第十一章反常積分習(xí)題課(共14頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 第十一章 反常積分習(xí)題課一 概念敘述1敘述收斂的定義答：收斂 存在2敘述（是暇點(diǎn)）收斂的定義答：收斂 存在當(dāng)，有3 敘述收斂的柯西準(zhǔn)則答：無(wú)窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則是：任給，存在，只要，便有4 敘述（是暇點(diǎn)）收斂的柯西準(zhǔn)則答：瑕積分（瑕點(diǎn)為）收斂的充要條件是：任給，存在，只要，總有二 疑難問(wèn)題1試問(wèn)收斂與有無(wú)聯(lián)系？答：首先，肯定不是收斂的充分條件，例如，但發(fā)散那么是否是收斂的必要條件呢？也不是！例如，都收斂，因?yàn)榍皟蓚€(gè)無(wú)窮積分經(jīng)換元得到，=，則，是條件收斂，對(duì)于第三個(gè)無(wú)窮積分，經(jīng)換元而得=，它也是條件收斂的 從這三個(gè)無(wú)窮積分的收斂性可以看到，當(dāng)時(shí)被積函數(shù)即使不趨于零，甚

2、至是無(wú)界的，無(wú)窮積分仍有可能收斂注：若，則發(fā)散注：1）若收斂,且存在, 則定有；2）若收斂,且在上為單調(diào)，則；3）若收斂，且在上一致連續(xù)，則；4）若收斂，且收斂，則證：1）設(shè)若（不妨設(shè)），則由極限保號(hào)性，當(dāng)時(shí)滿足于是有 ，于是而這與收斂相矛盾，故2）不妨在上單調(diào)增，若在上無(wú)上界，則，當(dāng)時(shí)，使類似于1）的證明，推知，矛盾所以在上單調(diào)增而有上界，于是由單調(diào)有界定理知存在依據(jù)已證得的命題1），3）由在上一致連續(xù)，則，（設(shè) 時(shí)，就有又因收斂，故對(duì)上述，當(dāng)時(shí)，有現(xiàn)對(duì)任何，取，且使此時(shí)由便得這就證得 4）因?yàn)槭諗浚瑒t存在，于是存在，由1)得證2收斂，與收斂，收斂的關(guān)系？答：1）因?yàn)榻^對(duì)收斂收斂，反之不對(duì)，

3、條件收斂的例子都是反例，則收斂 收斂2）收斂 收斂，例 條件收斂，但，發(fā)散，發(fā)散，則發(fā)散例 收斂，但發(fā)散3）收斂 收斂，例 ，對(duì)，總存在，使當(dāng)時(shí)，都有 故但對(duì)于，例 絕對(duì)收斂，即收斂，因?yàn)榻^對(duì)收斂，即收斂，而，是暇點(diǎn)，取 ，則，因?yàn)槭諗恳驗(yàn)?，收斂，是暇點(diǎn)，取 ，則，因?yàn)?，則發(fā)散例 收斂，但發(fā)散3（為瑕點(diǎn)）收斂，與收斂 ，收斂的關(guān)系？ 答：1）收斂 收斂因?yàn)榻^對(duì)收斂收斂，反之不對(duì)，條件收斂的例子都是反例 2）收斂收斂，收斂收斂反例 收斂，但發(fā)散3）若（為瑕點(diǎn)）收斂，則（為瑕點(diǎn)）收斂證 因，則由比較原則，可得收斂，從而收斂3下列說(shuō)法對(duì)嗎？1）因?yàn)樵跊](méi)有定義，則是瑕積分；2）因?yàn)樵跊](méi)有定義，則是的暇

4、點(diǎn) 答：若被積函數(shù)在點(diǎn)的近旁是無(wú)界的，這時(shí)點(diǎn)稱為的瑕點(diǎn)1）錯(cuò)誤，因?yàn)?，則在的近旁有界，因此不是瑕點(diǎn)，是定積分若在上連續(xù)，（常數(shù)），則可看成正常積分，事實(shí)上，定義知在上連續(xù)，即存在，而，由于在上連續(xù)，知變下限函數(shù)在上連續(xù)，有，即故可看成正常積分。2）錯(cuò)誤，因?yàn)?，則在近旁有界，因此不是瑕點(diǎn)注 我們經(jīng)常通過(guò)證（）來(lái)判斷為的瑕點(diǎn)例 因?yàn)?，則是的暇點(diǎn) 4定積分，無(wú)窮積分有什么區(qū)別？答 1) 在可積 在可積 在可積收斂 收斂 收斂2），但對(duì)于不一定具有這個(gè)性質(zhì)，因?yàn)榇藭r(shí)可能發(fā)散3）在可積，則在上有界，但收斂不能保證在上有界，例如，不僅不存在，而且在上無(wú)界再如條件收斂，但在上無(wú)界5定積分與瑕積分有什么區(qū)別？

5、答 收斂（為瑕點(diǎn)） 收斂（為瑕點(diǎn)） 收斂（為瑕點(diǎn)）在可積 在可積 在可積2），但對(duì)于（為瑕點(diǎn)）不一定具有這個(gè)性質(zhì)，因?yàn)榇藭r(shí)可能發(fā)散3）在可積，則在上有界，但（為瑕點(diǎn)）收斂不能保證在上有界注 反常積分與定積分不同，尤其是瑕積分，它與定積分采用同一種表達(dá)方式，但其含義卻不同，遇到有限區(qū)間上積分時(shí)，先要檢查是否有瑕點(diǎn)，不能把定積分的性質(zhì)直接平移到反常積分中5定積分哪些性質(zhì)可以平移到反常積分中？答：定積分的線性運(yùn)算，牛頓萊布尼茨公式，換元積分，分部積分，在反常積分中，仍然成立若廣義積分收斂，也有線性運(yùn)算法則，不等式性質(zhì)，也有湊微分，變量替換，分部積分公式，換句話說(shuō)可以像正常的定積分一樣運(yùn)算。例如這里由

6、在連續(xù)必有原函數(shù)，設(shè)的原函數(shù)為。于是（為瑕點(diǎn)）；（為瑕點(diǎn)）6總結(jié)對(duì)無(wú)窮積分(或瑕積分)收斂判別的一般步驟：1）首先用比較法則及其推論來(lái)判別是否絕對(duì)收斂,當(dāng)判得(或)收斂時(shí), (或)絕對(duì)收斂；2) 當(dāng)判得(或)發(fā)散時(shí)，還需依賴其它方法（如狄利克雷判別法、阿貝爾（Abel）判別法，或者直接使用收斂定義或柯西收斂準(zhǔn)則）來(lái)判別(或)是否條件收斂注意：1）看到有限區(qū)間上的積分，一定要觀察有無(wú)瑕點(diǎn)，有瑕點(diǎn)的是瑕積分，沒(méi)有暇點(diǎn)的是定積分，定積分是一個(gè)數(shù)，總認(rèn)為是收斂的2）假如一個(gè)積分中既有無(wú)窮積分又有瑕積分，首先利用，使變成兩個(gè)積分的和，使其中一個(gè)積分是無(wú)窮積分，另一個(gè)是瑕積分3）假如積分中有兩個(gè)暇點(diǎn)，利用

7、，使變成兩個(gè)積分的和，一個(gè)積分中只有1個(gè)瑕點(diǎn) 4）假如積分中既有，又有，先利用7 在確定反常積分類型時(shí)有哪些值得注意的地方？答 （1）有時(shí)，無(wú)窮積分與瑕積分存在于同一個(gè)反常積分中，例如這個(gè)形式上的無(wú)窮積分，其實(shí)還含有瑕點(diǎn)(當(dāng))這時(shí)需要先把它拆成幾個(gè)單純形式的反常積分：當(dāng)且僅當(dāng)這四個(gè)反常積分都收斂時(shí)，原來(lái)的反常積分才是收斂的顯然，其中的瑕積分都是發(fā)散的，故原來(lái)的反常積分亦為發(fā)散（2）不要把瑕積分混淆為定積分，例如其實(shí)它是一個(gè)以為瑕點(diǎn)的瑕積分，必須先化為而后討論等號(hào)右邊的兩個(gè)瑕積分，當(dāng)且僅當(dāng)它們都收斂時(shí)，等號(hào)左邊的瑕積分才是收斂的顯然，這里兩個(gè)瑕積分（等號(hào)右邊）都是發(fā)散的，故原來(lái)的瑕積分亦為發(fā)散需

8、要注意的是，不要誤將這個(gè)瑕積分當(dāng)作是定積分，并利用奇函數(shù)在-1,1上的積分值為0，輕率地得出這樣一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論8. 兩個(gè)發(fā)散的無(wú)窮積分的代數(shù)和是否必為發(fā)散？答 不一定如果，則有 發(fā)散；至于是否收斂，則無(wú)肯定結(jié)論 三 重要例題1重要結(jié)論：1）當(dāng)時(shí), 反常積分收斂；時(shí)反常積分發(fā)散 2），當(dāng)時(shí), 反常積分收斂；時(shí)反常積分發(fā)散3）與當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)條件收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散2計(jì)算下列反常積分：1）； 2）；3）（）解1）2） 3）法1：為去根號(hào)，令，則，于是 法2：為去根號(hào)，還可以令，則，于是 3判斷下列無(wú)窮積分的斂散性： 1）； 2）； 3）；1）分析 ，根據(jù)定理3，是比高階的無(wú)窮大量，即不論是何值，而根

9、據(jù)柯西判別法，只能判定收斂，因此我們?nèi)槿魏我粋€(gè)大于的數(shù)解 取為任何一個(gè)大于的數(shù)，不妨取，因?yàn)?，因此根?jù)柯西判別法知，對(duì)任何，無(wú)窮積分都收斂2）取使中分子分母最高次數(shù)相同，則取因?yàn)?，因此根?jù)柯西判別法知，是發(fā)散的3）解 ，根據(jù)定理3，是比的高階的無(wú)窮大量，當(dāng)，而根據(jù)柯西判別法，只能判定收斂，因此需要取，即當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，而根據(jù)柯西判別法，只能判定發(fā)散，因此需要取，即當(dāng)時(shí)，發(fā)散小結(jié)：的取法：取法1 若或或，則的選取方法是讓中分子分母的最高次數(shù)相同，其中 以說(shuō)明為例，由定理1、2有取，則，根據(jù)柯西判別法，若，則收斂，若，則發(fā)散取法2 若中含有或，則要借助于下面定理來(lái)取定理 對(duì)任意的正數(shù)和任意常數(shù)

10、，當(dāng)，函數(shù)是比的高階的無(wú)窮大量，函數(shù)是比高階的無(wú)窮大量4 判別下列瑕積分的收斂性：1）； 2）；3）； 4）；5）解 五個(gè)瑕積分的被積函數(shù)在各自的積分區(qū)間上分別保持同號(hào)上恒為負(fù)，在上恒為正，等所以它們的瑕積分收斂與絕對(duì)收斂是同一回事1）此瑕積分的瑕點(diǎn)為分析 ，當(dāng)時(shí)，由于，則，而極限為0只能判收斂，而要判收斂，取，因此取的一個(gè)數(shù)取時(shí)，有，所以瑕積分1）收斂2）此瑕積分的瑕點(diǎn)為分析 ，當(dāng)，分子分母為無(wú)窮小量，考慮等價(jià)無(wú)窮小替換，取，則取時(shí)，由=1，推知該瑕積分發(fā)散小結(jié)：取法：取法1：先找等價(jià)無(wú)窮小量，讓分子分母中無(wú)窮小量次數(shù)相同，即當(dāng)，讓的次數(shù)相同當(dāng)，讓的次數(shù)相同取法2：利用，而極限等于0只能判收

11、斂，取3）此瑕積分的瑕點(diǎn)為， ，當(dāng)時(shí)，由于，則，而極限為0只能判收斂，而要判收斂，取，因此取的一個(gè)數(shù)取時(shí)，有，所以瑕積分3）收斂4）此瑕積分的瑕點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，由于，則，而極限為0只能判收斂，而要判收斂，取，因此取的一個(gè)數(shù)取時(shí)，有，所以瑕積分4）收斂5）此瑕積分的瑕點(diǎn)為，對(duì)于，此瑕積分的瑕點(diǎn)為， 取時(shí)，則，瑕積分發(fā)散，因此發(fā)散 5討論下列積分的收斂性1）； 2）1）分析: 被積函數(shù)在上為非負(fù)函數(shù),為參數(shù) 時(shí),0點(diǎn)為瑕點(diǎn)； 時(shí), 1為瑕點(diǎn)； 時(shí)為正常積分解: 時(shí)原積分為正常積分； 時(shí), 瑕點(diǎn)為 此時(shí) ,故收斂； 時(shí), 瑕點(diǎn)為 當(dāng)時(shí), ,故原積分在時(shí)收斂, 在時(shí)發(fā)散綜上, 時(shí), 收斂, 時(shí)發(fā)散2)當(dāng)，是正常積分，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), , 故時(shí), 收斂, 時(shí), 發(fā)散；(由于只要,極限便為零