14極限的運(yùn)算法則導(dǎo)學(xué)答案

1、1.4 極限的運(yùn)算法則導(dǎo)學(xué)答案一、相關(guān)問(wèn)題13和 lim n( n 4n ) ，總結(jié)用極限定義1. 能否用極限的定義求 lim1 x3x 1 1 xn求函數(shù)極限的基本步驟；解：難以用極限定義直接求出這兩個(gè)極限，直接用極限的定義只可確定少數(shù)最基本的函數(shù)極限， 用極限定義求出更多的函數(shù)極限會(huì)很困難，給定的兩個(gè)極限難以用極限定義直接求出.用極限定義求極限的基本步驟：(1) 通過(guò)計(jì)算或估計(jì)得f ( x)Ag( xx0) 是xx0的簡(jiǎn)單函數(shù)式( 有時(shí)要事先給出某個(gè)限制不等式xx0).(2)0 要使f ( x)A, 只要g( xx0),解得xx0( ),取() 或min(),1,當(dāng) 0xx0時(shí),有f (

2、x)A.(3) 得出結(jié)論 .2. 探討利用已知函數(shù)和數(shù)列的極限來(lái)計(jì)算復(fù)雜函數(shù)和數(shù)列的極限的方法.二、相關(guān)知識(shí)1. 用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則和復(fù)合運(yùn)算法則求極限的前提條件是什么？能否用極限的減法運(yùn)算法則求極限13，并說(shuō)明理由。lim1 x3x 1 1 x答 . 前提是參入極限計(jì)算的所有函數(shù)的極限都要存在，比如，不能用極限的減法運(yùn)算法則去求極限 lim13，因?yàn)闃O限 lim1與極限 lim3都不存在 .x 1 1 x 1 x3x 1 1 xx 1 1 x32. 求分段函數(shù)的分界點(diǎn)處的極限，一般可以用極限的四則運(yùn)算法則和復(fù)合運(yùn)算法則2 1cos x , x0嗎？以函數(shù) f x0, x 0為例進(jìn)行研究

3、 .x2x3 , x0答 . 分段函數(shù)的分界點(diǎn)處的極限，涉及到分界點(diǎn)左、右點(diǎn)處的函數(shù)值，因此，求分界點(diǎn)處的極限要分左、右極限來(lái)求，求左、右極限時(shí)，可以用這些法則，但得分界點(diǎn)的極限還要根據(jù)極限的定義得出，比如，lim f xlim x3x20, lim f xlim2 1 cosx0, 因此 lim f x 0x 0x 0x 0x 0x 0三、練習(xí)題1. 指出下面各題解法中的錯(cuò)誤，并寫(xiě)出正確的解法.xlim xx 3;（ 1） limlim x 3x 3 x 3x 3（ 2） lim(2 x3x1)lim 2x3lim xlim111 ;xxxx（ ）lim1222Ln2lim12lim22Ll

4、imn20 0L0 0 .3333333nnnnnnnnnn解： 錯(cuò)誤應(yīng)用極限運(yùn)算法則.（ 1） limxtx 3lim t3lim1 3;x 3 x3t0tt 0t（ 2） lim(2 x3x1)lim2 x3xlim1lim x 2x22 11;xxxx（ 3） lim1222Ln21222n2n(n1)(2n1)333lim3lim3nnnnnnn6n1 112limnn1.n632. 求下列數(shù)列或函數(shù)的極限（ 1） lim13;1 x3x1 1 x解 . lim13limx2x 13(x 1)(x 2)333lim2x1x 1 x 1x 1x 1x 1x 1 ( x 1)(xx 1)l

5、im( x 2)1;( x2x1)x 1（ 2） lim 3x34x22x7x35x233x34x223423解 . lim分子分母同時(shí)除以3x x332xlim53;x7x5x3x77xx3（ 3） lim( n1)(n2)( n 3)5n3n(n 1)(n2)(n3)111213limnnn解 .lim5n35nn111lim12lim1311 1 11limnnn5;5 nnn5（ 4） limn (n4n)n解 .limn (n4n)limn4n4limnnnnn4nnn4n4lim14 ;n141n（ 5） limx2x2xx 0解 .limxlim x2x2xlim x2x2 x2

6、 x2 x2 x (2 x)2xx 0x 0x 0lim2x22x1 lim2x2x1222 .x02 x023 已知 lim f (x)A, lim g (x)B, 證明 limf (x)g( x)AB ；證明見(jiàn)教材4. 計(jì)算 limx2.2x2x5x14解：原式 = limx2lim1lim111.( x 2)(x 7)9 3x 2x 2x 7x 2 x7四、思考題1. 在同一極限過(guò)程中，若函數(shù)f ( x) （數(shù)列xn）的極限存在，則f (x)（數(shù)列xn）和 f 2 ( x) （數(shù)列xn2）的極限是否存在？反之，若函數(shù)f (x)（數(shù)列xn）和 f2 (x) （數(shù)列 xn2）的極限存在，則函數(shù)f ( x)或數(shù)列xn的極限是否存在？解：在某一極限過(guò)程中，若函數(shù)f (x) （數(shù)列xn）的極限存在，容易用定義證明f (x)（數(shù)列xn）的極限存在；用極限運(yùn)算法則證明f2(x)（數(shù)列xn2）的極限存在。反之則不成立： 例如數(shù)列(1) n，容易驗(yàn)證xn）和xn2的