空間點(diǎn)線面位置關(guān)系練習(xí)

1、 1 如圖1所示，在四面體P ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是線段PB 上一點(diǎn)，341715=CF ，點(diǎn)E 在線段AB 上，且EF PB. （）證明：PB 平面CEF ；（）求二面角B CE F 的正切值. 解（I ）證明： 2221006436PC ACPA =+=+PAC 是以PAC 為直角的直角三角形，同理可證PAB 是以PAB 為直角的直角三角形，PCB 是以PCB 故PA 平面ABC 又11|1063022P B C S P C B C =而PBC S CF PB =3017341534221|21，故CF PB, 又已知EF PBPB

2、 平面CEF（II ）由（I ）知PB CE, PA 平面ABC AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB CE 在平面PAB 內(nèi)，過(guò)F 作FF 1垂直AB 交AB 于F 1，則FF 1平面ABC ， EF 1是EF 在平面ABC 上的射影，EF EC故FEB 是二面角B CE F 35610cot =APAB PBA FEB二面角B CE F 的大小為35arctan 2. 已知正三棱錐ABC P -的體積為372，側(cè)面與底面所成的二面角的大小為 60。（1）證明：BC PA ；（2）求底面中心O 到側(cè)面的距離. 證明（1）取BC 邊的中點(diǎn)D ，連接AD 、PD ， 則BC AD ，BC

3、 PD ，故BC 平面APD . BC PA .（2）如圖， 由（1）可知平面PBC 平面APD ，則PD A 是側(cè)面與底面所成二面角的平面角.過(guò)點(diǎn)O 作E PD OE , 為垂足，則OE 就是點(diǎn)O 到側(cè)面的距離. 設(shè)OE 為h ，由題意可知點(diǎn)O 在AD 上， 60=PDO ，h OP 2=. h BC h OD 4, 32=, 22344(43hh S ABC = 3233823431372hh h=，3=h . 即底面中心O 到側(cè)面的距離為3. 3 如圖, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13, 4, 5, 4AC BC AB AA = ，點(diǎn)D 為A B1A( 求證1AC BC

4、;( 求證11AC C D B 平面;( 求異面直線1AC 與1B C 所成角的余解（I ）直三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5， AC BC ，且BC 1在平面ABC 內(nèi)的射影為BC ， AC BC 1； （II ）設(shè)CB 1與C 1B 的交點(diǎn)為E ，連結(jié)DE ， D 是AB 的中點(diǎn)，E 是BC 1的中點(diǎn)， DE/AC1， DE 平面CDB 1，AC 1平面CDB 1， AC 1/平面CDB 1； （III ） DE/AC1， CED 為AC 1與B 1C 所成的角， 在CED 中，ED=21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21CB 1=22

5、，8 cos 5522C ED = 異面直線 AC 1與 B 1C所成角的余弦值5. 4如圖，直二面角D AB E 中，四邊形ABCD 是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn) 為CE 上的點(diǎn)，且BF 平面ACE.（）求證AE 平面BCE ；（）求二面角B AC E 的正弦值； （）求點(diǎn)D 到平面ACE 的距離.解本題主要考查直線、直線和平面基點(diǎn)和平面的距離等基礎(chǔ)（I ）, , BF ACE BF AE 平面D-AB-E ABCD ABE 二面角為直二面角，平面平面，BC AB BC ABE BC , AE 又，平面， BF BCE BF BC=BBCE AE 又平面，平面。（II ）連結(jié)AC 、B

6、D 交于G ，連結(jié)FG ，ABCD 為正方形，BD AC ，BF 平面ACE ，F(xiàn)G AC ，F(xiàn)GB 為二面角B-AC-E 的平面角，由（I ）可知，AE 平面BCE ，AE EB ，又AE=EB，AB=2，AE=BE=， 在直角三角形BCE 中， CE=BC BE BF C E= 在正方形中，BG=BFG 中，sin 3BF FG B BG= 二面角B-AC-E為arcsinD BA1ADA （III ）由（II ）可知，在正方形ABCD 中，BG=DG，D 到平面ACB 的距離等于B 到平面ACE 的距離，BF 平面ACE ，線段BF 的長(zhǎng)度就是點(diǎn)B 到平面ACE 的距離，即為D 到平面A

7、CE D= 5 已知四棱錐P-ABCD 的底面為直角梯形，AB DC ，=PA DAB , 90 底面ABCD ，PA=AD=DC=2 1AB=1，M 是PB （）證明：面PAD 面PCD ； （）求AC 與PB 所成的角的余弦值； （）求面AMC 與面BMC 所成二面角的（）證明：PA 面ABCD ，CD AD ，由三垂線定理得：CD PD.因而，CD 與面PAD 內(nèi)兩條相交直線AD ，PD 都垂直，CD 面PAD.又CD 面PCD ，面PAD 面PCD.（）解：過(guò)點(diǎn)B 作BE/CA，且BE=CA， 則PBE 是AC 與PB 所成的角. 連結(jié)AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四邊形ACBE 為正方形. 由PA 面ABCD 得PEB=90° 在Rt PEB 中BE=2，PB=5， . 5cos =PBBE PBE. 5arccos所成的角為與PB AC （）解：作AN CM ，垂足為N ，連結(jié)BN.在Rt PAB 中，AM=MB，又AC=CB， AMC BMC,BN CM ，故ANB CB AC ，由三垂線定理，得CB PC ， 在Rt PCB 中