12-13仿射坐標系

1、§ 2仿射坐標系定義13：空間中一點?與三個不共面向量 勺龍2，纟3 一起構成空間的一個慟標架，記竹 O;勺竝呦稱O為它的原點，稱1“2，勺為它的 坐標向量對于空間任意一恵，把向量肚 對勺的分解系數構成的有威組稱為燉 關于上述仿射標架的他坐標。這樣得到的空間的點寫元有序數組的對應莠 稱為由仿射標和;勺竝心決定的空間仿射坐標爰坐標面與卦限空間仿射坐標系共有八個卦限利用坐標作向量的線性運算向量的加減法、向量與數的乘法運算的坐標表達式 力坐標為色，ay, az,方的坐標為®, by, bz, a+b=(ax+bx)i +(ay +by)j + (az + 優(yōu))斤； a-b=(ax

2、 -bx)i + (ay -by)j + (az -bz)k;Aa = (%ax)i + (MJ 了 + (Xaz )k.線段的定比分點坐標例1設人（工1，兒憶1）和3（工22憶2）為兩 旦卻點，而在AB直線上的點M分有向線段 AB為兩部分麗、MB,使它們的值的比等AM °，求分點坐浙t于某數兄(2工1),即誘二'解 設M(x.y.z)為直線上的點,AM OM-0A-x-xv y-yv zzMB = OB-OM=x2 x, y2 y, z2z由題意知：AM=AMBx x, y = Ax2 x, y2 y, z2z,X xx= A(x2 x) zz> X = "

3、1 + '“2 ,1 + 2V 幾=2(力一刃亠八屮告，1 + 2z Z =2(z2 -z) n z = Zi + 嚴2,1 + 2M為中點時，X. +x.x =2§3向量的內積3.1向量的投影I則向量9M淋為向醞=0M在侖方向上的內投影 向藥而稱為向醞=而在方向上的外投影， 分別記低淵Rz注：內投影和外投影韻纟的大小無關設諭0是兩個非零向量，誰，0為它們的 幾何夾角（其弧度檔龍之間），込二十 當a = 0時，Ca = |a|cosa，eQo,艮卩 昱冬=|a|cosa“00命題13：投影具有線性性質，即對任意兩個向量，pPe(a + fl)=Pea+Pep, Pea + P

4、)=PeaPeP(2)對任意向量淋實數L/(2a) = APea, Pe(Aa) = Pea32內積的定義實例rzzQUzzrMiSM2一物體在常力戸作用下沿直線從點M移動到點必2,頁表示位移，則力所作的功為W=IFIIflcosi9 （其中0為戸與f的夾角）啟示兩向量作這樣的運算，結果是一個數量.定義1.5 % 0兩個向量的內積是一濮數，記他0. 當 0中有零向量時，a0 = O；否則 a0： = |a|0|cosa, 0).顯然，a = 0u謹直切a = Jaq a 0 = 0 a0=a/3 a pa0a|0|y5)= arccos 7-7關于數量積的說明：(1) a證.& = (

5、)， ta-a =ddcos0 =a2 (2) db =0 al£（匝h 0，方工0）證(=>) ra b=0, I莎 1工0, I萬IhO, cos & = 0，0=-, :. al£.2(u) alJby & = ；， cos0 = 0,ab =ab lcos& = 0數量積符合下列運算規(guī)律:（1）交換律:a b =b a;（2）分配律：（莎+方）C=C + 1!(3)若2為數：(加)萬=a-(Ab) = 2(a -b),若期數:（加）（歷） = 2“（匝方）例1證明向量C與向量(ac)b-(b 1)/垂直.證(/C)方一(方-c)

6、1;-c= («- c)ft - c - (ft -c)«- c=(c -b)a C一匝C=0(a-c)b-(b c)«±c、 a = axi +ayj +azk b =bxi +byj +bk > > a-b =(axi +ayj +azk) *(bxi + byj + bzk) *. fjJlA,:i j = j=0,vl i 1=1 j 1=1 k 1= 1,、,.Fi =j)=R斤=1ab=axbx+ayby+aj)z數量積的坐標表達式設A(xnjnz1), B(x2,y2,z2) 為空間兩點.d = AB = ?dzAixyZi)B(x2,y2,z2)AB由 AB = OB-OAAB=?。ㄘ? -心尸+伉-兒y+-zj兀2,兒，® g y】，$= x2 y2 z2 空間兩點間距離公式兩向量夾角余弦的坐