可分離變量的微分方程58104

1、第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程二、典型例題二、典型例題一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程分離變量，得：分離變量，得：,d)(d)(xxfyyg 設(shè)設(shè) y= (x) 是方程是方程的解的解, , 則有恒等式：則有恒等式： ,d)(d)()(xxfxxxg 兩邊積分兩邊積分, , 得得 ,d)(d)()( xxfxxxg yygd)( ,d)(xxf 即：即： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) g(y) 和和 f(x) 是是 g(y) 和和 f(x) 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù) ,cxfyg )()(則有則有()()fxgyy 形如形如

2、 的方程，稱為的方程，稱為可分離變量可分離變量的微分方程的微分方程.可分離變量的微分方程的求解步驟可分離變量的微分方程的求解步驟(變量分離法變量分離法)：1、分離變量、分離變量,得得( )( )d ,g y dyf xx2、兩邊積分、兩邊積分,得得( )( )d ,g y dyf xx3、求出通解、求出通解.)()(cxfyg 微分方程的隱式通解微分方程的隱式通解例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2dd的通解的通解xyxy 解解分離變量分離變量 , 得得,d2dxxyy 兩端積分兩端積分 , 得得,d2d xxyy21ln yxc2xcey 即即二、典型例題二、典型例題.2為所求通解為所求

3、通解xcey 解得解得)(為任意常數(shù)為任意常數(shù)c例例 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xyey 解解分離變量分離變量,得得,dd2xeyexy 兩端積分兩端積分,得得,dd2 xeyexy1221ceexy 解得解得.22為所求通解為所求通解ceexy ceexy 22即即)(為任意常數(shù)為任意常數(shù)c.1)0(cos52的特解的特解滿足初始條件滿足初始條件求求例例 yxyy解解分離變量分離變量,得得,dcosd2xxyy 兩端積分兩端積分,得得,dcosd2 xxyycxy sin1解得解得,10 xy代代入入,1 c得得.1sin1 xy所求特解為所求特解為cxy sin1即即).(,

4、lnd702xyyxyxx求求設(shè)設(shè)例例 解解得得求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊同時(shí)對(duì)方程兩邊同時(shí)對(duì),x,dd12xyyyx 分離變量分離變量,dd22xxyy ,31113cxy 解得解得.33cxy 即即然后積分然后積分 :解解根據(jù)題意根據(jù)題意, ,有有)0(dd mtm00mmt (初始條件初始條件)對(duì)方程分離變量對(duì)方程分離變量, mmd,lnlnctm 得得即即tecm 利用初始條件利用初始條件, , 得得0mc 故所求鈾的變化規(guī)律為故所求鈾的變化規(guī)律為.0temm m0mto 然后積分然后積分:td)( 解解 根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律 , 得得 tvmdd, 00 tv初始條件為初始條件為對(duì)

5、方程分離變量對(duì)方程分離變量 ,mtvkmgvdd 然后積分然后積分 :得得,)(ln1cmtvkgmk )0( vkgm此處此處利用初始條件利用初始條件, ,得得),(ln1gmkc 代入上式后化簡代入上式后化簡, 得特解得特解)1(tmkekgmv mg, vk 例例 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度成正比成正比, ,并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)( t = 0 )速度為速度為0,求求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. . kmgv t 足夠大時(shí)足夠大時(shí)解解例例 某車間體積為某車間體積為12000立方米

6、立方米, 開始時(shí)空氣開始時(shí)空氣中含有中含有0.1%的的 co2 , 為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中co2的含量的含量, 用一臺(tái)風(fēng)量為每秒用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含風(fēng)機(jī)通入含0.03%的的co2的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時(shí)以同同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi)co2的百分比降低到多少的百分比降低到多少?設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后t時(shí)刻時(shí)刻co2的含量為的含量為x(t)%在在 t , t +dt 內(nèi)內(nèi),co2的通入量的通入量co2的排出量的排出量,03. 0d2000 t

7、),(d2000txt co2的改變量的改變量= co2的通入量的通入量 co2的排出量的排出量03. 0d2000d12000 tx),(d2000txt ),03. 0(61dd xtx,03. 061tcex , 1 . 0|0 tx,07. 0 c,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi)co2的百分比降低到的百分比降低到0.056%.分離變量法步驟分離變量法步驟:1.分離變量分離變量;2.兩端積分兩端積分隱式通解隱式通解.三、小結(jié)三、小結(jié)若是求特解，還需根據(jù)初值條件定常數(shù)若是求特解，還需根據(jù)初值條件定常數(shù) . .(

8、1) 找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程. .常用的方法常用的方法: :1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程根據(jù)幾何關(guān)系列方程, ,2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程根據(jù)物理規(guī)律列方程, ,3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程. .(2) 利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定初值條件利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定初值條件. .(3) 求通解求通解, , 并根據(jù)初值條件確定特解并根據(jù)初值條件確定特解. . 3. 解解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟微分方程應(yīng)用題的方法和步驟思考與練習(xí)思考與練習(xí)求方程的通解求方程的通解 :提示提示:)sin()sin(yxyx

9、y 方程變形為方程變形為yxysincos2 cxy sin22tanln一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: 1、0dtansecdtansec22 yxyxyx； 2、0d)(d)( yeexeeyyxxyx； 3、0dd)1(32 xxyy. 二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: 1、xxyyyxdsincosdsincos ,40 xy； 2、0dsin)1(dcos yyexyx, ,40 xy. . 練練 習(xí)習(xí) 題題三、質(zhì)量三、質(zhì)量克克為為1的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng), ,這外力這外力和時(shí)間成正

10、比和時(shí)間成正比, ,和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比. .在在10 t秒時(shí)秒時(shí), ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘厘米米克克 , ,問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從河邊處處點(diǎn)點(diǎn) 0出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π? (兩岸為平行直線兩岸為平行直線).).設(shè)設(shè)a船速為船速為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設(shè)河寬設(shè)河寬h為為, ,河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系數(shù)為系數(shù)為).

11、).求小船的航行路求小船的航行路線線 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、cyx tantan； 2 2、ceeyx )1)(1(； 3 3、cxy 433)1(4. .二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . .三、三、3 .269 v厘米厘米/ /秒秒. .四、取四、取 0 0 為原點(diǎn)為原點(diǎn), ,河岸朝順?biāo)较驗(yàn)楹影冻標(biāo)较驗(yàn)檩S軸x, ,軸軸y指向?qū)χ赶驅(qū)?岸岸, ,則所求航線為則所求航線為)312(32yyhakx . .例例 9 有高為有高為 1 m 的半球形容器的半球形容器 , 水從它的底部水從它的底部小孔流出小孔流出 , 小孔橫截面積為小孔橫截

12、面積為 1 cm2 (如圖如圖). 開始時(shí)開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水容器內(nèi)盛滿了水 , 求水從小孔流出過程中容器里求水從小孔流出過程中容器里水面的高度水面的高度 h (水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離) 隨時(shí)間隨時(shí)間t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律 .解解由力學(xué)知識(shí)得由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流水從孔口流出的流量為出的流量為,262. 0ddghstvq 流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度cm100horhdhh )1(,d262. 0dtghv 設(shè)在微小的時(shí)間間隔設(shè)在微小的時(shí)間間隔,d,ttt 水面的高度由水面的高度由 h 降至降至 h+dh ,dd2hrv 則則,200)100(100222hhhr )2(,d)200(d2hhhv 比較比較(1)和和(2)得得