小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程五年級(jí)06

1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(五年級(jí))本教程共30講數(shù)的整除性（二）我們先看一個(gè)特殊的數(shù)1001。因?yàn)?001=7×11×13，所以凡是1001的整數(shù)倍的數(shù)都能被7，11和13整除。能被7，11和13整除的數(shù)的特征：如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被7或11或13整除，那么數(shù)A能被7或11或13整除。否則，數(shù)A就不能被7或11或13整除。例2 判斷306371能否被7整除？能否被13整除？解：因?yàn)?71-306=65，65是13的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以306371能被13整除，不能被7整除。例3 已知108971能被13整除，求中的

2、數(shù)。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的個(gè)位數(shù)是7，若是13的倍數(shù)，則必是13的9倍，由13×9-37=80，推知中的數(shù)是8。2位數(shù)進(jìn)行改寫。根據(jù)十進(jìn)制數(shù)的意義，有因?yàn)?00010001各數(shù)位上數(shù)字之和是3，能夠被3整除，所以這個(gè)12位數(shù)能被3整除。根據(jù)能被7（或13）整除的數(shù)的特征，100010001與（100010-1=） 100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。同理， 100009與（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。因?yàn)?1=7×13，所以100010001能被7和13整

3、除，推知這個(gè)12位數(shù)能被7和13整除。分析與解：根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，555555與999999都能被7因?yàn)樯鲜街械忍?hào)左邊的數(shù)與等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)都能被7整除，所以等號(hào)右邊第二個(gè)數(shù)也能被7整除，推知5599能被7整除。根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，99-55=44也應(yīng)能被7整除。由44能被7整除，易知內(nèi)應(yīng)是6。下面再告訴大家兩個(gè)判斷整除性的小竅門。判斷一個(gè)數(shù)能否被27或37整除的方法：對(duì)于任何一個(gè)自然數(shù)，從個(gè)位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被27（或37）整除；否則，這個(gè)數(shù)就不能被27（或37）整除。例6 判斷下列各

4、數(shù)能否被27或37整除：（1）2673135；（2）8990615496。解：（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810。因?yàn)?10能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。2，109大于三位數(shù)，可以再對(duì)2，109的各節(jié)求和，2+109=111。因?yàn)?11能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，進(jìn)一步推知8990615496能被37整除，不能被27整除。由上例看出，若各節(jié)的數(shù)之和大于三位數(shù)，則可以再連續(xù)對(duì)

5、和的各節(jié)求和。判斷一個(gè)數(shù)能否被個(gè)位是9的數(shù)整除的方法：為了敘述方便，將個(gè)位是9的數(shù)記為 k9（= 10k+9），其中k為自然數(shù)。對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)，去掉這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)后，再加上個(gè)位數(shù)的（k+1）倍。連續(xù)進(jìn)行這一變換。如果最終所得的結(jié)果等于k9，那么這個(gè)數(shù)能被k9整除；否則，這個(gè)數(shù)就不能被k9整除。例7 （1）判斷18937能否被29整除；（2）判斷296416與37289能否被59整除。解：（1）上述變換可以表示為：由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除。一般地，每進(jìn)行一次變換，被判斷的數(shù)的位數(shù)就將減少一位。當(dāng)被判斷的數(shù)變換到小于除數(shù)時(shí)，即可停止變換，得出不能整除的結(jié)論。

6、練習(xí)61.下列各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。62是13的倍數(shù)。中的數(shù)字是幾？4321能被21整除，求中間中的數(shù)。8.在下列各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026， 1884924， 2175683， 2560437，11159126，131313555，266117778。9.在下列各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119， 55537， 62899， 71258，186637，872231，5381717。練習(xí)61.能被7整除

7、的有250894，675696，805532；能被13整除的有88205，167128，805532，75778885。提示：175-62=113，只要內(nèi)填1，就有175-162=13。4.能。5.能。提示：仿例5。提示：仿例6。解：因?yàn)?7654321能被21整除，所以能被7和3整除。由能被7整除，推知下列各式也能被7整除：87654-321=876504+0-321=876183+0，876-（183+0）=693+0。由（693+0）能被7整除，可求出=0或7。再由能被3整除的數(shù)的特征，內(nèi)的數(shù)只能是0。8.能被27整除的數(shù)有：1884924，2560437，131313555，266117