的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面，平面的法的法向量向量v=(a2,b2,c2),則則l . 若平面若平面的法向量的法向量u=(a1,b1,c1)，平面，平面的法向量的法向量v=(a2,b2,c2)，則，則 . 4. 4.空間的角空間的角 (1)若異面直線若異面直線l1和和l2的

4、方向向量分別為的方向向量分別為u1和和u2，l1與與l2所成的角為所成的角為，則，則cos= . uv (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2 uv=0 uv a1a2+b1b2+c1c2=0 |cos| (2)已知直線已知直線l的方向向量為的方向向量為v,平面平面的法向量為的法向量為u,l與與的的夾角為夾角為，則，則sin= . (3)已知二面角已知二面角l的兩個(gè)面的兩個(gè)面和和的法向量分別為的法向量分別為v,u,則則與該二面角與該二面角 . 5.空間的距離 (1)一個(gè)點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi) 的距離，叫做的距離，叫做點(diǎn)到這個(gè)平面

5、的距離點(diǎn)到這個(gè)平面的距離. (2)已知直線已知直線l平行平面平行平面，則，則l上任一點(diǎn)到上任一點(diǎn)到的距離的距離都都 ，且叫做，且叫做l到到的距離的距離. |cos| 相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ) 正射影正射影 相等相等 (3)和兩個(gè)平行平面同時(shí)和兩個(gè)平行平面同時(shí) 的直線，叫做兩的直線，叫做兩個(gè)平面的公垂線個(gè)平面的公垂線.公垂線夾在平行平面間的部分，叫做兩公垂線夾在平行平面間的部分，叫做兩個(gè)平面的個(gè)平面的 .兩平行平面的任兩條公垂線段的長(zhǎng)兩平行平面的任兩條公垂線段的長(zhǎng)都相等，公垂線段的都相等，公垂線段的 叫做兩平行平面的距離，叫做兩平行平面的距離，也是一個(gè)平面內(nèi)任一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離也是一個(gè)平面內(nèi)任一

6、點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離. (4)若平面若平面的一個(gè)的一個(gè) 為為m，P是是外一外一點(diǎn)，點(diǎn)，A是是內(nèi)任一點(diǎn)，則點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到到的距離的距離d= .垂直垂直 公垂線段公垂線段 長(zhǎng)度長(zhǎng)度 法向量法向量 | |m m| | | |PAmPAm| |如圖在多面體如圖在多面體ABCDEF中，四邊形中，四邊形ABCD是正方形，是正方形，EFAB,EFFB,AB=2EF,BFC=90，BF=FC,H為為BC的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)求證：求證：FH平面平面EDB;(2)求證：求證：AC平面平面EDB.【證明【證明】四邊形四邊形ABCD為正方形為正方形,ABBC.又又EFAB,EFBC.又又EFFB,EF平面平面B

7、FC.EFFH,ABFH.又又BF=FC,H為為BC的中點(diǎn)的中點(diǎn),FHBC.FH平面平面ABC.以以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，HB為為x軸正方向，軸正方向，HF為為z軸正方向，軸正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系建立如圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)設(shè)BH=1,則則A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法做出證明建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法做出證明. (1)設(shè)設(shè)AC與與BD的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為G，連接，連接EG,GH,則則G(0,-1,0),GE=(0,0,1).又又HF=(0,0,1),HFGE.又又G

8、E平面平面EDB,HF平面平面EDB,FH平面平面EBD. (2)AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),AC GE=0,ACGE.又又ACBD,EGBD=G,AC平面平面EDB. 利用直線的方向向量和平面的法向量，利用直線的方向向量和平面的法向量，可以判定直線與直線、直線與平面、平面與平面可以判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的平行和垂直.如圖，如圖，ABEDFCABEDFC為多面體，平面為多面體，平面ABEDABED與平面與平面ACFDACFD垂直，點(diǎn)垂直，點(diǎn)O O在線段在線段ADAD上，上，OA=1OA=1，OD=2OD=2，OABOAB，OACOAC，ODEODE

9、，ODFODF都是正三角形都是正三角形. . （1 1）證明：直線）證明：直線BCEFBCEF；（2 2）求棱錐）求棱錐F FOBEDOBED的體積的體積. . 【解析】【解析】 根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算證明、求解運(yùn)算證明、求解.如圖，已知三棱錐如圖，已知三棱錐PABC中，中，PA平面平面ABC,ABAC,PA=AC= AB，N為為AB上上一點(diǎn)，一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為分別為PB,BC的中點(diǎn)的中點(diǎn).(1)證明：證明：CMSN;(2)求求SN與平面與平面CMN所成角的大小所成角的大小.21 【解析】【解析】(1)證明證明:設(shè)設(shè)P

10、A=1,以以A為原點(diǎn)為原點(diǎn),AB,AC,AP所所在直線分別為在直線分別為x,y,z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示示,則則P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M（1,0, ）,N（ ,0,0）,S（1, ,0）.所以所以CM=（1,-1, ）,SN=（- ,- ,0）.因?yàn)橐驗(yàn)镃MSN=- + +0=0,所以所以CMSN.2121212121212121(2)NC=（- ,1,0）,設(shè)設(shè)a=(x,y,z)為平面為平面CMN的一個(gè)法向量，的一個(gè)法向量， a5CM=0 a NC=0, x-y+ z=0 - x+y=0，因?yàn)橐驗(yàn)閨cos|=所以所以SN

11、與平面與平面CMN所成角為所成角為45.2222321121則則即即 2121令令x=2,得得a=(2,1,-2). （1）本題考查異面直線垂直、線面角的求）本題考查異面直線垂直、線面角的求法、空間直角坐標(biāo)系的建立等知識(shí)，重點(diǎn)考查了在空法、空間直角坐標(biāo)系的建立等知識(shí)，重點(diǎn)考查了在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，同時(shí)考查空間想象間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，難度適中能力和推理運(yùn)算能力，難度適中. （2）利用向量法求線面角的方法）利用向量法求線面角的方法一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向一是分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方

12、向向量的夾角（或其補(bǔ)角）；二量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）；二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與是通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角所成的角.【解析】【解析】如圖，在矩形如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E,F分別在線段分別在線段AB,AD上，上，AE=EB=AF= FD=4.沿直線沿直線EF將將AEF翻折成翻折成AEF，使平面使平面AEF平面平面BEF.(1)求二面角求二面角AFDC的余弦值；的余弦值；(2)點(diǎn)點(diǎn)M,N分別在線段分別在線段FD,BC上，若沿直線上

13、，若沿直線MN將將四邊形四邊形MNCD向上翻折，使向上翻折，使C與與A重合，求線段重合，求線段FM的長(zhǎng)的長(zhǎng).32 【分析【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系后，求兩個(gè)面）建立空間直角坐標(biāo)系后，求兩個(gè)面的法向量所成的角的法向量所成的角.（2）用待定系數(shù)法求解）用待定系數(shù)法求解. 【解析【解析】（1）取線段）取線段EF的中點(diǎn)的中點(diǎn)H，連接，連接AH.AE=AF及及H是是EF的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AHEF.又又平面平面AEF平面平面BEF,AH 平面平面AEF,AH平面平面BEF.如圖如圖,建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則則A(2,2,2 ),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0

14、,0).故故FA=(-2,2,2 ),FD=(6,0,0).設(shè)設(shè)n=(x,y,z)為平面為平面AFD的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量,nFA=0,nFD=0, -2x+2y+22z=0 6x=0.取取z= ,則則n=(0,-2, ).又平面又平面BEF的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量m=(0,0,1),故故cos=二面角二面角AFDC的余弦值為的余弦值為 .33|m|n|nm322222(2)設(shè)設(shè)FM=x，則，則M(4+x,0,0).翻折后翻折后C與與A重合，重合，CM=AM，故故(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2 )2,得得x= ,經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)N在直線在直線BC上上.FM=

15、 .4212421 利用空間向量方法求二面角，可以有兩種辦法：利用空間向量方法求二面角，可以有兩種辦法： 一是分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且一是分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大?。欢峭ㄟ^(guò)平面的法向量來(lái)求：是二面角的平面角的大??；二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求：設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量分別為設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量分別為n1和和n2，則二面角的，則二面角的大小等于大小等于（或（或-). 注意：利用空間向量方法求二面角時(shí)，注意結(jié)合圖注意：利用空間向量方法求二面角時(shí)，注意

16、結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角形判斷二面角是銳角還是鈍角.【解析【解析】 如圖，如圖，BCD與與MCD都是邊長(zhǎng)為都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，的正三角形，平面平面MCD平面平面BCD,AB平面平面BCD,AB=2 .（1）求點(diǎn)）求點(diǎn)A到平面到平面MBC的距離；的距離；（2）求平面）求平面ACM與平面與平面BCD所成二面角的正弦值所成二面角的正弦值. 【分析】【分析】建立坐標(biāo)系后，代入點(diǎn)到平面的距離公式，建立坐標(biāo)系后，代入點(diǎn)到平面的距離公式，可求點(diǎn)可求點(diǎn)A到平面到平面MBC的距離的距離.3 3 【解析【解析】取取CD中點(diǎn)中點(diǎn)O，連接，連接OB,OM,則則OBCD,OMCD.又平面又平面MCD平面平面

17、BCD,所以所以MO平面平面BCD.取取O為原點(diǎn)，直線為原點(diǎn)，直線OC,BO,OM為為x軸，軸，y軸，軸，z軸，建立空間直軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖角坐標(biāo)系如圖.OB=OM= ,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為C(1,0,0),M(0,0, ),B(0,- ,0),A(0,- ,2 ).(1)設(shè)設(shè)n=(x,y,z)是平面是平面MBC的法向量，則的法向量，則BC=(1,3,0),BM=(0,3,3).由由nBC得得x+ y=0;由由nBM得得 y+ z=0.取取n=( ,-1,1),BA=(0,0,2 )，則，則d=3 333 33 333 33 33 35152532nnBA(2)CM=(-1,0, ),CA=(-1,- ,2 ).設(shè)平面設(shè)平面ACM的法向量為的法向量為n1=(x1,y1,z1),由由n1CM,n1CA- x1+3z1=0 -x1-3y1+2 z1=0,解得解得x1=3z1,y1=z1,取取n1=( ,1,1).又平面又平面BCD的法向量為的法向量為n2=(0,0,1),所以所以cos=設(shè)所求二面角為設(shè)所求二面角為，則，則sin= .故所求