大規(guī)模電力系統(tǒng)快速潮流計(jì)算方法研究

1、第 40卷 第 9期 電 力 系 統(tǒng) 保 護(hù) 與 控 制 Vol.40 No.9 2012年 5月 1日 Power System Protection and Control May 1, 2012 大規(guī)模電力系統(tǒng)快速潮流計(jì)算方法研究夏 沛,汪芳宗(三峽大學(xué)電氣與新能源學(xué)院,湖北 宜昌 443002摘要:直接法和迭代法是求解線性方程組的兩類常見(jiàn)方法,比較了多波前算法(MA 、GMRES 算法、FGMRES 算法在大規(guī)模電 力系統(tǒng)潮流計(jì)算中的求解效率。經(jīng) IEEE 118節(jié)點(diǎn)、300節(jié)點(diǎn)和 Poland 共 7個(gè)算例仿真測(cè)試表明,基于 ILU 分解法預(yù)條件子 的 FGMRES 算法的內(nèi)迭代次數(shù)

2、較 GMRES 算法明顯減少,但整體求解時(shí)間較 GMRES 算法長(zhǎng);多波前算法的求解速度較二者快。 基于 PQ 分解法預(yù)條件子,提出一種 GMRES-MA 混合算法,在 GMRES 算法每步迭代過(guò)程生成 Krylov 子空間后,利用多波前算 法(MA直接求解輔助預(yù)處理方程組。算例測(cè)試結(jié)果表明,隨著系統(tǒng)規(guī)模的增長(zhǎng),該方法的內(nèi)迭代次數(shù)較 GMRES 算法有所減 少,并且計(jì)算時(shí)間較 GMRES 算法和多波前算法(MA均有所降低,適合于大規(guī)模電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的快速求解。關(guān)鍵詞:大規(guī)模電力系統(tǒng);潮流計(jì)算;多波前算法(MA;GMRES 算法;FGMRES 算法;GMRES-MA 混合算法Study on

3、fast power flow calculation methods of large-scale power systemsXIA Pei, WANG Fang-zong(School of Electrical Engineering & Renewable Energy, China Three Gorges University, Yichang 443002, ChinaAbstract : Direct and iterative methods are two common solution methods for linear equations. Three met

4、hods for power flow calculation inlarge-scale power systems are compared, namely multifrontal algorithm (MA, GMRES method and FGMRES method. Numerical simulation tests on seven systems including IEEE 118, 300 buses and five Poland test systems indicate that the FGMRES method obviously has fewer inne

5、r iterative numbers than the GMRES method with ILU preconditioner, but it takes more computing time on the whole. Overall, MA is the fastest. Based on PQ preconditioning, this paper presents a combined GMRES-MA method. MA is used to solve the assisted preconditioning equations, after the Krylov subs

6、pace is generated by the GMRES method for each step in the outer-iterations. The results show that, with the scale expanding, this new method has fewer inner iterative numbers than the GMRES method. Furthermore, compared with both MA and GMRES method, the computing time of the new method is decrease

7、d. Therefore, this new method is applicable to the fast power flow calculation in large-scale power systems.Key words:large-scale power systems; power flow calculation; multifrontal algorithm(MA; GMRES method; FGMRES method; combined GMRES-MA method中圖分類號(hào): TM74 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào): 1674-3415(201209-0038-050

8、 引言基于牛頓法的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算,其中 80%的 時(shí)間用于求解形如 =Ax b 的稀疏線性修正方程組, 隨著方程組階數(shù)的不斷增長(zhǎng), 這一點(diǎn)是非常不利的。 針對(duì)大規(guī)模電網(wǎng)的快速潮流計(jì)算方法,目前的研究 主要分為兩個(gè)方向:一是移植到高性能并行計(jì)算機(jī) 求解 1或應(yīng)用集群系統(tǒng)并行處理的技術(shù) 2及其他并 行算法 3;二是結(jié)合大型稀疏矩陣特點(diǎn)尋找計(jì)算量 少、收斂性好、數(shù)值穩(wěn)定性高的算法,這些方法主 要分為兩類:直接法和迭代法。直接法通過(guò)對(duì)雅可比矩陣分塊處理的基礎(chǔ)上進(jìn) 行三角分解、求逆等達(dá)到求解目的。對(duì)于稀疏線性 方程組的直接解法,目前備受關(guān)注的是多波前算法 (Multifrontal Algorithm

9、 , MA 4-6。 文獻(xiàn) 7將其應(yīng) 用于電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)時(shí)域仿真計(jì)算。 文獻(xiàn) 8將其應(yīng)用 于電力系統(tǒng)潮流計(jì)算,研究發(fā)現(xiàn),電力系統(tǒng)的規(guī)模 越大,多波前算法相對(duì)于稀疏三角分解法的加速比 也越明顯。文獻(xiàn) 9結(jié)合 AMD 排序,應(yīng)用多波前方 法提高大規(guī)模稀疏線性修正方程組的求解效率,實(shí) 現(xiàn)快速求解最優(yōu)協(xié)調(diào)電壓控制問(wèn)題。以廣義極小殘余算法(Generalized Minimal夏 沛,等 大規(guī)模電力系統(tǒng)快速潮流計(jì)算方法研究 - 39 -Residual Algorithm, GMRES 為代表的 Krylov 子 空間算法結(jié)合適當(dāng)?shù)念A(yù)處理技術(shù),已廣泛應(yīng)用于高 維稀疏線性方程組的求解 10-14。近年來(lái),基

10、于可變 預(yù)處理技術(shù)的靈活廣義極小殘余算法(Flexible Generalized Minimal Residual Algorithm, FGMRES 也逐漸引起了國(guó)內(nèi)外研究人員的注意。傳統(tǒng)直接法在求解過(guò)程中需要前推回代的特 點(diǎn),使其難以實(shí)現(xiàn)向量化并行求解,迭代法較直接 法更適合并行處理。文獻(xiàn) 15將預(yù)處理共軛梯度法 與傳統(tǒng)直接法進(jìn)行了詳細(xì)比較。數(shù)值結(jié)果表明,對(duì) 于大型系統(tǒng) (幾百個(gè)節(jié)點(diǎn)以上 , 此類迭代法結(jié)合適 當(dāng)?shù)念A(yù)處理明顯優(yōu)于傳統(tǒng)直接法。但是,共軛梯度 法只適用于雅可比矩陣為對(duì)稱正定矩陣的情況, GMRES 類方法適合非對(duì)稱問(wèn)題的求解,為潮流計(jì) 算雅可比矩陣選擇合適的預(yù)條件子能提高算法

11、的收 斂性能并加快迭代收斂的速度。1 理論基礎(chǔ)1.1 多波前算法多波前算法(MA 于上世紀(jì) 80年代提出,在 波前法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái),最初用來(lái)求解有限元問(wèn) 題。 Duff 隨后引進(jìn)了并行多波前法 4,隨著并行計(jì) 算理論和并行計(jì)算機(jī)的發(fā)展,已擴(kuò)展該算法實(shí)現(xiàn)有 限元并行數(shù)值分析 16。多波前法的基本思路是找出、構(gòu)造稀疏矩陣中 的密集子塊(即波前,指連續(xù)的相同結(jié)構(gòu)的列所構(gòu) 成的子矩陣 。 波前的構(gòu)造相當(dāng)于濾掉矩陣中大量的 零元素,使得大規(guī)模的稀疏矩陣集成為多個(gè)小規(guī)模 的密集陣,波前的分解直接調(diào)用高效的 BLAS 庫(kù)。 相互獨(dú)立的波前可以被同時(shí)分解,具有并行特性。 波前更新矩陣由一系列特定的外積組成,

12、這些外積 的結(jié)構(gòu)用樹(shù)狀結(jié)構(gòu)來(lái)表達(dá)。相對(duì)于傳統(tǒng)的稀疏三角分解法直接求解大規(guī)模 稀疏線性方程組,多波前算法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是可以采 用分階段的求解模式:即符號(hào)分析、數(shù)值分解和回 代求解。線性方程組系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)一旦確定并且 在以后的迭代求解過(guò)程中保持不變,那么通常只需 對(duì)該矩陣做一次符號(hào)分析,避免重復(fù)分析占用求解 時(shí)間。文獻(xiàn) 8的潮流計(jì)算結(jié)果表明,分階段求解模 式較直接求解模式更快更靈活。分階段求解模式的基本過(guò)程是首先根據(jù)給定的 稀疏矩陣結(jié)構(gòu),確定填入元,然后生成相應(yīng)的消去 樹(shù) (或集成樹(shù) , 完成符號(hào)分析。 在樹(shù)的指導(dǎo)下不斷 由子節(jié)點(diǎn)的更新陣集成形成父節(jié)點(diǎn)的波前陣,接著 通過(guò)對(duì)波前陣進(jìn)行矩陣分解而得到

13、相應(yīng)的分解因子 陣及更新陣,直到完成對(duì)整個(gè)稀疏矩陣的分解(消 元 , 即數(shù)值分解。 最后, 對(duì)分解因子陣進(jìn)行回代求 解。1.2 GMRES 算法Krylov 子空間法是上世紀(jì) 90 年代提出的一類 迭代法?？紤]方程組 x =b ,式中:n n ×A R 為大 型 稀疏 非奇異 矩陣 ; nb R 為給 定的 向量 , 取 0nx R 為任一向量, 令=+x x z , 設(shè)00 =r b A x 為初始?xì)埩俊?記 Km和mL 為兩個(gè) m 維空間 (m n 。1000, , , K r Ar A rmmspan =" ,并稱這個(gè)空間為由 A和r 生成的 Krylov 子空間,m

14、 m=L AK 。 利用 Galerkin原理,在子空間mK 中尋找近似解mz ,使得殘余向量0mr Az 和mL 中的所有向量正交。通過(guò) Arnoldi迭代過(guò)程求出mK 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基12, , , v v v m " 和 Hessenberg 矩陣m,記mV 是由12, , ,v v vm" 組成的 n m×矩 陣 , 滿 足1m m m+=AV V ,m m m=z V y ,mmy R 。 GMRES 算法原理是通過(guò)使殘量mAz b 最 小的矢量m mz K 來(lái)逼近 =Ax b 的精確解, 從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求1m m m=r y e 范數(shù)最小的問(wèn)題,其中

15、 0=Ax b , 11(1,0,0e R m +=" 。 GMRES 算法 是求解大規(guī)模非對(duì)稱線性方程組的常用算法,具有 收斂速度快、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)。關(guān)于 GMRES 算法 實(shí)施的具體細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn) 17,本文不再贅述。 GMRES 算法廣泛應(yīng)用于工程計(jì)算,在電力系 統(tǒng)分析計(jì)算中,主要應(yīng)用于潮流計(jì)算 10-11、暫態(tài)穩(wěn) 定計(jì)算 12、無(wú)功優(yōu)化 13、工頻電磁場(chǎng)計(jì)算 14等。 GMRES 算法實(shí)施過(guò)程中涉及到大量的矩陣 -向量乘 積運(yùn)算,適合于并行處理,算法的并行實(shí)現(xiàn)成為目 前研究的重點(diǎn)。1.3 迭代法的預(yù)處理技術(shù)Krylov 子空間方法求解大規(guī)模稀疏線性方程 組時(shí),影響算法收斂性能

16、的主要因素是系數(shù)矩陣 A 的譜分布情況(即特征值的分布情況或條件數(shù)。 通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)念A(yù)條件子矩陣對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行預(yù)處 理,使得系數(shù)矩陣的特征值分布變得集中或減少條 件數(shù)。對(duì)于高維稀疏線性方程組 =Ax b ,預(yù)條件子矩 陣 M 的選取原則是尋找合適的 1M A ,使得預(yù)處 理 后 1=A MA I 并 且 輔 助 預(yù) 處 理 方 程 組1j j=z M v 易 于 求 解 。 式 中 , I 為 單 位 陣 , 即 ( 1cond A , ( 1A 。迄今為止,潮流計(jì)算常用 的預(yù)處理方法主要包括 ILU 分解方法(Incomplete LU Factorization Method, ILU 1

17、8、 不完全 Cholesky 分解法(Incomplete Cholesky Factorization Method, IC 19、 分塊對(duì)角矩陣法 (Block Diagonal Method 20、- 40 - 電力系統(tǒng)保護(hù)與控制PQ 分解預(yù)處理方法 21等。研究表明,這幾種預(yù)處 理矩陣沒(méi)有絕對(duì)的好壞。目前,較為流行的帶部分 填充量的 ILU 分解法預(yù)處理效果較好,但在進(jìn)行 ILU 分解時(shí)必須處理好填充量和預(yù)處理效果的平 衡。 PQ 分解法預(yù)處理也是一種較好的方法,但隨 著系統(tǒng)規(guī)模的擴(kuò)大, PQ 分解法的雅可比矩陣完全求 逆的計(jì)算代價(jià)也是很大的。 1.4 FGMRES 算法相對(duì) GMR

18、ES 的預(yù)處理矩陣在整個(gè)迭代過(guò)程中 保持不變,為了進(jìn)一步提高預(yù)處理效果, Saad 22提 出了基于內(nèi)外迭代的 FGMRES 方法, 是一種更具靈 活性的 GMRES 算法。目前,主要應(yīng)用于電力系統(tǒng) 分析和計(jì)算電磁學(xué) 23領(lǐng)域。在 GMRES 算法中,輔助預(yù)處理方程組為 1j j =z M v ,其中 1M 為一個(gè)不變的預(yù)處理子。并 且在每次迭代中,該式都需要求解一次。 FGMRES 方法中輔助預(yù)處理方程組變?yōu)?1j j j =z M v ,也就是 在每次迭代時(shí), 采用一系列的預(yù)處理子 j M 來(lái)處理, 即內(nèi)迭代過(guò)程, j M 可用任何方法求解。相應(yīng)地, 保存 j z 以形成預(yù)處理之后的 Kr

19、ylov 子空間 k Z , 即12, , , Z z z z k k =" , 近 似 解 0k k k =+x x Z y 。 基 于FGMRES 法的牛頓潮流算法的關(guān)鍵在于每步迭代過(guò)程中生成 Krylov 子空間后,都要對(duì)預(yù)條件子進(jìn) 行更新。 理論上, FGMRES 算法具有更好的收斂特 性,且對(duì)運(yùn)行在重負(fù)荷、 B /X 比值較大等極限狀態(tài) 的系統(tǒng)容忍度更高。2 GMRES-MA 混合潮流計(jì)算方法基 于 牛 頓 法 的 潮 流 計(jì) 算 方 程 組 為 :( k k =J X F X ,其中 J 為雅可比矩陣,是一個(gè)稀 疏不對(duì)稱矩陣。本文提出的混合方法是在考慮 GMRES 迭代類

20、方法和多波前方法求解的特點(diǎn)后, 選用 PQ 分解法預(yù)條件子對(duì) J 進(jìn)行預(yù)處理,在 GMRES 算法每步迭代過(guò)程生成 Krylov 子空間后, 利用高效的多波前算法(MA 直接求解輔助預(yù)處 理方程組 1j j =z M v ,達(dá)到快速求解的目的。 PQ 分 解法預(yù)處理矩陣一旦形成,借助多波前算法靈活的 分階段求解模式,只需進(jìn)行一次符號(hào)分析和數(shù)值分 解運(yùn)算,并記錄分解因子陣,在求解輔助預(yù)處理方 程組時(shí),可直接進(jìn)行調(diào)用。3 算例仿真和分析本文基于 Visual Studio 2008編譯環(huán)境,利用 C 語(yǔ)言設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了四種算法應(yīng)用到大規(guī)模電力系統(tǒng)潮 流計(jì)算的情形,它們分別是多波前算法(MA 、基 于

21、ILU 預(yù)條件子的 GMRES 算法和 FGMRES 算法以及基于 PQ 分解法預(yù)條件子的 GMRES-MA 混合算法。潮流計(jì)算模型均采用極坐標(biāo)模型,多波前算法收斂精度為 10-6;對(duì)于 GMRES 和 FGMRES 算法, 內(nèi)迭代收斂精度設(shè)為 10-6,牛頓法外迭代收斂精度 亦設(shè)為 10-6,對(duì)兩類經(jīng)典的算法進(jìn)行了仿真比較。 考慮到牛頓法迭代過(guò)程中第 1步、第 2步求解結(jié)果 往往距精確解較遠(yuǎn),進(jìn)行 GMRES-MA 混合算法的 算例仿真時(shí),第 1步、第 2步的內(nèi)迭代收斂精度設(shè) 為 10-2, 外迭代精度仍設(shè)為 10-6。 所采用的算例模型 為 IEEE 118、 IEEE 300及 5個(gè) P

22、oland 互聯(lián)大規(guī)模 電力系統(tǒng)模型,測(cè)試時(shí)間均為平均值。表 1 給出了 7個(gè)算例系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和雅可比 矩陣 J 條件數(shù)。由表 1可以看出,隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的 擴(kuò)大,其初次形成的雅可比矩陣 J 的條件數(shù)往往是很大的( 103cond e +J ,接近極限運(yùn)行狀態(tài)。 表 1 測(cè)試系統(tǒng)的規(guī)模及其條件數(shù)Table 1 Scales of test systems and condition numbers測(cè)試系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)支路數(shù)J 條件數(shù)118 118 186 5.71e+03 300 300 411 2.55e+05 2 383 2 383 2 896 1.09e+06 2 746wp 2 746 3

23、514 4.61e+06 2 746wop 2 746 3 514 4.48e+06 2 736 2 736 3 504 1.41e+06 2 7372 7373 5061.27e+06表 2為基于 ILU 分解法預(yù)處理的 GMRES 及 FGMRES 算法進(jìn)行潮流計(jì)算的結(jié)果。 同樣的收斂精 度下, FGMRES 算法的內(nèi)迭代次數(shù)較 GMRES 算法 明顯減少, 但由于 FGMRES 算法每次外迭代開(kāi)始前 對(duì)預(yù)處理矩陣進(jìn)行的更新及其 ILU 分解占用了一定 的計(jì)算機(jī)時(shí),導(dǎo)致整體求解時(shí)間并沒(méi)有明顯下降。 由表 3可知,采用多波前算法的潮流計(jì)算時(shí)間較 GMRES 類方法明顯減少。表 2 測(cè)試系統(tǒng)的

24、迭代次數(shù) Table 2 Iteration numbers of test systems外 /內(nèi)迭代次數(shù)測(cè)試 系統(tǒng)MA GMRESFGMRES 118 5 5/4;7;7;6;6 5/4;4;4;4;4 300 5 5/7;9;8;9;9 5/7;7;7;7;7 2 383 3 3/20;20;20 3/20;19;19 2 746wp 5 5/16;23;23;24;23 5/16;15;17;18;18 2 746wop5 5/16;22;22;21;21 5/16;16;17;18;17 2 736 5 5/16;22;23;23;21 5/16;16;18;18;17 2 7376

25、6/16;21;24;23;22;216/16;15;17;17;17;16夏 沛,等 大規(guī)模電力系統(tǒng)快速潮流計(jì)算方法研究 - 41 -表 3 測(cè)試系統(tǒng)的計(jì)算時(shí)間Table 3 Computing time of test systems計(jì)算時(shí)間 /ms測(cè)試系統(tǒng) MA GMRES FGMRES 118 56 57 63 300 603 593 733 2 383 12 866 14 162 14 3422 746wp 28 388 27 948 29 1052 746wop 28 839 28 869 29 7822 736 27 586 29 072 29 9202 737 36 647 3

26、7 521 37 842基于以上仿真分析結(jié)果,本文提出的 GMRES- MA 混合算法選用定常的 PQ 分解法預(yù)條件子,利 用多波前算法靈活的分階段求解模式加速預(yù)處理矩 陣的完全求逆。仿真結(jié)果見(jiàn)表 4,結(jié)果表明,隨著 系統(tǒng)規(guī)模的增長(zhǎng),該方法的內(nèi)迭代次數(shù)較 GMRES 算法有所減少,并且計(jì)算時(shí)間較 GMRES 算法和多 波前算法均有所降低。表 4 GMRES-MA混合算法潮流計(jì)算結(jié)果Table 4 Power flow calculations with combinedGMRES-MA method測(cè)試系統(tǒng) 外 /內(nèi)迭代次數(shù) 計(jì)算時(shí)間 /ms118 5/4;5;10;10;10 62 300

27、5/5;4;18;18;19 676 2 383 3/3;11;13 13 6472 746wp 5/6;6;19;19;19 27 8922 746wop 5/5;5;21;21;22 28 3462 736 5/5;5;18;17;18 28 6942 737 6/5;6;17;17;16;15 36 2224 結(jié)論多波前算法、 GMRES 算法、 FGMRES 算法是進(jìn) 行大規(guī)模電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的有效方法。在同樣的 收斂精度下,基于 ILU 預(yù)條件子的 FGMRES 算法的 內(nèi)迭代次數(shù)較 GMRES 算法明顯減少, 但整體求解時(shí) 間較采用同一預(yù)處理矩陣的 GMRES 算法長(zhǎng); 多波前 算

28、法的求解速度較基于 ILU 預(yù)條件子的 GMRES 類 算法要快。隨著系統(tǒng)規(guī)模的增長(zhǎng),本文提出的 GMRES-MA 混合算法內(nèi)迭代次數(shù)較 GMRES 算法有 所減少, 并且計(jì)算時(shí)間較 GMRES 算法和多波前算法 均有所降低,適合于大規(guī)模電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的快 速求解。參考文獻(xiàn)1 夏俊峰 , 楊帆 , 李靜 , 等 . 基于 GPU 的電力系統(tǒng)并行潮 流 計(jì) 算 的 實(shí) 現(xiàn) J. 電 力 系 統(tǒng) 保 護(hù) 與 控 制 , 2010, 38(18: 100-103.XIA Jun-feng, YANG Fan, LI Jing, et al. Implementation of parallel p

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