數(shù)學、課程、學生發(fā)展

1、數(shù)學·數(shù)學課程·學生發(fā)展 王尚志 （首都師范大學數(shù)學系教授） 顧沛 （南開大學數(shù)學系教授） 劉曉玫 （首都師范大學數(shù)學系教授） 在當今社會，數(shù)學扮演著特別重要的角色，它在各個領域發(fā)展當中也發(fā)揮著越來越重要的作用，鑒于此我們說在數(shù)學課程當中，我們就要更多的來關注數(shù)學課程給社會和各個領域帶來的變化，隨之我們公民應該具備什么樣的數(shù)學素養(yǎng)，數(shù)學課程應該設置什么樣的內容，制定什么樣的目標，才能夠滿足社會需求這樣一種發(fā)展的需求，是我們要探討的問題。所以今天我們這個話題就是從數(shù)學的特點以及數(shù)學課程應該如何設置來體現(xiàn)這樣一種特點，以及在學生發(fā)展當中如何來發(fā)揮它的作用。話題一 數(shù)學在社會以及

2、科學技術中的作用每一個數(shù)學老師都會把自己對于數(shù)學的理解融在自己的日常教學中，把我們所認識到的數(shù)學告訴學生，所以對數(shù)學的認識和理解，對于上好課程，對于幫助學生發(fā)展，我覺得是個挺重要的一件事情。我想說的第一件事就是數(shù)學是在不斷地發(fā)展和不斷地變化過程中，尤其是在上個世紀中期，由于計算機的發(fā)展和信息技術的發(fā)展，數(shù)學的發(fā)展速度非常的快。在上個世紀曾經(jīng)有過一個所謂悖論，就是說究竟是數(shù)學的發(fā)展促進了計算機的發(fā)展，還是計算機的發(fā)展促進了數(shù)學的發(fā)展？那么數(shù)學作為我們傳統(tǒng)的認識，它是一個科學。怎么理解數(shù)學是一個科學？數(shù)學很多人過去把它跟這個物理、化學并列叫做自然科學，區(qū)別于社會科學，但是最近不少年，已經(jīng)有一些新的

3、看法，就是數(shù)學是不同于物理、化學、生物、天文這些自然科學，什么地方不同呢？是研究對象的不同，那么不同的科學當然研究對象是不同的，但是現(xiàn)在我說的是本質的不同。所謂本質的不同，就是物理、化學、生物、天文都有具體的物質和物質運動形態(tài)作為它研究對象。拿物理來舉例吧，力學、聲學、熱學、光學、電學、原子物理學，這種都是具體的物質或者物質運作形態(tài)在作為物理的研究對象，化學也如此，生物學也如此，社會學也如此。數(shù)學，如果問你數(shù)學的研究對象是哪種物質，是哪種物質的運動形態(tài)，你怎么回答呢？很難回答。所以數(shù)學的研究對象不是某種具體的物質，和某種具體的物質形態(tài)，數(shù)學的研究對象我自己認為是人腦的產(chǎn)物，是從眾多的物質和眾多

4、的物質形態(tài)里邊抽象出來的人腦的產(chǎn)物。比如數(shù)學研究圓，客觀世界里邊它有太陽，有月亮，有車輪，但是并沒有數(shù)學的研究對象，你無論怎么畫，都畫不出數(shù)學里的圓，數(shù)學里的圓邊界是沒有寬度長。所以數(shù)學這個課程它不是一般的自然科學，現(xiàn)在很多人認為它是高于一般的自然科學，錢學森在上個世紀90年代在人民大會堂里就說過這種觀點。它是具有公共基礎的地位，它是能夠指導和這個幫助自然科學社會科學以及聯(lián)系他這種更上層科學，這是我對這個數(shù)學什么樣一個科學的一種認識。恩格斯原來說過數(shù)學是研究現(xiàn)實中的數(shù)量關系和空間形式的科學，后來到57年，前蘇聯(lián)的一批數(shù)學家，又把它修整成為數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。到美國制定的一個計劃

5、里頭對數(shù)學的看法又有了一定的改進，他們認為數(shù)學是研究秩序和模式的科學，我想所有這一切告訴我們一個很重要的事實，數(shù)學在發(fā)展，我們對數(shù)學的認識也在不斷地發(fā)展和提高。我們作為一個老師，都是把自己對于數(shù)學的認識和理解告訴學生，科學是我們認識的一個角度，另外數(shù)學是理論這也是大家比較成熟的一個看法，數(shù)學是基礎，是所有科學的基礎，包括自然科學，包括社會科學。它具有一種公共基礎的地位，眾多的自然科學，眾多的社會科學公共的基礎。另外數(shù)學是工具，這也是認識數(shù)學的一個角度，另外數(shù)學還有一個鮮明的特點，數(shù)學是語言。那么作為語言數(shù)學又有著不同于其他學科的一種特殊的語言。數(shù)學是語言，數(shù)學它是采用一些符號和一些自己給出的定

6、義，以及自己的一些規(guī)范的表述形式展開，形成自己的這樣一套語言。它不同于我們人類的自然語言。人類的自然語言，語言學家有研究，據(jù)說全世界如果連方言都在內，有四五千種，但是不同的地域、不同的民族，使用不同自然語言的人去看數(shù)學的語言，有的是共同的。比如sin2x+cos2x=1，任何一個語言為母語的人去看都看的懂，所以它還是一種人類的共同語言，還有人進一步把它說成是可以當做宇宙的共同語言，因為它具有公共基礎的地位，又因為它普遍廣泛的應用性。美國發(fā)射的一個飛船，其目的就是與星外文明取得聯(lián)系，因此這個飛船上就帶了一些地球上的信息，人類的信息，比方說地球上大海的濤聲，比方說地球上森林里邊鳥叫，還有他們很多人

7、認為古典音樂是能夠反映人類的，所以帶了一些古典的音樂，還有比方說我們各個民族的人其他的語言都很不相同，但是叫媽媽是共同的，他把不同的民族語言叫媽媽的聲音錄下來，這之外還帶去了一個黃金制作的圖形，一個直角三角形，邊長分別是3，4，5，但是3你寫出來，星外文明看不懂3的，4寫出來看不懂4，所以大把直角三角形這個地方分了三份，勾股玄，這里分了4份，這里分了5份，這三打開來呈一個九格，三的平方等于九，這邊4打開來，四四一十六，這邊五打開來，五五二十五，這樣不出現(xiàn)任何三四五的阿拉伯數(shù)字，但是星外文明如果接受到這個圖形，那他一定知道在某一個遙遠的地方，有生物出來，這種生物文明至少發(fā)展到這種程度，認識到勾股

8、定理了。這說明數(shù)學是宇宙的東西，這說明數(shù)學作為語言來講，它非常有地位的。剛才說我們數(shù)學的語言有它自身的特征，一個是我們數(shù)學的自然語言，數(shù)學自身的自然語言，就包括我們通常對于定義，對于公理，對于某些結論的表述。第二就是數(shù)學研究特殊對象形成的圖形，第三就是剛才說的，數(shù)學還有一套自成體系的符號語言。這兒有一些建議提給老師們，我覺得我們有一個重大的值得研究的問題，就是我們要去了解孩子們的數(shù)學語言，最近我聽了很多的課，我發(fā)現(xiàn)有時候我們不是特別聽的懂小孩說的意思，但是當我們跟他認真的深入交流，我發(fā)現(xiàn)他們是懂我們認為一時半時沒聽懂數(shù)學的理解。所以我覺得我們教育工作者有一個很重要的任務，我們要不斷的梳理數(shù)學本

9、身的語言和我們孩子學習中的語言，這對我們教好數(shù)學課程是挺重要的一件事情。數(shù)學是科學，數(shù)學是理論，數(shù)學是基礎，數(shù)學是工具，數(shù)學是語言。這些都是認識數(shù)學不同維度，并不是說它能代表數(shù)學的全部，但是它從某一個方面反映了數(shù)學的特征。上個世紀發(fā)展的過程中，又出現(xiàn)了對數(shù)學的一些新的認識，數(shù)學是技術，數(shù)學是文化，數(shù)學是伙伴等等。表述的意思就是隨著數(shù)學的發(fā)展，人們對數(shù)學的認識在不斷地深入，也在不斷地提升，所以作為一個老師應該了解這些變化，并把這樣的變化，融在我們日常的教學中，這樣我們就能給我們的學生一個更生動更活潑更富有活力的這么一個學科。數(shù)學是個技術，我想跟老師分享兩段在數(shù)學界很有名的話。一段就是上個世紀70

10、年代，美國這個總統(tǒng)的科學顧問的主席叫大衛(wèi)德，說過一句引起當時極大爭議的話，他是這樣說的，高科技本質上是數(shù)學技術。當時很多人對這句話很不理解，是這樣的嗎，我想經(jīng)過我們社會的發(fā)展，現(xiàn)在這樣的一段話，已經(jīng)被很多人所接受。另外一句話是我們國家著名的數(shù)學家姜波軍院士經(jīng)常說的一段話，就是數(shù)學已經(jīng)從幕后走到臺前，在很多方面直接緯社會創(chuàng)造價值。我覺得這樣的一個變化希望我們老師有點體會和感悟，這和我當初在大學學習到的數(shù)學，應該是有所變化的。所以我們前面介紹這么多，只是想告訴老師一個事實，數(shù)學是在發(fā)展，是在不斷發(fā)展和變化中的一門非常有活力的一個學科。我們老師應該用動態(tài)的去認識和理解數(shù)學的變化，并且把我們對數(shù)學的理

11、解，融在我們日常教學中。那么另一件事作為課程標準的研制者們，也在不斷的體會了解、學習，數(shù)學的變化，并且把這樣的變化通過課程的方式，體現(xiàn)出來。比如說我們增加了統(tǒng)計和概率的內容，我想就是因為社會發(fā)展的需求決定了我們這樣的一種變化。因為現(xiàn)在我們在日常生活中離不開數(shù)據(jù)，離不開從數(shù)據(jù)中找到對我們有用的信息，通過這些信息來幫助我們應對這個世界，那么這樣一種需求，就使得我們孩子應該具備這樣一種處理數(shù)據(jù)的能力，所以我們統(tǒng)計課程最本質的東西，就是學會能從數(shù)據(jù)終提煉出來，對我們有用的信息。所以我剛才講到的這些，就是希望我們的老師能夠了解數(shù)學是在發(fā)展，是在變化的，我們應該去了解這些東西，并且把它融在我們的教學中，幫

12、助我們的學生形成一個好的正確的比較科學的數(shù)學觀，這對他們的發(fā)展是非常有好處的，會使得我們的學生如虎添翼。剛才談到數(shù)學在當今社會和科學技術的發(fā)展當中扮演的角色，也舉了很多例子，其實現(xiàn)在還有一點就是數(shù)學它還是一種文化，在人類的這個文明發(fā)展過程當中，它也起了重要的作用，而且在當今社會我覺得它對人類的這個思想的影響也還是很重要的。數(shù)學文化這個詞，應該說出現(xiàn)的時間并不是很長，從西方來講，他們就是在寫書里邊西方數(shù)學中的文化，應該有20多年，不到30年。中國最早應該是1990年前后。北京大學的鄧東皋，孫小禮他們寫了一本叫數(shù)學與文化，緊跟著齊民友教授，原來武漢大學的校長，他也寫了一個叫一本數(shù)學與文化，現(xiàn)在就很

13、多了，應該說有二三百本，跟數(shù)學文化相關的一些書籍。三年以前丘成桐、楊樂、季理真，他們主編一個叢書，書名就取為數(shù)學與人文，去年劉建亞和湯濤，他們二位主編一本雜志，在香港注冊，這個雜志的名稱就取為數(shù)學文化，所以數(shù)學是文化，不僅剛才說數(shù)學是科學數(shù)學是理論，數(shù)學是工具，同時數(shù)學也是文化。這個已經(jīng)被更多的人所接受，更多的人愿意從文化這個角度來看數(shù)學。這個說起來可以有狹義和廣義兩種解釋，一種狹義的解釋主要是說文化知識數(shù)學的思想精髓，語言啊，它的方法以及它的產(chǎn)生和發(fā)展，更廣義的解釋除了這個以外還包括數(shù)學家，數(shù)學史，數(shù)學美，數(shù)學教育，數(shù)學其他文化這些關系等等。剛才說到兩句引言，一句外國人說的，一句中國人說的，

14、我也想從數(shù)學文化的角度補充類似的，或者叫名言或者叫警句吧，當然這個出處有的是不明的。一句話是一個人不識字尚可以生活，但是若不識數(shù)就難以生活了，這話說的很通俗，但是很深刻。他不識數(shù)的話確實難以生活了，第二句話是因為這個學科的成熟是數(shù)學進入了這門學科意味著這門學科的成熟。它從定性的科學發(fā)展到定量的科學，這才是真正的科學。第三句話是一個國家科學的進步，可以用它消耗的數(shù)學來度量。像這些都看到數(shù)學的重要性，作為一個數(shù)學教師自身能夠理解數(shù)學的重要性，在教學過程里邊，又能讓學生理解數(shù)學的重要性，這對于數(shù)學課程是非常重要，非常關鍵的一件事情。剛才我們上面從幾個不同的方面，從作為一門科學，作為一個理論，作為它的

15、基礎性、工具性，包括語言，包括文化，從諸多個方面我們談了數(shù)學的內涵，它的作用和地位。像剛才所說，作為一個數(shù)學教師，我們自身不能對數(shù)學有一個更充分的認識，有一個更上位的認識，這可能要想讓我們在數(shù)學課堂當中，在數(shù)學課程實施當中，能夠怎么樣去引導學生正確的理解數(shù)學，認識數(shù)學，把握數(shù)學，就顯得很困難了，因為我們可能僅僅把數(shù)學看成是解題，數(shù)學僅僅是一些公式，一些定理的堆砌，我想這樣對數(shù)學的理解就顯得太初等，或者說太狹義了，太低級了，所以應該說從數(shù)學老師來講，首先對數(shù)學能夠有一個更上位的認識，這樣才能夠做一名好的數(shù)學教師。話題二 從數(shù)學學科的特點，來認識數(shù)學課程中的過程也是目標經(jīng)過十年的課程改革的實驗，其

16、實過程是目標我想已經(jīng)被很多老師所熟悉這種說法，當然在課程的實施過程當中，老師們也在盡力的在去做，但是對于過程是目標更深刻的理解，我們還有必要進一步和老師們做一個交流。過去教師主要把課程目標就說成是知識、技能，這樣一些結果的目標?，F(xiàn)在我們新的課標，在知識與技能里邊，也不但有結果目標的表述，同時也有經(jīng)歷什么這樣的過程目標的表述。真正提出來過程也是目標，這是在1999年基礎教育課程改革綱要里邊提到的所謂現(xiàn)在我們叫三維目標，就是知識與技能，過程與方法，情感態(tài)度與價值觀。實際上經(jīng)過這么多年了，還有許多的教師仍然不太理解過程也是目標。所以今天這個討論也是挺重要的一個話題。我們的應試教育讓教師和學生都把主要

17、精力，放在學會解題上，因為考試是考題，你學會了解題就能得高分，但是其實這是有負面效應的，或者說是有它不當?shù)牡胤?。溫總理這幾年多次談到教育，說他一直信奉這樣一句話：“教是為了不教?！蹦敲锤@個句式相同的呢，還有一句話：“學是為了會學?！敝话呀Y果當目標，這樣的老師或者這樣的學生更多的會說：“學是為了學會。”這就是學會解題，再推更廣一點，學會數(shù)學的定義，學會數(shù)學的定理，學會數(shù)學的公式，最后還是為了考試得分。但是現(xiàn)在我們講“學是為了會學”，“學會”跟“會學”，這兩個字顛倒了一下，意思完全不一樣。學會僅僅關注結果，會學不但關注結果，學到的這些知識技能，同時還關注學習的過程，這就是我們今天說的過程也是目標

18、。咱們中國最好的數(shù)學家之一，華羅庚先生，經(jīng)常提到的兩句話，一句叫做“會把書讀厚”，一個是“能把書讀薄”。我覺得這些都是“會學”的具體體現(xiàn)，也是過程的體現(xiàn)?！白x厚”就是把你學的每一個知識和以前的和其他學科的建立起聯(lián)系，這是一個過程，“讀薄”是要從你學到的東西，把本質的東西抓出來。學會和會學，就體現(xiàn)了兩種不同的對于過程的認識。即使我們現(xiàn)在一些老師在關注結果，也就是關注知識與技能，其實這個強調知識與技能的教學是應該知識技能是為載體去講它的背景，讓學生理解其中蘊含的數(shù)學思想。如果僅僅的是重過程，重結果輕過程，專門去說我就講定義，就講這個定理，就講解題方法，就讓學生記住這些解題方法，照貓畫虎的去學會解題

19、，這不是真正的雙基教學，即使從關注結果來講，關注雙基來講，這個也不是真正的，得到了數(shù)學教學，是把數(shù)學知識，數(shù)學方法，數(shù)學思想，數(shù)學思維都融為一體的這種教學，學生掌握這個雙基的同時也提高數(shù)學素養(yǎng)。我們現(xiàn)在課標從雙基發(fā)展到四基，為什么又增加兩條，其中有一個理由，就是雙基只涉及到剛才我說三維目標第一維目標，沒有涉及到過程與方法情感態(tài)度與價值觀。而現(xiàn)在新增加這兩基，就是基本的數(shù)學思想，基本的數(shù)學活動經(jīng)驗，就涉及到三維目標后邊這兩位，過程與方法，情感態(tài)度與價值觀?；蛘呖梢哉f成是落實三維目標的一個，反映數(shù)學特點的一個。這是一個進步，在某種意義上是一次比較大的變化。數(shù)學學科的特點，它就決定數(shù)學教學的特點，而

20、這些特點都導致特別需要重視過程。比方說數(shù)學有抽象的過程，那我們在教學里面就要注意怎么樣讓學生體會抽象是數(shù)學的武器，抽象是數(shù)學的特點，學生愿意去學會抽象，不論哪個概念，它是怎么樣從具體到一般的，怎么樣抽象出來的。再比如這個數(shù)學里邊，學生活動有分析的過程，無論小組討論也好，探求新教學也好，都有分析的過程，那么有的是這樣分析的路徑，有的這樣分析路徑，就有不同，是不是抓住事物的本質了也有不同，是不是全面了也有不同，那么像這些過程里邊，我們在教學里邊對學生就是一種素質教育，這也是體現(xiàn)過程就是目標。另外數(shù)學還有一個重要的特點，就是邏輯推理的重要性，你任何一個結論，都要用邏輯推理去證明，或者證出，那邏輯推理

21、我覺得最重要的就是八個字叫做“步驟完整，理由充足”。這些數(shù)學的特點，都是我們數(shù)學課程教學里邊應該關注過程，過程也是目標。剛才舉的這兩個例子，一個是抽象，一個是邏輯推理。實際上這些恰恰是數(shù)學學科特點，那么在數(shù)學學科這樣特點它的背后，如果我們不經(jīng)歷過程，這些特點其實是顯現(xiàn)不出來的，也就是說你抽象能力的獲得，推理能力的獲得都要經(jīng)歷過程才能夠實現(xiàn)。重要數(shù)學概念的產(chǎn)生，甚至經(jīng)歷了漫長的過程，比如說函數(shù)，在小學階段，速度一定，時間的變化引起路程的變化，價格一定，數(shù)量的變化引起總價的變化，一次重要的抽象，正比例關系，再做抽象函數(shù)的概念和正比例函數(shù)，這樣一個過程，一直到我們高中會出現(xiàn)抽象的函數(shù)，是一個很漫長的

22、逐步在不同層面上認識的一個過程，所以剛才強調的在數(shù)學概念的學習，數(shù)學證明的學習，是怎么出來的，它也是一個過程產(chǎn)生出來的。如果我們只關注最后的結果，怎么證表述清楚我覺得還是不夠的，證明是按照某種思想激勵逐漸的產(chǎn)生一個證明，所以我覺得強調過程，在數(shù)學的學習中和教學中是非常重要的一件事情。我們強調過程也是目標，但是我們在強調這個的同時，要避免一個誤區(qū)。以為像數(shù)學思考、問題解決，情感態(tài)度，這些目標是過程目標很重要，都可以單獨的傳授單獨的實現(xiàn)，這個是一個誤區(qū)，因為這些是不能空洞的傳授，我們講到四個具體目標的時候，這后邊三個過程目標，它都是要以知識、技能為載體和基礎來傳授的，不能空洞的去傳授。比如說我們常

23、常愿意說數(shù)形結合，你離開了函數(shù)，你離開了我們一些具體的數(shù)學內容，比如說數(shù)軸，比如說我們通常所說的方格紙，直角坐標系，你就不容易真正的把數(shù)形結合放在學生的腦子里，所以我想這些都是融在一起的東西，我覺得這一點可能是非常重要的。這些過程目標，我們剛才數(shù)學思考、問題解決，情感態(tài)度，他們的得當?shù)膶崿F(xiàn)，一定會有利于知識技能這個目標更好的實現(xiàn)，但是不要以為這些僅僅是為了知識技能目標的更好實現(xiàn)，這個是兩個方面，這些結果也是目標，這些過程本身也是目標，他們一定要在知識與技能這個載體和基礎上去實現(xiàn)，但是他們不是僅僅為知識技能這個載體服務的，結果也是目標，教師在背課的時候，不僅要背那些知識點，不僅要背那些技能，同時

24、也要背課，我們在這里邊怎么樣能夠經(jīng)歷過程，來使學生數(shù)學思考問題解決，情感態(tài)度上有得到發(fā)展。不要以為過程是為結果服務的，經(jīng)歷過程本身就是我們在整個課堂實施當中一個非常重要的目標。它不僅僅是在知識和載體這個基礎上實現(xiàn)，不僅是為這個講好知識性，他自己也是目標。這次我們課標的修訂與過去不同的是就在課標關于具體目標的第一個及其目標，知識與機能表述里邊，出現(xiàn)了大量關于經(jīng)歷過程的描述，劉老師對這個比較熟悉，你給大家介紹一下。大家知道我們這個課程目標在表述的時候從四個方面進行了具體的闡述，一個是知識技能，一個是數(shù)學思考，一個是問題解決，一個是情感態(tài)度，剛才我們一直談到的知識技能和過程之間的關系，知識技能的學習

25、也不僅僅是要關注結果，同時還要經(jīng)歷過程，這個從課程標準具體的表述上就能看到，知識技能之下幾條表述里邊有這樣一種語言：第一，經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)抽象運算與建模的過程，還有就是經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質討論，運動，位置確定等過程，在幾何當中，圖形幾何當中一些具體的內容和要求，經(jīng)歷在實際問題中，收集和處理數(shù)據(jù)，利用數(shù)據(jù)分析問題獲取信息的過程，大家能聽出來這三句話實際上分別對應了三個不同的領域，在闡述知識技能的時候，都特別強調前面要經(jīng)歷過程，因此就把我們的結果性目標和過程性目標，我覺得進行了有機的結合。有兩類詞匯用來體現(xiàn)目標，一類是了解、理解，掌握靈活運用，另一類就是經(jīng)歷、體驗，探索，這樣的一些過程性的用語，

26、反映了在這一次課程改革中，包括這次課程標準修改過程中的一個最基本的指導思想。在內容標準的表述當中，經(jīng)歷，這種描述過程性目標的動詞，也頻頻出現(xiàn)，這也是這次課程改革能夠把過程性目標落實的一個很重要的體現(xiàn)，如果僅僅在目標上有這樣的表述，而在內容的要求上卻沒有了，那就是一個空洞的要求，但是現(xiàn)在不是這樣，就是把后邊具體要求和前面的目標緊密的聯(lián)系起來。下面還可以舉例來說明，我在有的學校聽課的時候，有一堂這個課給我印象挺深刻，就是在講坐標系，第一學段，位置的確定，實際上是滲透坐標系的概念，那么教師是以這樣一個情景，就是讓學生來描述某某某坐在第幾排的第幾個座位來入手把這個坐標系的概念教給學生。但是這個幾個學生

27、有的學生按照第幾排，第幾個座把位置找對了，也有了學生就沒有找對，或者是在這里有點偏差，或者在那個地方有點偏差，反正就兩個方向嘛，第一學段并沒有說的這么細，可是下課以后我跟學生接觸發(fā)現(xiàn)在整個這個教學結束以后，這個學生是理解了這種找位置的橫的豎的，然后分別第幾個，第幾排，第幾座這種思想，也就是說即使他在探究的過程里邊，結果是錯誤的，從這個過程里邊他同樣能夠吸取營養(yǎng)，這就體現(xiàn)出來過程也是目標。如果今天這節(jié)課我們不是讓學生親自的去自己去說，那我們前面的規(guī)則來說你在哪排哪列，而是老師上課講，說那我們指著一個圖，說這小孩是不是就在第幾列，第幾行，那小孩怎么樣，就完全老師在講，和剛才說讓學生經(jīng)歷可能結果就是

28、很不一樣。而且他可以到這個位置上去等等，有這個過程，他走動這個過程，和沒有這個走動過程，只靠這個語言，這個效果是很不一樣的，我剛才說的即使這個知識的結果可能是錯誤的，但是經(jīng)歷這個過程他的數(shù)學素養(yǎng)也得到了提高。還有包括學生的質疑，學生對另外一個學生表述的觀點的質疑，可能是對的，可能是錯的，但是經(jīng)歷這種質疑的過程，他在數(shù)學思考上有提高，這就看出來過程也是目標，不在于非得說都把這個知識探究整個的十全十美，最后完全是正確的才體現(xiàn)出過程也是目標，人類在吸取知識和經(jīng)驗的時候，都是正反兩個方面，正面的過程和反面的過程，正確的過程和錯誤的過程，都會體現(xiàn)過程也是目標。另外一個例子是課程標準修訂稿里邊的第77個例

29、子，叫看圖說故事，那么它是要求你設計兩個不同的情景，使情景中出現(xiàn)的一對變量滿足一個圖式的函數(shù)關系。題目里給了這個圖式，要求你設計這種情景，符合圖式里的函數(shù)關系，然后結合這個圖象講出這一對變量的變化過程的實際意義，這個案例我覺得是一方面教給了學生函數(shù)關系，以及數(shù)形結合等等這樣一些數(shù)學知識數(shù)學思想，另外一方面也體現(xiàn)了過程也是目標，有一個同學可能會說這樣一個情景，另外一個同學可能會說另外一個情景，但是只要他們所說的這個情景都符合圖式的函數(shù)關系，那么就都是正確的，即使他說的不符合這個圖式的函數(shù)關系，經(jīng)過同學的討論糾正，或者教師的糾正，使得他符合了這樣的函數(shù)關系，那么他通過這個過程也理解了圖象上表示的這

30、種函數(shù)關系，也理解了數(shù)形結合這樣一種數(shù)學思想。聽課實踐當中發(fā)現(xiàn)，對于這個圖形，有的人看成是跑步，跑了多長，然后休息了一會而，然后再有什么速度，再跑下去，也有的人說灌水，往里先灌了水，灌了以后停了一會兒，或者是這個水龍頭擰住了等一會兒再往瓶里灌水這些都行，教師可以鼓勵學生創(chuàng)設不同的情景，只要符合函數(shù)關系，符合實際情況這種情景那么都是很好的過程，通過這些過程對學生進行教學，我覺得是有益的。剛才這些例子給我們詮釋了過程目標怎么在教學中實施。經(jīng)過最近幾年新課程的推進，出現(xiàn)了大量的例子，我們也期待，也希望我們的老師能把這些例子梳理整理放在網(wǎng)上，大家一起來分享，豐富我們教育教學的資源。剛才我們從數(shù)學學科的

31、特點討論，設定了相應的課程目標，數(shù)學思考、問題解決，我想這些都是依據(jù)學科特點，我們在考慮目標的時候做了這樣一個維度的劃分，而在這樣的維度之下我們就發(fā)現(xiàn)，其實過程性這樣一個目標，無論是在數(shù)學的科學發(fā)展過程當中，還是在我們數(shù)學學習當中都是非常重要的，對學生未來的發(fā)展，數(shù)學素養(yǎng)的形成也都是至關重要的，所以我想有兩點，第一首先老師們能接受數(shù)學是目標這樣一個理念，其次我們去踐行，在我們教學當中怎么樣去實現(xiàn)過程性目標，可能老師們在教學當中還要去多思考，在設計當中如何能夠體現(xiàn)這樣一個目標。話題三 情感態(tài)度 情感態(tài)度價值觀作為我們這次課程改革三個緯度目標當中的一個緯度，實際上在我們這次課程改革當中，是體現(xiàn)這個

32、促進學生全面發(fā)展的這樣一個很重要的一個緯度，那么如何結合數(shù)學學科的特點在數(shù)學課程當中，促進學生情感態(tài)度價值觀這個緯度的目標實現(xiàn)，我想可能老師們在我們教學當中，也做了很多有意義的嘗試。因為它很重要，所以我們今天還是要用這樣一個話題來談一談，怎么樣結合數(shù)學學科的特點，來促進學生，情感態(tài)度價值觀這個目標的實現(xiàn)。首先情感態(tài)度的發(fā)展對于學生來講是會終身受益的，我們這個課標具體目標包含知識、技能數(shù)學思考，問題解決情感態(tài)度，四個方面，但情感態(tài)度這個方面的課程目標，其實是最近這些年才提出來，最早是在1999年，基礎教育課程改革方案才提出來。大家雖然已經(jīng)認識到這個目標的重要性，可是這個目標它是有相對隱性的性質，

33、它不像知識技能，具體的是哪個知識，哪個技能，從中顯性，它是相對隱性的性質，那么用于時間不是太長，那么十多年的時間，所以這個課程目標，和其他課程目標相比，往往不是大家更熟悉，同時也不被所有的教師重視，所以更有必要來強調。課程改革的一個重大的進步就是提出情感態(tài)度的目標，因為教育無論是出發(fā)點也好，是落腳點也好，應該都在育人上。對于育人的認識和激發(fā)，我們中央有很多文件說到，包括全面育人，德育文獻，包括素質教育，包括重視人的可持續(xù)發(fā)展，等等多個方面，而情感態(tài)度這個課程目標，就與這些方面是密切相關的。按照課標里的描述，我現(xiàn)在把它分成這樣四個方面，一個叫引起好奇心，和求知欲，一個叫鍛煉克服困難的意志，建立自

34、信心，一個叫了解數(shù)學的價值，一個叫養(yǎng)成良好的習慣，和科學態(tài)度，這樣四個方面，對于學生而言，并不僅僅有益于學生學習某一個具體的數(shù)學知識，也不僅僅服務于這個義務教育這個階段，而是全面起作用的一個因素，是長期起作用的因素，是他們終身學習的基礎，所以對學生來講會終身受益，不管他將來從事什么工作，跟數(shù)學有關也好，無關也好，我們在數(shù)學課程教學當中，這個情感態(tài)度目標的達成，對他終身都會受益。舉例說，這個學生在教學活動當中，有合作交流，這種合作交流不但在認知方面會有收獲，在非認知方面也會有收獲，所以在非認知方面的收獲，就包括對個人和集體關系的正確認識，因為交流涉及到個人集體，尊重別人，愿意交流，尊重別人是一種

35、品行，愿意交流是一種習慣，還有就是實事求是的科學態(tài)度，善于合作的這種技能，如果僅僅就善于合作的技能而言，還包括像怎么樣清晰簡潔的表達，自己的思考，合理的堅持與放棄對某一個問題的看法，能夠認真的聽懂別人的發(fā)言，能夠圍繞問題積極的有依據(jù)的去思考，又能夠對別人置疑，在發(fā)現(xiàn)自己有錯誤，又能對自己的錯誤修整，自我批評，對別人能夠有分寸的得當?shù)馁潛P有時候，有得當?shù)闹赋鲥e誤，以及在討論時候能夠采集眾人的長處取長補短，這些都是綜合素質，我覺得它是人的這個態(tài)度情感的方面的綜合素養(yǎng)?，F(xiàn)在數(shù)學研究有這樣的變化：在我們小的時候，常常有這樣的說法，一支筆一張紙，就是數(shù)學家的特點。但是經(jīng)過我們這么多年的變化，現(xiàn)在數(shù)學家的

36、一個基本的工作狀態(tài)，很多的要采用作為討論班式，所以幾乎現(xiàn)在我們所接觸到的很多研究數(shù)學的人，每個星期都要參加，不同的形式的討論班，要會和別人交流。數(shù)學這樣比較抽象的學科，在治學方式上也發(fā)生了變化，就是討論聽取別人好的想法，對于整個學科的發(fā)展、對于我們的學習也是非常重要。作為一個人，他應該具備一些品質，他的作用就更大了，是不是善于和別人進行交流。此外，對于數(shù)學抽象的態(tài)度是如何的呢？數(shù)學的抽象是從具體到一般，而這樣一種從具體到一般的抽象呢，是數(shù)學的一個優(yōu)勢，一個特點，一個武器，我們數(shù)學之所以能夠成為一個學科，首先就在于能夠從大多數(shù)的一般的這個物質和物質形態(tài)當中，抽象出來。但是現(xiàn)在我們抽象這兩個字，往

37、往成為貶義詞，我覺得這對于學生的這個情感態(tài)度是有負面影響的，一說什么東西難了，就說它抽象了，其實應該讓學生感到抽象是好的，是數(shù)學的優(yōu)勢武器。在學生或跟我們的這個教師座談的時候，我們會舉解決哥尼斯堡七橋問題的例子，歐拉拿到這樣一個哥尼斯堡七橋問題，就是不重復的走遍七座橋，怎么樣來解決時候，首先看到他，是過去的數(shù)學知識所不能解決的一個全新的問題。解決這樣全新的問題，歐拉就是靠著這個抽象的武器來做，把這個岸抽象成點，把島抽象成點，把橋抽象成線，然后他們之間的位置關系是重要的，然后把這種點分成兩類，偶節(jié)點，基節(jié)點，然后再考慮要能夠不重復走遍七座橋，轉化成抽象成一種數(shù)學問題，一筆畫問題，然后再解決一個點

38、線圖，能夠一筆畫的充分必要條件，這樣一個過程，解決了這個問題以后，拿了這樣的問題反過來這個七橋問題，是因為它是不滿足這個充分必要條件，所以它不可能夠不重復走遍七座橋。然后歐拉寫出文章后，在彼得堡科學院上發(fā)表，引起轟動的開創(chuàng)了圖論的先河，開創(chuàng)了拓撲學的先河。由此看到在解決這種重大的問題時候，從具體的問題出發(fā)，把它抽象成數(shù)學概念，是武器，是數(shù)學的優(yōu)勢，讓學生喜歡抽象。那對于我們義務教育階段來講也是如此，只不過我們義務教育階段，教師應該能夠把握住，在什么樣的知識點上。在什么樣的程度上，去灌輸這種概念，讓學生體會到抽象的好處。那就是說老師能夠首先認識到抽象是學生的一個特征之一，學生這個抽象的這種思維能

39、力的培養(yǎng)也是很重要，只是我們在教學當中，怎么樣把握好具體與抽象之間的這樣一種關系。在義務教育階段，這件事情是我們需要培養(yǎng)學生非常重要的一個點，就是我們要經(jīng)歷一個從算術向代數(shù)過度的一個過程，算術在某種意義上，它是一個個解決具體的問題，但是到了代數(shù)發(fā)生的一個很重大的變化，就是他從解決一個一個具體的問題，發(fā)展到要一類一類的描述問題，一類一類的解決問題。就是我們通常所說的雞兔同籠，我們說兔子的個數(shù)加雞的個數(shù)，等于一個數(shù)，兔子個數(shù)的四倍，加上基的個數(shù)的四倍，等于他們的腿的數(shù)，如果用符號語言表達，x+y=n，2x+4y=m 我說的最后這樣一個式子也好，和我用語言表達這么也好，就把所有的基兔從容這一類問題表

40、達清楚。在從個別的問題到一般的問題，這就是一個抽象的過程。這就是一個抽象的過程，它給我們帶來的好處，就是我們可以把這一類問題，統(tǒng)一的來思考，那么緊接著我們還會要再做抽象，對不對，就得到我們大家非常熟悉的二元一次方程組。數(shù)學就是這樣一步一步的發(fā)展的，所以我覺得作為老師來說，應該在這個過程中，培養(yǎng)學生的這樣一種品質，這樣的一種思維的品質，這種思維品質，對他將來進入社會，是非常重要也有意義的，抽象在一個過程中，實現(xiàn)了這么一個不斷的進步，不斷的體會感悟，我們數(shù)學的思維，我想就應該是科學態(tài)度的一個組成部分。下面還想進一步說到的就是我們，在實現(xiàn)情感態(tài)度這個課程目標的時候，我們實際上是以這些知識為載體，雞兔

41、同籠上升到二元一次方程組等等，這些過程里邊去實現(xiàn)對學生情感態(tài)度發(fā)展的課程目標，情感態(tài)度發(fā)展課程目標是很重要，但是它不是空洞的闡述，不是單獨的去闡述，所以這就我們需要教師的教學藝術。在講這些知識的過程里邊，讓學生在情感態(tài)度這四個方面，能夠有所發(fā)展。那么其中一個最基本的就是：好奇心。學生他從小時候起，原本就對世界的濃厚的好奇，那我這數(shù)學教學，應該把學生的這種好奇心，轉化成對數(shù)學的興趣，轉化成對這個數(shù)學知識，數(shù)學思想的這種探索的興趣，所以除了讓學生了解，數(shù)學的價值以外，還要學生知道這種興趣怎么樣去轉化成，對數(shù)學知識和思想的探索興趣。這對教師應該說是較高的要求，通過啟發(fā)式教學、恰當?shù)囊}，讓學生看到數(shù)

42、學內在的本質，數(shù)學自身的魅力，這個能夠激發(fā)學生的對學習數(shù)學興趣的好奇心，特別要用數(shù)學內在的這種的本質，如簡潔、明確、強烈的規(guī)律性，如說對客觀事物準確的刻畫，去引發(fā)學生興趣。而不是僅僅依靠學生在生活當中，簡單的數(shù)學應用來引起興趣。生活中的一些東西，到數(shù)學教學中來，作為引題是重要的，但不能僅僅用學生所熟悉的這種生活興趣來引起興趣，特別是要注意的用數(shù)學內在的本質，去引起學生的興趣。例如大足石刻千手觀音的一個例子，千手觀音手很亂很多，都說是千手觀音，但是到底有多少只手第一個人去數(shù)，和第二個人去數(shù)不一樣，同一個人去數(shù)，第一遍跟第二遍也不一樣，因為他可能重復數(shù)了一組手，也可能露掉一組手，后來明朝的時候有一

43、位比較聰明的工匠，就想了一個辦法，想一個什么辦法，他拿了一大子金箔，之所以用金箔是因為對觀音的尊重，然后用金箔往這個觀音的手上去貼，這樣一只手貼一只金箔，既不會露掉一只手，也不會重復一只手，最后就數(shù)這個金箔，貼上的數(shù)目，來知道這觀音到底多少只手，最后他得到的數(shù)字是一千零七只手。那么這個實際上反應了數(shù)學一個什么本質，就是一一對應的思想。是用金箔去對應觀音的手，多少張金箔這邊對應著多少只手，像這樣的一些一方面引起學生的興趣，好奇心，看到數(shù)學的價值，另一方面它是用數(shù)學的本質，是用數(shù)學的對客觀事物的最精確最本質的描述，來引起學生興趣，我覺得這個就更加重要。在小學自然數(shù)的加減乘除中最核心的一個思想就是一

44、一對應，實際上我們在不斷的用各種不同的方式去詮釋這個一一對應，希望老師在具體的教學中，去體現(xiàn)，我們不僅僅是要教他的知識技能，我們要教學會他一種認識客觀世界的一種辦法，是在我們教學中應該關注的一些事情。此外讓學生在主動的學生中，去體會很多東西，現(xiàn)在老師常常用題型教學法，老師常常把我們的數(shù)學分成各種各樣的題型，然后把這些結果，一股腦的塞給學生，我們說是這是考試的需要。即或是這樣，也建議老師換一種辦法，當你把學生做過的各種問題，放這讓學生自己去分分類，提出一些分類的原則，這樣的學習和你把東西分好強迫學生接受是不一樣的，學生的感受也不一樣。剛才的千手觀音的例子和怎么樣能夠展開多樣的學習方式，教學方式引

45、導學生，其核心其實都從一個側面激發(fā)學生的學習興趣，這樣我們也就實現(xiàn)我們怎么樣能夠在學生有興趣的基礎上，更好的更樂于的來學習，這樣也提高我們的數(shù)學學習的效果，這樣我們情感態(tài)度價值觀也得以實現(xiàn)。在教學當中，怎么樣去實現(xiàn)這個目標，我們課程標準里邊有九個“如何”，大家也可以看看那九個“如何”。它是配合我們剛才講了這個情感態(tài)度目標的四個方面，但是在教學當中，教師要以自身的表率作用，去感染和影響學生，教師他自己對數(shù)學有興趣，才能感染到學生對數(shù)學有興趣，教師對問題有鍥而不舍的探索精神，他才能感染到學生也有鍥而不舍的探索精神，教師去鼓勵獨立思考，反思質疑，也會感染到學生養(yǎng)成獨立思考反思質疑的習慣，教師尊重學生

46、，也能感染到學生尊重他人，教師有強烈的責任心，也會感染到學生有強烈的責任心，這些都是教師以身作則。話題四 從雙基到四基的變化我們已經(jīng)進行了總體目標的分析，在總體分析的時候，我們已經(jīng)提到，這次課程改革的修訂稿，我們說有一個目標里邊最大的變化，就是從雙基到四基的一個變化。從原來的基礎知識、基本技能，變化到現(xiàn)在的基礎知識、基本技能，基本思想和基本活動經(jīng)驗。這樣的一個變化，意義還是深刻的，很深遠，關于這個為什么要添加后面的兩基，以及添加這兩基對我們教學上有那些要求，這個問題還特別重要。雙基發(fā)展到四基我自己覺得，可能有三個理由。第一個是雙基僅僅涉及到我們講這個三維目標的第一維目標，另外兩維目標都沒有涉及

47、到。第二個理由是因為我們的教師片面的理解雙基，就往往有那種實施當中以本為本，見物不見人，而教學當中，必須是以人為本，人的一個意義，所以新增加這個教學思想和活動經(jīng)驗，就直接與人相關，最后也符合這個素質教育。第三個原因，是因為僅僅有還難以培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，我們現(xiàn)在總想培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，這個雙基是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的一個基礎，但是創(chuàng)新型人才它不能僅僅靠熟練掌握已有的知識和技能來培養(yǎng)。解決老師提出的問題，解決書本上提出的問題，解決考試里提出的問題是重要的，但是更重要是能夠自己有獨立思考，自己能夠發(fā)現(xiàn)問題，提出問題和解決問題。所以創(chuàng)新思維，這個經(jīng)驗的積累，都是十分重要，所以課標從雙基發(fā)展到四基，是非常之重要，也

48、是修訂中一個標志性的變化。數(shù)學的基本思想，數(shù)學課程固然教會學生需要的數(shù)學知識，但是絕不僅僅以教會這些數(shù)學知識為目標，更重要的是讓學生在學習這些結論的過程里邊，去學習數(shù)學思想。數(shù)學思想是數(shù)學科學發(fā)生發(fā)展的根本，是探索和研究數(shù)學所以來的基礎，也是數(shù)學課程教學的精髓。數(shù)學思想的內涵是十分豐富的，也有的學者通俗把數(shù)學思想說成是將具體的數(shù)學知識，數(shù)學定理，數(shù)學公式，數(shù)學的定義和解題方法統(tǒng)統(tǒng)都忘記、都排除以后，剩下的東西就是數(shù)學思想。課標在這里措詞是數(shù)學的基本思想，而不是數(shù)學的基本思想方法，這一點如何解釋呢？在課標修訂過程里，也曾經(jīng)考慮過用“數(shù)學的基本思想方法”，但是后來覺得基本思想方法可能會使人更多的聯(lián)

49、想到方法，想換元法，代入法，配方法，層次就降低了，而且沖淡了思想。所以最后用的是數(shù)學的基本思想。到底數(shù)學的基本思想有哪些呢？主要有下面的三個：一個是數(shù)學抽象的思想，一個是數(shù)學推理的思想，一個是數(shù)學建模的思想。人類通過數(shù)學抽象從客觀世界當中，得到數(shù)學的概念和法則建立了數(shù)學學科，通過數(shù)學推理，進一步得到大量的結論，數(shù)學科學就得以發(fā)展，在通過數(shù)學模型把數(shù)學應用到客觀世界當中去，就產(chǎn)生了巨大的效益，反過來又促進了數(shù)學科學的發(fā)展。這個三點簡單說就是抽象，推理、建模。這是數(shù)學的基本思想，那么數(shù)學思想很多，在基本思想下一層還有很多數(shù)學思想。例如像數(shù)學抽象的思想，才能產(chǎn)生出來，分類的思想，集合的思想，數(shù)形結合

50、的思想，符號表示的思想，對稱的思想，對應的自然，有限與無限的思想，等等。在基本思想下面會派生出來，很多的思想。例如數(shù)學推理的思想，還能派生像歸納的思想，演繹的思想，公理化的思想，轉化劃規(guī)的思想，理想類比的思想，逐步逼近的思想，代換的思想，特殊一般的思想，等等。例如像數(shù)學建模的思想，還能進一步派生出來，像簡化的思想，量化的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，優(yōu)化的思想，隨機的思想，抽樣統(tǒng)計的思想等等。舉例來說，像分類的思想和幾何的思想，可以這么樣的用數(shù)學抽象思想來派生出來。人們對客觀世界進行觀察的時候，從研究的需要，從某個角度去分析聯(lián)想，派生出這些次要的非本質的因素，保留這些主要的本質的因素，用有效的

51、做法就對事物按照某種本質去進行分類，那分類的結果就產(chǎn)生了集合。怎么樣去區(qū)分，基本的數(shù)學的思想，和一般的我們剛才說的一些，有兩件事情是建議老師認真思考。希望老師首先應該清楚，哪些東西是數(shù)學發(fā)展所必須擁有的東西，因為他決定了數(shù)學這個學科的成長，這種東西一定是基本的和重要的。抽象是構成數(shù)學學科的一個標志性的東西，我們前面說一類一類的解決問題，不滿足于一個一個的解決問題，推理包括合情推理，演繹推理。當我們要構架一個科學體系的時候，需要這些東西，而數(shù)學就在這樣一種指導思想下解決實際問題，要把實際的問題變成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法加以解決，這形成了促進數(shù)學發(fā)展中最基本和最重要的東西。第二個理由，也希望老師去

52、體會，學數(shù)學和不學數(shù)學在哪些地方是有區(qū)別的。數(shù)學給了我們別的學科沒有給的東西，這個東西可能才是反應數(shù)學基本思想的，這個獨特的東西是什么？剛才我們所說的這三點思想都具有這樣的特點，這恰恰是我們在日常教學中，應該去體會的東西。更重要的是，把我們的體會滲透在我們的日常教學中，逐步的幫助學生形成這樣一種思想，建立好的思想靠說教是不行的，應該是滲透給學生的，去引導學生體會方方面面，可能才能實現(xiàn)這樣一個基本的目標。而且這是一個長期的過程，不是一朝一夕就能解決。我剛才想補充一點，就是可能有的老師會問，抽象也好，推理也好，包括模型，是數(shù)學所特有的，比如說別的學科會不會也有這樣的特點，或者說有同樣的思想呢？我們

53、說也不排除，但是這里邊在數(shù)學體現(xiàn)的更加充分。比如說抽象，從物理當中也有抽象，化學中也有抽象，但數(shù)學的抽象就還是與眾不同。包括其他兩個特點，我們把它作為基本思想，我想也是體現(xiàn)這個學科自身與其他學科的不同。三個思想之間的關系也是大家需要思考的一件事情，這些東西一定不是兩兩不交的，它們存在著深刻的本質的聯(lián)系，但是它有各自的特點，這樣我們再理解就會更好的一點。我們老師常常會更多的說到數(shù)學方法，像換元法等等，但是這個數(shù)學方法它是不同于數(shù)學思想的，因為它處在較低的層次上，這個數(shù)學思想，往往可以用這樣幾個形容詞來描述：它是觀念的，是全面的，是普遍的，是深刻的，是一般的，是內在的，是概括的。而數(shù)學方法呢，可以

54、用這樣幾個形容詞來描述，它是操作的，局部的，特殊的，表象的，具體的，程序的，技巧的。但是這兩者是有關系的，數(shù)學思想是要通過數(shù)學方法去體現(xiàn)，數(shù)學方法又常常反應了數(shù)學思想。所以數(shù)學思想是數(shù)學教學的精髓核心，教師教學時候一定要注意努力去反應和體現(xiàn)數(shù)學思想，讓學生去了解體會數(shù)學思想，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)。教學當中老師有的時候是有一點含糊的，在這個問題上會提出疑問，數(shù)學思想都包含哪些呢？數(shù)學方法是不是就是我們說的這個數(shù)學思想？希望老師們對這個問題。能夠有進一步的認識。關于數(shù)學思想和方法，對它的這個認識理解，對于老師來講也還需要一個過程，也還需要一個不斷的去思考，所以也希望老師們在日后的教學當中，能夠更多的

55、思考：第一，在我的教學當中，如何去體現(xiàn)數(shù)學思想，如何通過我們的一些具體的方法，來折射出來他們背后的一些數(shù)學的思想，使得我們目標的實現(xiàn)，更有了著落。從雙基到四基的里面，還有一基，就是基本活動經(jīng)驗，那么基本活動經(jīng)驗，對于我們來講，應該也還是跟雙基相比，基礎知識基本技能相比，也還是陌生一些，可能也把握起來也更困難一點。在研制標準的過程中，我們經(jīng)常問這樣的問題，就是除了雙基，在數(shù)學中，在數(shù)學學習中還有什么？是不是雙基已經(jīng)把我們數(shù)學里最要緊的東西都說完了，我們要問我們自己這些最根本的問題，那么于是我們就產(chǎn)生了，有一些數(shù)學的思想，是我們需要把它界定清楚，那么思想用我們傳統(tǒng)中的思想，思想方法方法又有很多，那

56、哪些是重要的，基本的，除了數(shù)學的基本思想，還有沒有什么，也希望老師，我們一起來共同的思考這個問題。我想在數(shù)學中，不嚴格說，有一些東西是可以交的，是可以通過老師的言傳身教，但是有一些東西。是必須學生做的，他要經(jīng)歷他要體會他要感悟，他要積累，才能變成他自己的東西，所以這些東西是什么呢？我們給這些東西，起了一個名字，就是“基本的數(shù)學活動的經(jīng)驗”。所以我覺得這件事情也是非常重要的，比如說探究，比如說提出問題，如果永遠是別人給你探究的方法，探究的技巧，甚至探究的程式，如果你不親自去探究一些問題，你永遠感悟不到探究是什么滋味，你永遠不會體會到探究可能會遇到什么樣的問題。我們說過程是目標，過程這個目標落實在

57、什么地方呢？要落實在經(jīng)驗的積累上，解決問題的經(jīng)驗和學習的經(jīng)驗。提出數(shù)學活動經(jīng)驗的積累，這樣的一個說法，把我們過去有一些比較含糊的。不是說的很清楚東西，提供我們一個思路。當然我們不一定就能提供一些非常多的可具體操作的東西，但是通過我們不斷的摸索積累，在這方面一定會積極的推動數(shù)學教育?，F(xiàn)在一個重要的領域叫做綜合與實踐，在綜合與實踐我們到底要給學生留下什么東西呢？我們要給學生留的東西是不僅僅是一個一個知識的學習，一部分一部分知識的學習，而需要我們的學生會綜合的利用我們所學過的知識，需要我們的學生會利用這些知識解決我們實踐中的問題。那么一個重要的結果，就是要積累運用數(shù)學解決問題的經(jīng)驗。包括從哪找到問題

58、，我們得到問題的判決，我們得到的問題跟數(shù)學有關還是沒有關系？和數(shù)學沒有關系？能不能用數(shù)學的東西去解決這些問題？有了問題，還要設計解決問題的策略，或者過程，或者程序，怎么解決？這是從事數(shù)學研究一個非常的事情，然后就是對于你的思想的執(zhí)行和實施，在實施的過程可能就是要調整，不是做每一次建模都能很準確的解決問題，當發(fā)生誤差就要調整的所用到的數(shù)學或者所用到的模型。最后得到結果，要跟別人分享討論結果的價值和意義。整個這樣一個過程對于一個學數(shù)學的人來說是非常重要的。不僅僅是解決其他學科的生活中問題這些是重要的，解決數(shù)學問題這些經(jīng)驗的積累也是重要的。過去我們僅僅停留在解決習題上面，別人告訴我了條件結論我去證明

59、它，解決它。我們能不能發(fā)現(xiàn)一些問題，引起我們的思考，我想這對于學習是非常重要的，我想這和我們數(shù)學家研究數(shù)學，沒有本質的差別，他們都是在研究的過程中，不斷的積累，他們解決問題的經(jīng)驗。這些可能對于我們都是非常重要的?；顒咏?jīng)驗的重要還體現(xiàn)在學生形成智慧。學生學會知識，需要有活動經(jīng)驗，學生形成智慧更加需要有活動經(jīng)驗。因為這種智慧只能不能言傳只能意會。所以沒有自己的實踐就很難意會。另外我們前面講到數(shù)學思想，數(shù)學思想它也不是僅僅在數(shù)學推導里邊形成和取得的，也是要在數(shù)學活動經(jīng)驗的積累上去形成。另外在數(shù)學活動的過程里邊，也必然有對學生情感態(tài)度價值觀的提升，所以這就達到了三維目標的定型，共同實現(xiàn)。而且可以成為實現(xiàn)這些目標的一個結果。現(xiàn)在有很多人在做一些研究，發(fā)表一些文章，老師們可以進一步通過這樣的研究和交流，不斷加深我們自己對基本活動經(jīng)驗的理解，包括如何在課堂當中去體現(xiàn)，安排什么樣的活動，在這樣的活動當中我們希望學生能夠積累哪方面的經(jīng)驗，可能這都是我們在教學設計當中，需要思考的。話題五 從兩能到四