因數(shù)和倍數(shù)的應(yīng)用

1、w出黑已f主初冋i I文件編碼(GHTUUITIDGGBKTPOIUWUUI8968)第二講因數(shù)和倍數(shù)的應(yīng)用(一)知識(shí)要點(diǎn)基本概念：1、公約數(shù)和最大公因數(shù)公因數(shù)。* 例如：12 的約數(shù)有 1, 2, 3, 4, 6, 12； 30 的因數(shù)有 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30。12和30的公因數(shù)有1, 2, 3, 6,其中6是12和30的最大公因數(shù)。一般地我們用(a,b)表示a, b這兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)，如(12, 30) =6。如果(a,b) =1,則a, b兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。2、公倍數(shù)和最小公借數(shù)兒個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這兒個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這兒個(gè)數(shù)的最小

2、公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有12, 24, 36, 48, 60, 72,18的借數(shù)有18, 36, 72, 90,12和18的公倍數(shù)有：36, 72其中36是12和18的最小公倍數(shù)。一般地，我們用a, b表示白然數(shù)，a, b的最小公倍數(shù)，如12, 18二36。3、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的求法A.最大公因數(shù)分解質(zhì)因數(shù)法短除法輾轉(zhuǎn)相除法小數(shù)縮倍法公式法前兩種方法在數(shù)學(xué)課本中已經(jīng)學(xué)過(guò)，在這里我們主要介紹輾轉(zhuǎn)相除法。當(dāng)兩個(gè)整數(shù)不容易看出公約數(shù)時(shí)(一般是數(shù)字比較大)，我們可以合用輾轉(zhuǎn)相除法。 B.最小公倍數(shù) 求兒個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法也有以下兒種方法：(1)(2)(3)(4)求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)一般有以

3、下兒種方法(1)(2)(3)(4)(5)分解質(zhì)因數(shù)法短除法 大數(shù)翻倍法 aXb= (a, b) X a, b上而的公式表示：兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。(二)例題選講例題1：用一個(gè)數(shù)去除30、60、75,都能整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？ 精彩思路要求的數(shù)去除30、60、75都能整除,:要求的數(shù)是30、60、75的公約數(shù)。乂 T要求符合條件的最大的數(shù),:就是求30. 60、75的最大公約數(shù)。精妙解答(30, 60, 75) =5X3=15這個(gè)數(shù)最大是15。例題2：有三根鐵絲，長(zhǎng)度分別是120厘米、ISO厘米和300厘米現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最

4、長(zhǎng)多少厘米？ 一共可以截成多少段?精彩思路T要截成相等的小段，且無(wú)剩余,每段長(zhǎng)度必是120、ISO和300的公因數(shù)。乂 丁每段要盡可能長(zhǎng),要求的每段長(zhǎng)度就是120、180和300的最大公因數(shù)。精妙解答(120, 180, 300) =30X2=60:每小段最長(zhǎng)60厘米。120-?60+1804-60+30060=2 + 3 + 5=10 (段)例題3： 次會(huì)餐供有三種飲料餐后統(tǒng)計(jì)，三種飲料共用了 65瓶：平均每2個(gè)人飲用一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料問(wèn)參加會(huì)餐的人數(shù)是多少人?精彩思路:由題意可知，參加會(huì)餐人數(shù)應(yīng)是2、3、4的公倍數(shù)。精妙解答V 2, 3, 4=12:參加

5、會(huì)餐人數(shù)應(yīng)是 12 的倍數(shù)。乂7124-2+124-3-12-?4=6+4+3=13 (瓶):可見(jiàn)12個(gè)人要用6瓶A飲料，4瓶B飲料，3瓶C飲料，共用13瓶飲料。乂7654-13=5參加會(huì)餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是12的5借，12X5=60 （人）。例題4：兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是4,最小公倍數(shù)是252,其中一個(gè)數(shù)是28,另一個(gè)數(shù)是多 少？ 精妙解答設(shè)要求的數(shù)為X,則除以4后的余數(shù)為y/.x=4Xy 28=4X7A2Sx=4XyX4X7又T4是x和28的最大公約數(shù)，（y, 7） =1A4XyX7是X和28的最小公倍數(shù)。: X X 28=4 X252: x=4 X 252 十 28=36總結(jié)：通過(guò)例4的解答答過(guò)

6、程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用a和b表示兩個(gè)自然數(shù)，那么這兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是:(a, b) X a b=aXbo這樣，求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的問(wèn)題，即可轉(zhuǎn)化成先求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，再用最大公約數(shù)除兩個(gè)數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個(gè)數(shù)的最小公借數(shù)。例題5：用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大公約數(shù)。解答：V4811=2X1981+849,1981=2X849+283.849=3X283./. (4811,1981) =283。補(bǔ)充說(shuō)明：如果要求三個(gè)或更多的數(shù)的最大公因數(shù)，可以先求其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，再求這個(gè)公因數(shù)與另外一個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果.也可以直接觀

7、察，依次試公有的質(zhì)因數(shù)。練習(xí)初試牛刀1、甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公借數(shù)是54,甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多2、3、少？己知兩個(gè)H然數(shù)的積是5766,它們的最大公約數(shù)是31.求這兩個(gè)H然數(shù)。一塊長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)120米，寬60米，要在它的四周和四角種樹(shù)，每?jī)煽弥g的距離相等，最少要種樹(shù)苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米?4、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同時(shí)在十月一口回家，下一次三人再見(jiàn)面是哪一天?挑戰(zhàn)自我1、將長(zhǎng)25分米,體，不能有剩余,每個(gè)立方體的體積是多少？ 一共可鋸多少塊?2、一箱地雷,每個(gè)地雷的重量相同，且都是超過(guò)1的整T克數(shù)，去掉箱子后地雷凈重寬20分米，高15分米的長(zhǎng)方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的立方201千克，拿出若干個(gè)地雷后，凈重183千克。求一個(gè)地靂的重量?參考答案初試牛刀1、甲數(shù)是18,乙數(shù)是54。2、解答：設(shè)這兩個(gè)自然數(shù)為A和B。A, B=5766-