布朗運(yùn)動(dòng)在股票定價(jià)中的應(yīng)用

1、布朗運(yùn)動(dòng)在股票定價(jià)中的應(yīng)用作者:日期:布朗運(yùn)動(dòng)在股票定價(jià)中的應(yīng)用一、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)1 900年法國(guó)數(shù)學(xué)家Ba chelie r獨(dú)立地介紹了布朗運(yùn)動(dòng)，他在自己的博士論文中用此來(lái)建立股票和商品運(yùn)動(dòng)的模型。布朗運(yùn)動(dòng)：價(jià)格集合S(y):O y,若對(duì)任意非負(fù)的實(shí)數(shù)y,t ,隨機(jī)變量S(y t) S(y)獨(dú)立于時(shí)刻y及此前的所有價(jià)格，并且它是一個(gè)均值為t,方差為2t的正態(tài)隨機(jī)變量，則稱價(jià)格集合為漂移參數(shù)為，方差參數(shù)為 2的布朗運(yùn)動(dòng)。用布朗運(yùn)動(dòng)建立的股票或商品價(jià)格運(yùn)動(dòng)的模型存在一些缺陷，比如：1、既然股票價(jià)格是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量，那它在理論上就可以取負(fù)值，但這與實(shí)際實(shí)不符的。2、在布朗運(yùn)動(dòng)的模型里，假定無(wú)論初始

2、價(jià)格為何值，固定時(shí)間長(zhǎng)度的價(jià)格差具有相同的正態(tài)分布。這個(gè)假設(shè)不太合理，比如一支股票從$20跌到$15的概率一般不會(huì)與另一支$ 10跌到$5的概率相同。股票在相同時(shí)間內(nèi)從二、幾何布朗運(yùn)動(dòng)用 S(y)(Oy )表示y時(shí)刻某證券的價(jià)格，若對(duì)任何非負(fù)實(shí)數(shù)y ,t(1)隨機(jī)變量S(yt)/S(y)獨(dú)立于y時(shí)刻及此前的所有價(jià)格;(2) ln(S(y t)/S(y)是均值為t，方差為 2t的正態(tài)隨機(jī)變量;則稱價(jià)格集合服從漂移參數(shù)為，波動(dòng)參數(shù)為的幾何布朗運(yùn)動(dòng)。如果證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，那么一旦，的值確定了，影響未來(lái)價(jià)格概 率分布的只是現(xiàn)在的價(jià)格，而與歷史價(jià)格無(wú)關(guān)。涉及未來(lái)時(shí)刻t以后的價(jià)格與當(dāng)前價(jià)格比值的所

3、有概率都與當(dāng)前價(jià)格無(wú)關(guān)。比如一種證券在一個(gè)月之后增長(zhǎng)一倍的概率與該證券現(xiàn)在的價(jià)格是$1 0還是$ 2 0是沒(méi)有關(guān)系的。若隨機(jī)變量丫為以t為參數(shù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量 ，則E(Y) e 2/2。若已知證券的價(jià)格為 S(O),時(shí)刻t價(jià)格的期望值僅依賴于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的漂移參數(shù)和波動(dòng)參數(shù)，即對(duì)于S(t)我們有ES(t) et(2/2)S(0)。用 表示一個(gè)小的時(shí)間增量，并假定，在每個(gè)時(shí)間單位內(nèi)，證券的價(jià)格或者以概率P增長(zhǎng)U倍，或者以概率(1 P)倍下跌d倍，其中P 1（ >r）。當(dāng)取得越來(lái)越小時(shí)，價(jià)格的變化就越來(lái)越頻繁，相應(yīng)的價(jià)格集就近似為一個(gè) 幾何布朗運(yùn)動(dòng)。下證當(dāng)取得越來(lái)越小時(shí)，上述簡(jiǎn)單過(guò)程

4、趨近于幾何布朗運(yùn)動(dòng)。首先定義變量Yi,若i時(shí)的價(jià)格上漲，則令Yi 1,否則令Yi0。證券價(jià)格在前n次變化過(guò)程中上漲的次數(shù)為nYi，下跌的次數(shù)為ni 1nYi,所i 1以在時(shí)刻n的證券價(jià)格S（n ）可以表示為：nS(n )=S(0)ui1nYidni1Yi。將上述形式整理一下,nYiS(n )=dnS(0)()i1d若令n t/ ，則上述方程可以改寫(xiě)為t/兩邊取對(duì)數(shù)，得:tU t/ Ind In ( ) Yid i 1;r+2既然In（謝丹2則隨著趨于0 ,合式Y(jié)j越來(lái)越接近正態(tài)隨機(jī)變量,所以 In(S(t)/S(0)是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量并且E(ln(謝)廠：占（Yi）于 廠遷（1 一廠）>

5、2現(xiàn)在求方差，由于In(型)卡+2 廠tYi，S(0)廠i 1 i所以Var(ln(|) 4 2廠嚴(yán)(Yi)02t當(dāng) 變得越來(lái)越小時(shí)，In (S(t)/S(0)(同理可知In(S(t y)/S(y)就變成均值為 t,方差為 2t的正態(tài)隨機(jī)變量。又因?yàn)榍昂髢r(jià)格的變化是獨(dú)立的且每次改變時(shí)都以同樣的概率增加或者減少，所以S(t y)/S(y)獨(dú)立于時(shí)刻y以前的價(jià)格變化。所以當(dāng)趨近于0時(shí)，幾何布朗運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)條件都滿足，這證明該模型確實(shí)變 成了一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)。三、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)大多數(shù)股票市場(chǎng)中的現(xiàn)象都體現(xiàn)了尖峰厚尾、自相似和長(zhǎng)期相關(guān)等分型特征，這導(dǎo)致了大量由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的定價(jià)模型不符合真實(shí)的市場(chǎng)。資本市

6、場(chǎng)提出分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程，已經(jīng)成為彌補(bǔ)上述模型最簡(jiǎn)單的方法。，而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是布朗運(yùn)動(dòng)的推廣。布朗運(yùn)動(dòng)指的是無(wú)相關(guān)性的隨機(jī)游動(dòng) 特征是具有持久性和長(zhǎng)期記憶性。下面我們就來(lái)討論股票價(jià)格是如何基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行演化的。設(shè)隨機(jī)量? = 1-1考慮時(shí)間段0 t T ,細(xì)分有分割0t0t1 IItn T ,定義隨機(jī)量Ski當(dāng)0, T上定義有偏的隨機(jī)游走?=花”',令 t T/N ,tn n t(n 0,1,2 ) N)，從而Ri( t)HRi()以及序列 Sk(k 0,1,2卅)：1 0，k H(t) Ri，i 1(t):SotkkRi1?="字“”SkS (t)t tk

7、 tk 1Sk 1Sk, tkt tk 1實(shí)際上S (t)是由Sk經(jīng)過(guò)線性插值形成的路徑。F面我們引進(jìn)原生資產(chǎn)價(jià)格的相對(duì)值S*：S； 其中Bt為貼現(xiàn)因子，即對(duì)于一張?jiān)趖 0時(shí)刻面值為1的股票，若股價(jià)平Bt均變化幅度為，則它在時(shí)刻t的期望價(jià)值為Bt。事實(shí)上，設(shè)t是一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票的期望價(jià)值,Bt t tBt1 t),對(duì)于St，在t，t時(shí)段，二叉樹(shù)模型可以表示為設(shè)ud 1令t)H其中為常數(shù)，它表示原生資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率。對(duì)于鞅測(cè)度Q： qu,qd，有qu1 d/u/ d/(t)H1 o( t)H)因此如果忽略(t)H揚(yáng)和下跌具有同樣的概率St t StS*1qd 2Ho( t),的高階無(wú)窮小量，在

8、t,1/ 2,而它的回扌報(bào)(t)H因此不計(jì) t的高階小量小量，經(jīng)過(guò)整理可以得到：t時(shí)間段內(nèi)原生資產(chǎn)的相對(duì)價(jià)格的變動(dòng)，上(up)t)H(dow n)l_l(t) o( t) (up)Ht) o( t) (down)，我們有0StSt(t)HR(由泰勒展開(kāi)，不計(jì) t的高階I / St t/ln()(Stt)HR() 12(t)2H根據(jù)定義So 1 1 Bo 1,因此在對(duì)0，T分割以后，在每一個(gè)分點(diǎn)t tk，* kIn s；SiIni 1 Si 1kRi12 2H(tk)In Sk InSk In BktkRii 11 2(tk)2H把它用線性插值連成路徑，并記作S (t)，那么1In S (t)

9、t 12(t)2HS (t),令t 0，其中S (t)的極限為BH(t)，用S(t)記S (t)的極限函數(shù)，我們有:In S(t) t2(t)2HBH(t),S(t) So exp(這表示股票價(jià)格演化是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)過(guò)程 由上式可得：i 2(t)2H，它的對(duì)數(shù)用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)刻畫(huà)。dS(t)S(t)dtS(t)dBH(t)。下面對(duì)一些模型參數(shù)進(jìn)行求解。 漂移率 表示的是經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，股價(jià)的平均變化幅度，以年為單位來(lái)計(jì)量，用比率的S形式來(lái)表示，即 t E，波動(dòng)率So反映的是相對(duì)回報(bào)率的不確定性，有假設(shè)我們得到在一段較長(zhǎng)時(shí)間2(t)HE(| 1S00,T內(nèi)的股價(jià)數(shù)據(jù)記錄2t)。,這段區(qū)間由n個(gè)長(zhǎng)度相等的子區(qū)間t組成。再假設(shè)我們知道每個(gè)子區(qū)間末的股價(jià)，將股價(jià)表示為:Si=第i個(gè)子區(qū)間的股價(jià)，樣本觀測(cè)值為1個(gè)。具體步驟如下：第一步，計(jì)算下列時(shí)間序列值:UiSi(I0,1,2, n),第二步，計(jì)算(Ui 1) 1S2這里u和S2是來(lái)自