空間解析幾何習(xí)題答案解析

1、、計(jì)算題與證明題1 .已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5,并且 a b c 0.計(jì)算 a b b c c a.解：因?yàn)?|a| 1, |b| 4, |c| 5,并且 a b c 0所以a與b同向，且a b與c反向因此 a b 0, b c 0, c a 0所以 a b b c c a 02 .已知 |ab| 3, | a b | 4,求 |a|b|.解：| a b | a b cos 3(1)|a b| a bsin 4222(1)1 22 得 a |b 25所以a b 53,求向量x的坐標(biāo).4.已知向量x與a(,1,5, 2)共線，且滿足a x解：設(shè)x的坐標(biāo)為x, y,z ,又a

2、1,5, 2貝Ua x x 5y 2z 3(1)又x與a共線，則x a 0 即i j k yx y z51 522y 5z i z 2x j 5x y k 0所以 2y 5z2 z 2x 2 5x y 20(2)即 29x2 5y2 26z2 20yz 4xz 10xy 0又x與a共線，x與a夾角為0或10 25cos0 122222x y z 152整理得23z 一 103.x2 y2 z2 v 30(3)6 .已知點(diǎn)A(3,8,7), B( 1,2, 3)求線段AB的中垂面的方程.解：因?yàn)?A 3,8,7 ,B( 1,2, 3)AB中垂面上的點(diǎn)到 A、B的距離相等，設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為 M x,

3、y,z ,則由MA MB得222222,x 3 y 8 z 7 x 1 y 2 z 3化簡得2x 3y 5z 27 0這就是線段 AB的中垂面的方程。7 .向量a, b, c具有相同的模，且兩兩所成的角相等，若a, b的坐標(biāo)分別為(1,1,0)和(0,1,1),求向量c的坐標(biāo).解：a b c r且它們兩兩所成的角相等，設(shè)為則有 a b 1 0 1 1 0 1 1則cosa bal b設(shè)向量c的坐標(biāo)為x, y,z貝Uac1x1y0zxya b cos r r 21(1)r1b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r r 2 1(2)r22202/2c2工c v x y z r v

4、110V2(3)所以 x2y2 z2 2xx 1聯(lián)立(1)、(2)、(3)求出 y 0或y z 1z，一 ,1 41所以向量c的坐標(biāo)為1,0,1或 1,4, 13 338 .已知點(diǎn) A(3,6,1), B(2, 4,1), C(0, 2,3), D( 2,0, 3),(1)求以AB, AC , AD為鄰邊組成的平行六面體的體積.(2) 求三棱錐A BCD的體積.求BCD的面積.(4)求點(diǎn)A到平面BCD的距離.解：因?yàn)?A3,0,1 , B 2, 4,1 ,C 0, 2,3 ,D 2,0, 3所以 AB 1, 10,0AC3, 8,2AD5, 6, 4(1) AB, AC,AD是以它們?yōu)猷忂叺钠?/p>

5、行六面體的體積11003823 100 00 120 12176564(2)由立體幾何中知道，四面體ABCD (三棱錐A BCD)的體積Vt61176883(3)因?yàn)?BC2,2,2 , BD4,4, 4BC BD16i 16j 0k所以BC BDJ 16 216 16 J2,這是平行四邊形 BCED的面積因此S BCD - S 口 BCED 1 16.28.222(4)設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為H ,由立體幾何使得三棱錐A BCD的體積1 一 Vt S bcd H3所以H3VtS BCD3 88118 2211 221.求經(jīng)過點(diǎn)A(3,2,1)和B(1,2, 3)且與坐標(biāo)平面xOz垂直的平面

6、的方程.解：與xoy平面垂直的平面平行于 y軸，方程為Ax Cz D 0把點(diǎn)A3,2,1和點(diǎn)B1,2, 3代入上式得3A C D 0(2)A 3C D 0(3), D-D由(2), (3)得 A ,C 一 22八、DD_八代入(1)得 一 x z D 022消去D得所求的平面方程為x 2 z 0x y z2.求到兩平面:3x y 2z 6 0和 ：一 25 11距離相等的點(diǎn)的軌跡方程.解；設(shè)動點(diǎn)為 M x, y,z ,由點(diǎn)到平面的距離公式得|3z y 2z 6| 5x 2y 10z 10|222222,312,5210所以3x y 2z 6141295x 2y 10z 103.已知原點(diǎn)到平面的

7、距離為方程.120,且 在三個坐標(biāo)軸上的截距之比為2:6:5,求 的解：設(shè)截距的比例系數(shù)為 k,則該平面的截距式方程為x y z 12 k 6k 5k化成一般式為15x 5y 6z 30k 0又因點(diǎn)O 0,0,0到平面 的距離為120,則有30kl,12015 25262求出 k 4 286所以，所求平面方程為15x5y6z 120' 28605 .已知兩平面 ：mx 7y6z240與平面 ：2x3my11z 19 0相互垂直，求m的值.解：兩平面的法矢分別為 n1m, 1, 6 , n22, 3m,11 ,由nJ n2，得2m 21m 66 0求出m66196 .已知四點(diǎn) A(0,0

8、,0) , B(,2, 5,3), C(0,1, 2) , D(2,0,7),求三棱錐 D ABC 中 ABC面上的高.解：已知四點(diǎn) A 0,0,0, B 2, 5,3 ,C 0,1, 2,D2,0,7，則2,1, 9DA2,0, 7 ,DB 0, 5, 4 , DC由DA , DB , DC為鄰邊構(gòu)成的平行六面體的體積為2 07V DA,DB,DC0542 1990 0 070 0 87z 14所以 7z 14'699070 828由立體幾何可知，三棱錐ABC的體積為則有所以又ABVdABC1V 61 28286143設(shè)D到平面ABC的高為VdABCH1H 3S ABC3VdABCS

9、 ABCAB AC2,5,3 ,AC0,1,7i4j2k所以,S ABC因此,1 一 一AB 23史36 6 692AC28697.已知點(diǎn) A在z軸上且到平面:4x272 42222 6928 . 69692y 7z 140的距離為7,求點(diǎn)A的坐標(biāo).解：A在z軸上，故設(shè)A的坐標(biāo)為(0 0 z),由點(diǎn)到平面的距離公式，得j7,42227 2則 z 2. 69那么A點(diǎn)的坐標(biāo)為 A 0,0,2 <698.已知點(diǎn).A在z軸上且到點(diǎn)B(0, 2,1)與到平面：6x 2y 3z 9的距離相等，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。解：A在z軸上，故設(shè) A的坐標(biāo)為0,0, z ,由兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到平面的距離|3z 922

10、2623化簡得 40z2 74z 229 0因?yàn)?74 2 4 40 22931164 0方程無實(shí)數(shù)根，所以要滿足題設(shè)條件的點(diǎn)不存在。y二都平行的平面的方10x 1 y 1 z 1 一 x1 .求經(jīng)過點(diǎn) P(1, 2,0)且與直線 y 和一1101程.解：兩已知直線的方向矢分別為v11,1,0, v21, 1,0 ,平面與直線平行，則平面的法矢aA, B, C與直線垂直由av1,有 AB0 0(1)由a，v2 ,有A B 0 0聯(lián)立(1), (2)求得A 0, B 0,只有C 0又因?yàn)槠矫娼?jīng)過點(diǎn)P 1,2,0，代入平面一般方程得0 1 02 C 0 D 0所以D 0故所求平面方程Cz 0,即z

11、 0,也就是xoy平面。x 1 y 3 z小、2 .求通過點(diǎn) P(1, 0, -2),而與平面 3x-y+2z-1=0平行且與直線 - 一相父的直線421的方程.解：設(shè)所求直線的方向矢為 v m, n, p ,(1)3m n 2P 0直線與直線上 L2 三相交，即共面 421m n p則有42101 1 3 0 0 2所以 7m 8n 12 0(2)由(1), (2)得m1 28 12n23127P ，即m31478nP503150, p 31 ,得求作的直線方程為x 1 y z 245031x 3 y 4 z 4 ,3 .求通過點(diǎn) A(0,0,0)與直線 - 的平面的萬程.211解：設(shè)通過點(diǎn)

12、 A(0,0,0)的平面方程為 A(x 0) B(y 0) C(z 0)即Ax By Cz 0(1)x 3 y 4 z 4又直線y- z-在平面上，則直線的方向矢V與平面法矢211所以2A B C 0(2)直線上的點(diǎn) 3, 4,4也在該平面上，則n垂直3A 4B 4C 0(3)由(1), (2), (3)得知，將A,B,C作為未知數(shù)，有非零解的充要條件為x y z211034 4即8x 5y 11z 0,這就是求作的平面方程。x 2 y z 1 ,4.求點(diǎn)P(1, 1,0)到直線的距曷.110解：點(diǎn)A 2,0, 1在直線上，直線的方向矢 v 1, 1,0AP1, 1,1，則AP與v的夾角為AP

13、 v110-cos : 0AP| v J 1 212 12 Jl21 2所以900因此點(diǎn)P1, 1,0到直線的距離為d AP 1 1 21 2 12333x y 2z 6 05. 取何值時直線與z軸相交x 4y z 15 0-3x y 2z 6 0 ,解：直線與z軸相交，則有交點(diǎn)坐標(biāo)為0,0, z ,x 4y z 15 0由直線方程得2z 6 0 ，求得5z 15 07.求過點(diǎn)(3,25)且與兩平面x 4z 3和3x y z 1平行直線方程.解：與兩平面平行的直線與這兩個平面的交線平行,則直線的方向矢垂直于這兩平面法矢所確定的平面，即直線的方向矢為i j kv n1n2104311將已知點(diǎn)代入

14、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程得4i 13j k8. 一平面經(jīng)過直線x 3 y 2 z 54131即直線在平面上)l ：31且垂直于平面x y z 15 0 ,求該平面的方程.解：設(shè)求作的平面為Ax By Cz D 0直線匚5 -2 -在該平面上，則有點(diǎn) 3145,2,0在平面上，且直線的方向矢v 3,1,4(2)(3)0垂直，則它們的法矢垂直(4)與平面的法矢n A, B,C垂直所以 5A 2B D 03A B 4C 0又平面與已知平面 x y z 11所以A B C 0聯(lián)立(2),(3),(4)得 BAd 39-D34Ad34代入（1）式消去D并化簡得求作的平面方程為5x 2y 2z 39 03 .求頂點(diǎn)

15、為O（0,0,0）,軸與平面x+y+z=0垂直，且經(jīng)過點(diǎn)（3,2,1）的圓錐面的方程.解：設(shè)軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為 P x,y, z，依題意，該圓錐面的軸線與平面 x y z 0垂直，則軸線的方向矢為 v 1,1,1 ,又點(diǎn)O 0,0,0與點(diǎn)3,2,1在錐面上過這兩點(diǎn)的線的方向矢為I13,2,1，點(diǎn) O(0,0,0)與點(diǎn) P x, y,z的方向矢為12 x, y, z ,則有1i與v的夾角和12與v的夾角相等，即x 1 y 1 1 1222222x y z 1113 12 1.322212化簡得所求的圓錐面方程為11x211y2 11z214xy 14yz4 .已知平面 過Z軸，且與球面6x8y

16、10z41 0相交得到一個半徑為2的圓，求該平面的方程.解：過z軸的平面為AxBy 0球面方程化為 x 3 2表示球心坐標(biāo)為 O 3,4,5到截面圓的圓心的距離為dV3222V5,如題三.4圖所示由點(diǎn)到平面的距離公式為3A 4B,A2 B2化簡得 4A2 24BA 11B2032習(xí)題三.4圖次方程地24B . 24B 2 4 4 11B224，一1 一 一求出A-B, A221分另代入(1)式得 1Bx21111 B2Byc 110,萬Bx By 0消去B得所求平面方程為2y或x3 y115 .求以z軸為母線，直線y1，一為中心軸的圓枉面的萬程.1解:如習(xí)題三.5所示，圓柱面在xoy平面上投影

17、的圓心坐標(biāo)為1,1 ,半徑為.2 ,所以求作的圓柱面方程為x 1 * 2 y 1 226 .求以z軸為母線，經(jīng)過點(diǎn)A(,4,2,2)以及B(6, 3,7)的圓柱面的方程解:設(shè)以z軸為母線的柱面方程為x a 2因?yàn)辄c(diǎn)A(,4,2,2), B(6, 3,7)在柱面上，則有R2(2)聯(lián)立(2),(3),(4)求出aR2R225,b8225640(4)因此，a 4k 8,b5k 10,c 3k 62587 .根據(jù)k的不同取值，說明(9k)x2(4k)y2(1k)z21表示的各是什么圖形.代入式得所求的柱面方程為225642 xk9時,(1)式變?yōu)?a2 y b22 z2 c1,表示雙葉雙曲線；2、-

18、xk4時,(1)式變?yōu)閍2 y b22 z2 c1,表示單葉雙曲線；1，表示橢球面22k 1時,(1)式變?yōu)榈?yya b1時,(1)式變?yōu)? x-2 a1,表示母線平行于z軸的橢圓柱面；4時,(1)式變?yōu)? x-2 a2 z b1 21,表示雙曲柱面；k 9時,(1)式變?yōu)?2yz.22bc1,不表示任何圖形；1 .已知 |a| 2, |b| 7, |c| 5,并且 a b c 0.計(jì)算 a b b c c a .解：|a| 2, |b| 7, |c| 5,且a b c 0則a與c同向,a、c均與b反向.所以 a b b c c a 02 7cos1800 7 5cos1800 5 2cos0014 35 10393 .已知點(diǎn)A(0,1,4)