吉林省吉林市2020屆高三數(shù)學第三次調研測試(4月)試題理

1、吉林省吉林市2020屆高三數(shù)學第三次調研測試（4月）試題理本試卷共22小題，共150分，共6頁，考試時間120分鐘，考試結束后，將答題卡和試題卷一并交回。注意事項：1 .答題前，考生務必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，認真核對條 形碼、姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。2 .選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、（黑色線框）內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案的標號；非選擇題答案必須使用 筆跡清楚。3 .請按照題號在各題的答題區(qū)域無效。4.5.作圖可先用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。保持卡

2、面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮 紙刀。、選擇題:本大題共12題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合題目要求。1.已知集合A-1,0,1,2,B x|ylg(12.3.4.5.A. 2已知復數(shù)A. 12C. 12已知向量A.已知A.C.z滿足1 .i21 .i2.3,1),B. 1,0b (3, .3)C.B.D.m,n為兩條不重合直線,m / n,m ,nm n,m II ,n II112121.i21 .i2D.1,0,1,則向量b在向量a方向上的投影為C. 1D.為兩個不重合平面，下列條件中,B. m / n,mD. m n,m一個

3、幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為的充分條件,n,n側視圖正視圖6.7.8.9.10.11.A.C.函數(shù)A.已知10 T83f(x) cos(2xB.D.)的對稱軸不可能為B. x 一3f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x) 2x2,則 f(3)A. 18已知數(shù)列A.1318橢圓C.f (xx 64) f(x)；xD. x 3 (0,2)時，B.18C.D.A.150已知A.an為等比數(shù)列,廿一右a6a7a826,且 as a936,a7a8B.史或生1836C.139D.1362y21的焦點為/ 0.2a (2) ,bB.F1,F2135log1 0.2,c2趙爽是我國古代數(shù)

4、學家、介紹了 “勾股圓方圖”，點P在橢圓上，若| PF2 |C. 120ab,則a,b,c的大小關系是B. c a b天文學家，大約公元又稱“趙爽弦圖”C. a c b2,D.D.F1PF2的大/、為90222年，趙爽為周髀算經(jīng) (以弦為邊長得到的正方形是由b c a一書作序時，4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的，如圖如1),類比“趙爽弦圖”，可類似地構造圖(2)所示的圖形，它是由 6個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個大正六邊形，設A F 為2F A ,若在大正六邊形中隨機取一點，則此點取自小正六邊形的概率A.2 1313B.當13C.27722x y 12 .已知

5、Fi,F2分別為雙曲線C：2 yY 1的左、右焦點，點 P是其一條漸近線上一點， a b且以F1F2為直徑的圓經(jīng)過點 P ,若 PF1F2的面積為 裂3 b2 ,則雙曲線的離心率為 1 21 23A. , 3B. 2C. , 5D. 3二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.13 .二項式(2 x)5的展開式中x3的系數(shù)為(用數(shù)字作答) .14 .已知兩圓相交于兩點 A(a,3), B( 1,1),若兩圓圓心都在直線 x y b 0上，則a b的值是.15 .若點P(cos ,sin )在直線y 2x上，則cos(2)的侑等干216 .已知數(shù)列aj的前n

6、項和Sn1an且a1 1,設f(x) ex e2 x 1 ,則44f(log2a1) f(log2a2) LL f (log2a7)的值等于.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17： 21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分17. (12 分)在 ABC 中，角 A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,若 Qa b(sin C J3cosC).(1)求角B的大??；(2)若A , D為 ABC外一點，DB 2,CD 1,求四邊形ABDC面積的最大值. 318. (12 分)在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊

7、時期， 我市教育局提出“停課不停學”的口號，鼓勵學 生線上學習。某校數(shù)學教師為了調查高三學生數(shù)學成績與線上學習時間之間的相關關系，對高三年級隨機選取 45名學生進行跟蹤問卷，其中每周線上學習數(shù)學時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學平均成績不足 120分的占-8 ,統(tǒng)計成績后得到如下 2 213列聯(lián)表：分數(shù)不少于120分分數(shù)不足120分合計線上學習時間不少于 5小時419線上學習時間不足5小時合計45(1)請完成上面2 2列聯(lián)表；并判斷是否有 99%勺把握認為“高三學生的數(shù)學成績與學 生線上學習時間有關”；(2) ( I )按照分層抽樣的方法， 在上述樣本中從分數(shù)不少于 12

8、0分和分數(shù)不足120分的 兩組學生中抽取 9名學生，設抽到不足 120分且每周線上學習時間不足 5小時的人數(shù)是 X, 求X的分布列(概率用組合數(shù)算式表示) ；(n)若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數(shù)學成績不少于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.(下面的臨界值表供參考)2P(K2 k。)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式K2n(ad bc)2其中n(a b)(c d)(a c)(b d)1如圖所不，在四棱錐 P ABCD中，AB / CD

9、, AD AB -CD, DAB 60，點 2E,F分別為CD, AP的中點.(1)證明：(2)若 PAPC / 面 BEF ;PD ,且 PA PD ,面 PAD面ABCD ,求二面角F BE A的余弦20.(12 分)已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線C : x242py(p 0)的焦點F ,與拋物線C相交于值.A、(2)設P為拋物線C上任意一點(異于頂點),過P做傾斜角互補的兩條直線11、12,B兩點，且|AB| 8.(1)求拋物線C的方程;交拋物線C于另兩點C、D ,記拋物線C在點P的切線1的傾斜角為 ，直線CD的傾斜角 為，求證： 與互補.21. (12 分)已知函數(shù) f(x) 1n x

10、ax2 (a b 1)x b 1(a,b R).(1)若a 0 ,試討論f (x)的單調性；(2)若0 a 2,b 1 ,實數(shù)x1,x2為方程f(x) m ax2的兩不等實根,、11八求證：一一 4 2aXix2(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 題計分。22. （10 分）在直角坐標系xOy中， 曲線C1的參數(shù)方程為x J3cos (為參數(shù))，以原點O為極y sin點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程為sin( ) 2.6(1)求曲線C1的普通方程與曲線 C2的直角坐標方程；(2)設A,B為曲線Ci上位于第一，二象限的

11、兩個動點， 且 AOB 萬，射線OA,OB交 曲線C2分別于D,C ,求 AOB面積的最小值，并求此時四邊形ABCD的面積.23. (10 分)1 . .1 .1已知a,b,c均為正實數(shù)，函數(shù) f(x) | x | | x |2的最小值為1.ab 4c證明：(1)(2)2, 22a b 4c 9 ；111, 1 .ab 2bc 2ac吉林市普通中學 20192020學年度高中畢業(yè)班第三次調研測試理科數(shù)學參考答案與評分標準、選擇題123456789101112BBADADCACBDB13. - 40;14. -1; 15.4一;16. 75二、填空題三、解答題17.解：(1) Q Jab(sin

12、C J3cosC),由正弦定理得：、3sin Asin B(sin C 、3cosC)、3sin(BC) sin Bsin C 、.3sinBcosC,3cosBsin C sin Bsin CQsinC0, J3cosB sin B 即 tan B 33Q B (0,),-6分(2)在 VBCD 中，BD 2,CD 1BC21222 2cosD5 4cos D又 SvBDCSabcd,則VABC為等邊1 .BD DC sin D25-3 sin D . 3 cos D410Sv ABC1 一BC22sin 35.34一 3 cos D18.解:(1)5、32sin( D45時，四邊形ABCD

13、的面積取最大值，最大值為 612分數(shù)不少于120分分數(shù)不足120分合計線上學習時間不少于 5小時15419線上學習時間不足5小時101626合計2520453分2 45(15 16 10 4)2QK2(- 7.29 6.63525 20 19 26有99%的把握認為“高學生的數(shù)學成績與學生線上學習時間有關”20(2) (I)由分層抽樣知，需要從不足120分的學生中抽取9 4人45X的可能取值為0, 1,2,3,4.P(X 0)C：C2o,P(X 1)C3c116C40,P(X 2)C2MC20C1C3P(X 3)"6C20P(X 4)c：。8(II )從全校不少于120分的學生中隨機

14、抽取1人此人每周上線時間不少于155 小時的概率為 15250.610設從全校不少于120分的學生中隨機抽取分20人，這些人中每周線上學習時間不少于則 Y : B(20,0.6)E(Y)19.解"200.6 12,D(Y) 20 0.6(1 0.6) 4.812(1)證明:連接AC交BE于H ,連接FHQ ABCE,HAB HCE, BHACHAABH 且 CEHAH CH FH PPCFBEQFH 面 FBE,PC 面 FBEPC P4 分(2)取 AD 中點。，連 PO , OB.由 PA PD , PO ADQ 面 PAD 面 ABCDPO 面 ABCD,又由 DAB 60&#

15、176;, AD ABOB AD以 OA,OB,OP 分別為 X,Y,Z軸建立如圖所示空間直角坐標系6分設 AD 2,則 A(1,0,0) ， B(0,4,0) , D( 1,0,0), P(0,0,1), F(-,0,-)22uur uuruuirEB DA (2,0,0) , BF (2irn1 (0,0,1)為面BEA的一個法口uu設面FBE的法向量為n2 (x0,uur iu，、k-EB n2 0 .依題用、,imr ui 即 1BF n2 03%令y°V3,ir ui"皿ni,n.6cos( ni,n2)ir Ur -j=n1n2v3因 為 二 面 角 為,

16、9;3,1) 82量 9，0, z0)，2x0 03y0 -Z002解得102 . 3913銳角， 故其余弦值為嚕1220.解：(1)由題意設直線 AB的方程為y x E2令A(x1，y1)B(x2, y)yiy23p,根據(jù)拋物線的定義得 AByiV2 p 4p,又AB22py8,4P2-y 3py8, p 22 p44y21.解:222(2)依題意，設P(xo,-),C(xc,xC), D(xd,也)4442設I1的方程為y 9 k(x xo),與x2 4y聯(lián)立 44kx4kxo2 xoxo x 4kxoxd4kxC xDCDKCD2乂22xi4(x2 x1)1(xc4xD )12 Xo10

17、切線l的斜率Ki yX xo12xo由KIKcd o12.1， f (x) (bx1)當b 1時，f(x)0恒成立，此時f(x)在定義域上單調遞增當b 1時，若x1°，f (x) 0 ；若(x)故此時f (x)的單調增、0,(2)方法 1：由 f (x) m2，口，ax 得 ln x(a2)xg(x) ln x(a 2)xg(x1)g%) 11要證一一 4x1x210乂? ln 一ln x1(a2)x1Inx2(a2)x2x2只需證x2x1x22(2a)21n& x1(不妨設x1%),x1x2X2x2x121nx2令x2x1t(t1),g(t) 21n t1 -2t t, Q

18、g(t)-1 t2(；1)2 0,g(t)(1,)單調遞減， g(t) g1_ 11從而有 一一x1x2方法2：由f(x) m2，1，ax 得 ln x(a 2)x 2 m 042a12分令 g(x)ln x (a 2)x 2則 g(x1) g(x2) m1g(x) (2 a)x當 X (0,分1.)時 g (x)2 a0,1(2-a故 g (x)在(0,-28調遞減，不妨設x1x2,則0xix2 ，1 要證一x1x210令 h(x) g(x)則 h (x) g (x)1 (2 a)xx2a ,只需證g(xi) g(xix2(4 2 a)x2x2(4 2a)x21)，易知x2(4 2 a)x2(?！弊C g(x2)g(d*22 a)x21)g(x) , ( x(4 2a)x 12gg(4 2a x 1(4 2a) x1)(2 a)x 14(2 a)24 2a x 14 2