自動控制原理第四章2015

1、2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法1 (8(8學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)) )信息學(xué)院信息學(xué)院二二一五年十一月一五年十一月Root-locus analysis2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法2根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念根軌跡的繪制法則根軌跡的繪制法則用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性主要內(nèi)容主要內(nèi)容2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法3 v了解根軌跡的基本特性和相關(guān)概念；了解根軌跡的基本特性和相關(guān)概念；v掌握根軌跡的繪制法則，并能夠熟練地掌握根軌跡的繪制法則，并能夠熟練地 應(yīng)用到根軌跡的繪制過程中；應(yīng)用到根軌跡的繪制過程中；2022年

2、1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法4閉環(huán)極點(diǎn)分布同單位階躍響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系閉環(huán)極點(diǎn)分布同單位階躍響應(yīng)之間的對應(yīng)關(guān)系kD(s) =1+ W (s) = 01 10 001111 2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法5開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)( (開環(huán)零、極點(diǎn)開環(huán)零、極點(diǎn)+ +開環(huán)增益開環(huán)增益) )一個(gè)美好的愿望：一個(gè)美好的愿望：閉環(huán)零極點(diǎn)全部可能的分布圖閉環(huán)零極點(diǎn)全部可能的分布圖用時(shí)域分析法分析系統(tǒng)的三性用時(shí)域分析法分析系統(tǒng)的三性 111( )10mgiiKnjjKszD sWssp 求解難！求解難！110nmjgijispKsz2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根

3、軌跡法6根軌跡法根軌跡法根軌跡法的任務(wù)根軌跡法的任務(wù) 一種由開環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)特征根的簡便方法。一種由開環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)特征根的簡便方法。它是一種用它是一種用圖解方法圖解方法表示特征根與系統(tǒng)參數(shù)的全部表示特征根與系統(tǒng)參數(shù)的全部數(shù)值關(guān)系的方法。數(shù)值關(guān)系的方法。 19481948年，由伊文思（年，由伊文思（W. R. EvansW. R. Evans）提出。）提出。 由已知的開環(huán)零極點(diǎn)和根軌跡增益，用由已知的開環(huán)零極點(diǎn)和根軌跡增益，用圖解圖解方法方法確定閉環(huán)極點(diǎn)。確定閉環(huán)極點(diǎn)。 2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法74.1 4.1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念例例4.1 4.

4、1 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程特征方程閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)2( )220BkDsssK22( )22kBkKWsssK1211 211 2kksKsK 1 1、什么是根軌跡、什么是根軌跡( )0.51kkKW sss222gkKKs ss s:kgKK開開環(huán)環(huán)放放大大倍數(shù)倍數(shù)根根軌軌跡跡放放大大倍數(shù)倍數(shù)時(shí)間常數(shù)型時(shí)間常數(shù)型根軌跡型根軌跡型2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法84.1 4.1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念例例4.1 4.1 單位反饋單位反饋二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程特征方程閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)2( )220kD sssK2

5、2( )22kBkKWsssK1211 211 2kksKsK 1 1、什么是根軌跡、什么是根軌跡( )0.51kkKW sss2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法900-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j-1+j-1-j1s2s33kK 當(dāng)當(dāng) 取不同值時(shí)，閉環(huán)特征根如下：取不同值時(shí)，閉環(huán)特征根如下：KK1211 211 2kksKsK 2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法10 由由00變化時(shí)，閉環(huán)特征根在變化時(shí)，閉環(huán)特征根在S S平面上移動的平面上移動的軌跡如下圖所示。這就是該系統(tǒng)的軌跡如下圖所示。這就是該系統(tǒng)的根軌跡。根軌跡。kK1 1、根軌跡

6、上的點(diǎn)均為閉環(huán)極點(diǎn)。、根軌跡上的點(diǎn)均為閉環(huán)極點(diǎn)。2 2、直觀地表示了參數(shù)、直觀地表示了參數(shù) 變化時(shí)，變化時(shí)， 閉環(huán)特征根的變化。閉環(huán)特征根的變化。3 3、利用根軌跡可使我們在廣泛的、利用根軌跡可使我們在廣泛的 范圍內(nèi)了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動范圍內(nèi)了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動 態(tài)特性。態(tài)特性。分析系統(tǒng)性能分析系統(tǒng)性能。根軌跡的特點(diǎn)：根軌跡的特點(diǎn)：kK2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法11可見：根軌跡是分析系統(tǒng)的有力工具。可見：根軌跡是分析系統(tǒng)的有力工具。 : 01kkKK 當(dāng)變化化時(shí)，根根軌跡跡（閉環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)）均均在在左左半半平平面面，因因此此系系統(tǒng)對所所有有值均均是是穩(wěn)定定性性: :穩(wěn)定定的

7、的。 2kkk：K暫暫態(tài)態(tài)性性能能由由值值變變化化對對應(yīng)應(yīng)閉閉環(huán)環(huán)極極點(diǎn)點(diǎn)的的分分布布定定性性的的給給出出分分析析。當(dāng)當(dāng)0 0 0 0. .5 5時(shí)時(shí)，根根軌軌跡跡在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)，輸輸出出響響應(yīng)應(yīng)振振蕩蕩的的。K K K K 3k穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)特特性性：開開環(huán)環(huán)傳傳函函在在原原點(diǎn)點(diǎn)有有一一極極點(diǎn)點(diǎn)，I I型型系系統(tǒng)統(tǒng)，根根軌軌跡跡上上的的值值即即為為靜靜態(tài)態(tài)誤誤差差系系數(shù)數(shù)。K K2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法122 2、根軌跡方程根軌跡方程（根軌跡滿足的基本條件根軌跡滿足的基本條件）式中：式中： 開環(huán)零點(diǎn)；開環(huán)零點(diǎn)； 開環(huán)極點(diǎn)；開環(huán)極點(diǎn)； 根軌跡放大系數(shù)。)()()()(

8、)()()()()(11212121sDsNKpszsKsDsDsNsNKKsWgnjjmiigKizjp控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù): :零極點(diǎn)零極點(diǎn)形式形式gK根軌跡型根軌跡型2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法13或可寫作或可寫作 ( )1( )10( )gBKK N sDsWsD s gnjjmiiKpszssDsN1)()()()(11閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為根軌跡根軌跡方程方程2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法14 這個(gè)方程式表達(dá)了開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特這個(gè)方程式表達(dá)了開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征方程式的關(guān)系，該方程

9、的解即為閉環(huán)特征根，征方程式的關(guān)系，該方程的解即為閉環(huán)特征根，因此該式又稱為因此該式又稱為根軌跡方程根軌跡方程。11()( )1( )()miingjjszN sD sKsp 令令 s=+j 代入可得代入可得復(fù)數(shù)方程復(fù)數(shù)方程：注意：注意：s為閉環(huán)傳函為閉環(huán)傳函的特征根的特征根( (極點(diǎn)極點(diǎn)) )，- -zj和和- -pi為開環(huán)傳函的零為開環(huán)傳函的零點(diǎn)和極點(diǎn)。點(diǎn)和極點(diǎn)。 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 幅值和相角幅值和相角2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法15幅值條件：幅值條件： 1111()()mmiiiinbjjjjszlN sD sspL1gK開開環(huán)環(huán)有限有限零零點(diǎn)到點(diǎn)到s s點(diǎn)的矢點(diǎn)的矢量量長

10、長度之度之積積開開環(huán)環(huán)極極點(diǎn)到點(diǎn)到s s點(diǎn)的矢點(diǎn)的矢量量長長度之度之積積11()( )1 ( )()miingjjszN sD sKsp 根軌跡方程：根軌跡方程：2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法16輻角條件輻角條件：（充分必要條件）：（充分必要條件）與與Kg 無關(guān)無關(guān)式中：式中： 第第i個(gè)開環(huán)有限零點(diǎn)到個(gè)開環(huán)有限零點(diǎn)到s點(diǎn)的矢量輻角；點(diǎn)的矢量輻角； 第第i個(gè)開環(huán)極點(diǎn)到個(gè)開環(huán)極點(diǎn)到s點(diǎn)的矢量輻角；點(diǎn)的矢量輻角； 1111()()mnmnijijijijN sszspD s180 (12 )(0,1,2,)o ij注：根軌跡上的點(diǎn)均滿足幅值條件和輻角條件。注：根軌跡上的點(diǎn)均滿足幅

11、值條件和輻角條件。 11()( )1 ( )()miingjjszN sD sKsp 根軌跡方程：根軌跡方程：2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法17s11231: 13180 23 12180S S1不滿足幅角條件，因此不是根軌跡上的點(diǎn)。123 1111()()mnmnijijijijN sszspD s180 (12 )(0,1,2,)o 1、解二階方程求得根軌跡。解二階方程求得根軌跡。2 2、通過檢驗(yàn)是否滿足幅角、通過檢驗(yàn)是否滿足幅角 條件來求得根軌跡條件來求得根軌跡。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法18 知道了根軌跡上的點(diǎn)滿足的基本條件，實(shí)際上還是知道了

12、根軌跡上的點(diǎn)滿足的基本條件，實(shí)際上還是不能繪制出根軌跡。不能繪制出根軌跡。 要比較快捷的繪制根軌跡，需要找出根軌跡的一些要比較快捷的繪制根軌跡，需要找出根軌跡的一些基本規(guī)律?；疽?guī)律。相角條件是確定相角條件是確定s平面上根軌跡的充分必要條件。繪平面上根軌跡的充分必要條件。繪 制根軌跡時(shí)，只需要使用相角條件。當(dāng)需要確定根軌制根軌跡時(shí)，只需要使用相角條件。當(dāng)需要確定根軌 跡上各點(diǎn)的跡上各點(diǎn)的Kg值時(shí)，才使用幅值條件。值時(shí)，才使用幅值條件。 說明說明2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法191111()( )1( )() ()()0miingjjnmigjijszN sD sKspspK

13、sz ：根根軌軌跡跡方方程程結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。01,2giiKsp in 1 1起點(diǎn)（起點(diǎn)（ = 0= 0）gK4.2 4.2 根軌跡的繪制法則根軌跡的繪制法則2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法20開環(huán)有開環(huán)有限零點(diǎn)限零點(diǎn)結(jié)論：結(jié)論：n 階系統(tǒng)有階系統(tǒng)有m條根軌跡終止于開環(huán)有限零點(diǎn)條根軌跡終止于開環(huán)有限零點(diǎn)。2. 2. 終點(diǎn)終點(diǎn) gK111 ()()0nmijijgspszK 11 ()0( 1) mgjjjKszszim 根軌跡方程可寫成：根軌跡方程可寫成： 2 n n- -mm條條根根軌軌跡跡111111()110()mimminnnn

14、 mgjjszsa ssb ssKsp Kg g1 1只只有有s s 時(shí)時(shí)滿滿足足= =0 0條條件件。結(jié)論：結(jié)論：n-m條根軌跡終止于無限遠(yuǎn)（開環(huán)無限零點(diǎn)）條根軌跡終止于無限遠(yuǎn)（開環(huán)無限零點(diǎn)）。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法21根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)：根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)：mnnm。條條終終止止于于開開環(huán)環(huán)有有限限零零點(diǎn)點(diǎn)條條根根軌軌跡跡終終止止于于開開環(huán)環(huán)無無限限零零點(diǎn)點(diǎn)( )2 2,0gkKW ss snm：例例2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法223.3. 根軌跡的連續(xù)性、對稱性和分支數(shù)根軌跡的連續(xù)性、對稱性和分支數(shù) 根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)( (

15、條數(shù)條數(shù)) )等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)n。( (實(shí)際系統(tǒng)實(shí)際系統(tǒng)nm，根軌跡描述特征根的變化規(guī)律根軌跡描述特征根的變化規(guī)律) ) 根軌跡是根軌跡是連續(xù)連續(xù)的曲線的曲線。( (Kg是連續(xù)變化的是連續(xù)變化的) ) 根軌跡總是根軌跡總是對稱于實(shí)軸對稱于實(shí)軸。( (實(shí)際的物理系統(tǒng)的參實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)數(shù)都是實(shí)數(shù)特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)特征根不是實(shí)特征根不是實(shí)數(shù)就是共軛復(fù)數(shù)數(shù)就是共軛復(fù)數(shù)) )結(jié)論：根軌跡是連續(xù)且對稱于實(shí)軸的曲線，其分支數(shù)結(jié)論：根軌跡是連續(xù)且對稱于實(shí)軸的曲線，其分支數(shù) 等于系統(tǒng)特征方程的等于系統(tǒng)特征方程的或系統(tǒng)的或系統(tǒng)的。2022年1月17日

16、第四章第四章 根軌跡法根軌跡法23-p10數(shù)學(xué)知識補(bǔ)充：數(shù)學(xué)知識補(bǔ)充：jjspsp 110spsz 45360spsp sS 是終點(diǎn)是終點(diǎn)-Pj 是起點(diǎn)是起點(diǎn)s-z1-p1s-p4-p511180spsz 開環(huán)零點(diǎn)用表示開環(huán)零點(diǎn)用表示開環(huán)極點(diǎn)用開環(huán)極點(diǎn)用表示表示2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法24 判斷方法判斷方法：在實(shí)軸上找一試驗(yàn)點(diǎn)：在實(shí)軸上找一試驗(yàn)點(diǎn)S，如果，如果S點(diǎn)的右側(cè)點(diǎn)的右側(cè)的開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之合為偶數(shù)個(gè)，則該點(diǎn)不在根軌的開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)之合為偶數(shù)個(gè)，則該點(diǎn)不在根軌跡上；若為奇數(shù)個(gè)則在根軌跡上。跡上；若為奇數(shù)個(gè)則在根軌跡上。( () )4 4實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡

17、 1, jipz。當(dāng)當(dāng)全全部部是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)根據(jù)輻角條件：根據(jù)輻角條件：11()()180 (12 )(0,1,2,)mnoijijszsp 2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法25 2kWs當(dāng)當(dāng)中中存存在在共共軛軛復(fù)復(fù)時(shí)時(shí)。極極點(diǎn)點(diǎn)共軛復(fù)極點(diǎn)的出現(xiàn)相當(dāng)于增加了共軛復(fù)極點(diǎn)的出現(xiàn)相當(dāng)于增加了45 360對輻角條件沒有影響，對輻角條件沒有影響，因此實(shí)軸上的根軌跡因此實(shí)軸上的根軌跡的判斷方法不變。的判斷方法不變。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法26 兩條或兩條以上的根軌跡分支在兩條或兩條以上的根軌跡分支在 S 平面上相平面上相遇又立即分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)（或匯合點(diǎn)）。

18、此時(shí)遇又立即分開的點(diǎn)稱為分離點(diǎn)（或匯合點(diǎn)）。此時(shí)特征方程式會出現(xiàn)特征方程式會出現(xiàn)重根重根。 5 5 根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn) swj4p3p1p2pA AB B0sC C2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法27設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 ( )( )( )110( )( )gkgD sK N sN sWsKD sD s 1 21 0dKKrrddsdWsd WsdsdssF ssFssss 10rKdWssF ssdddd設(shè)設(shè)重重根根為為-,-,則則s =-s =-處處為為分分離離點(diǎn)點(diǎn)，設(shè)設(shè)重重根根有有 個(gè)個(gè)，則則在在分分離離點(diǎn)點(diǎn)處處特特征征

19、方方程程可可寫寫為為： 2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法28 分離點(diǎn)分離點(diǎn)（會合點(diǎn)會合點(diǎn)）的坐標(biāo)的坐標(biāo) 的計(jì)算公式的計(jì)算公式：ds 0 1kWsNs D sN s D s如果上式的階次較高，計(jì)算重根就比較麻煩。這如果上式的階次較高，計(jì)算重根就比較麻煩。這時(shí)可采用圖解法時(shí)可采用圖解法（或試探法或試探法）來確定重根來確定重根。 10 0 2kkddWsdsds Ws或 21 kkkdWsddsds WsWs 2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法29（1 1）若實(shí)軸上的根軌跡的左右兩側(cè)均為開環(huán)零點(diǎn)）若實(shí)軸上的根軌跡的左右兩側(cè)均為開環(huán)零點(diǎn) （包括無限零點(diǎn)）或開環(huán)極點(diǎn)（包

20、括無限極（包括無限零點(diǎn)）或開環(huán)極點(diǎn)（包括無限極 點(diǎn)），則在此段根軌跡上必有分離點(diǎn)。點(diǎn)），則在此段根軌跡上必有分離點(diǎn)。（2 2）分離點(diǎn)若在復(fù)平面上，則一定是成對出現(xiàn)的。）分離點(diǎn)若在復(fù)平面上，則一定是成對出現(xiàn)的。（3 3）只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離 點(diǎn)。點(diǎn)。分離點(diǎn)的確定需代入特征方程中驗(yàn)算。分離點(diǎn)的確定需代入特征方程中驗(yàn)算。注注2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法30 1212133.25ggKKsKszWsssspsp 例例4 4. .2 2 已已知知求求分分離離點(diǎn)點(diǎn)。11,2 11.5zpj , - （1 1） 212133.25

21、 012.12 0.12kgddssds WsdsKsdd 舍 （3）3）計(jì)計(jì)算算分分離離點(diǎn)點(diǎn)由由式式 解解得得：解：解：（2 2）畫根軌跡。在）畫根軌跡。在- -1 1 - -之間存在分離點(diǎn)之間存在分離點(diǎn)2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法31112( )()( )( )()()ggKK N sKszWsD sspsp若若P1，P2為實(shí)極點(diǎn)，則該系統(tǒng)的根軌跡圖如下為實(shí)極點(diǎn)，則該系統(tǒng)的根軌跡圖如下圖所示。圖所示。1 1、驗(yàn)證了、驗(yàn)證了“若實(shí)軸上的根軌跡若實(shí)軸上的根軌跡的左右兩側(cè)均為開環(huán)零點(diǎn)或極的左右兩側(cè)均為開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)（包括無限的），則在此段點(diǎn)（包括無限的），則在此段根軌跡上必

22、有分離點(diǎn)。根軌跡上必有分離點(diǎn)。2 2、實(shí)軸等分圓周，由根軌跡的、實(shí)軸等分圓周，由根軌跡的對稱性決定。對稱性決定。3 3、可以證明該根軌跡是圓。、可以證明該根軌跡是圓。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法32 0.5gK sW ssjsj180例：系統(tǒng)開環(huán)傳函為例：系統(tǒng)開環(huán)傳函為用用Matlab化根軌跡。化根軌跡。 %8-23b.mnum=1 0;den=conv(1 -0.5+0.5i,1 -0.5-0.5i);w=tf(num,den);rlocus(w) 則對應(yīng)則對應(yīng) 根軌跡為：根軌跡為：2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法33(21)(0,1

23、,1)kkll設(shè)設(shè)l為進(jìn)入分離點(diǎn)的根軌跡的條數(shù)，則分離角為進(jìn)入分離點(diǎn)的根軌跡的條數(shù)，則分離角當(dāng)當(dāng)l=2時(shí)，分離角為時(shí)，分離角為090。分離角：分離角：根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線方向切線方向和離開和離開分離點(diǎn)的分離點(diǎn)的切線方向切線方向之間的夾角。之間的夾角。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法34 當(dāng)當(dāng) nm 時(shí)時(shí)，則有則有（n-m) 條根軌跡分支終止條根軌跡分支終止于無限零點(diǎn)。這些根軌跡分支延漸近線方向趨向于無限零點(diǎn)。這些根軌跡分支延漸近線方向趨向無窮遠(yuǎn)的，因此漸近線即為無窮遠(yuǎn)處的根軌跡。無窮遠(yuǎn)的，因此漸近線即為無窮遠(yuǎn)處的根軌跡。漸近線由它與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)來確定。

24、漸近線由它與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)來確定。6 6、根軌跡漸近線、根軌跡漸近線漸近線的條數(shù)漸近線的條數(shù)：n-m漸近線包括：與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)漸近線包括：與實(shí)軸的夾角和交點(diǎn)。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法35（1 1）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)求解原理求解原理：對于無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn)來說，所有開環(huán)對于無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn)來說，所有開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)都聚集在一起，其位置為零點(diǎn)、極點(diǎn)都聚集在一起，其位置為- -k k。 gnjjnjnjnmiimimimnjjmiiKpspszszspszssDsN1)()()()(111111111()n mkss當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，即得，即得ksskji

25、pzs由幅值條件由幅值條件11mjjbz11niiap2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法36111111mmnnmmnnsbsbsbsa sasa11nnsb s.111()nab s111()n mab sn ms111()nab s111111mmmmnnnnsbsbsbsa sasa多項(xiàng)式除法多項(xiàng)式除法2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法37gnjjnjnjnmiimimimnjjmiiKpspszszspszssDsN1)()()()(11111111111111()n mnmkgn mn mjijisKspzss令上式中等式兩邊的項(xiàng)系數(shù)相等，得漸近線與實(shí)

26、軸交點(diǎn)：令上式中等式兩邊的項(xiàng)系數(shù)相等，得漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)：mnzpmiinjjk11s(a1-b1)2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法38（2 2）漸近線與實(shí)軸夾角）漸近線與實(shí)軸夾角求解原理求解原理：對于無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn)來說，與所有開環(huán)對于無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn)來說，與所有開環(huán)有限零點(diǎn)、極點(diǎn)的夾角都相等，為有限零點(diǎn)、極點(diǎn)的夾角都相等，為 ，即，即180 (12 )(0,1,2,)nmji1118012mnijijmn 獨(dú)立的漸近線只有獨(dú)立的漸近線只有（n-m）條。條。代入輻角條件得：代入輻角條件得：即漸近線的傾角為：即漸近線的傾角為：2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法39

27、例例4.3 4.3 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為)4)(1()(sssKsWgK試確定其根軌跡漸近線。試確定其根軌跡漸近線。180 (12 )180 (12 )60 ,60 ,18030nm 解（解（1 1）計(jì)算漸近線傾角。）計(jì)算漸近線傾角。 因?yàn)橐驗(yàn)?, ,所以可得漸近線傾角為所以可得漸近線傾角為0,3mn2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法40111405303nmjijikpznms 因?yàn)橐驗(yàn)?；所以漸近線交點(diǎn)為所以漸近線交點(diǎn)為0120,1,4;0,3pppmn（2 2）計(jì)算漸近線交點(diǎn)）計(jì)算漸近線交點(diǎn)。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法41出射角出射角

28、：根軌跡離開：根軌跡離開 S S平面上開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處平面上開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處 的切線方向與實(shí)軸正方向的切線方向與實(shí)軸正方向 的夾角。的夾角。 入射角入射角 ：根軌跡進(jìn)入：根軌跡進(jìn)入 S S平面上開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處平面上開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處 的切線方向與實(shí)軸正方向的切線方向與實(shí)軸正方向 的夾角。的夾角。scsr7 7根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角wjs3P2-P 1-P 0s1-z2-Z12212022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法42例例4.4 4.4 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為已知開環(huán)傳遞函數(shù)為計(jì)算起點(diǎn)計(jì)算起點(diǎn)（-1+j1）的出射角。的出射角。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根

29、軌跡法43由于由于 點(diǎn)無限靠近點(diǎn)無限靠近（-1+j1-1+j1）點(diǎn)點(diǎn) ，可用，可用（-1+j1-1+j1）代換代換 ，則有，則有解、對于根軌跡上無限靠近解、對于根軌跡上無限靠近（-1+j1-1+j1）的點(diǎn)的點(diǎn) 應(yīng)滿足輻角條件，即應(yīng)滿足輻角條件，即ks(2)(0)(3)(1)(1)180 (1 2 )kkkkkssssjsj ks1(2)1245ksj ks2(3)1326.6ksj 1(0)10135ksj 3(1)11)90ksjjj (1)ksj 4 22322gkKsWss sss2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法44把以上諸值代入輻角條件，即得起點(diǎn)把以上諸值代入輻角條件

30、，即得起點(diǎn)（-1+j1）的的出射角為出射角為1123()180 (12 ) 4112345 ,135 ,26.690，而而(2)(0)(3)(1)(1)180 (1 2 )kkkkkssssjsj 角度替換后得角度替換后得：123118026.6 43111180ji42022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法45111180nmscjiji111180nmsrjiji同理可得同理可得入射角入射角的計(jì)算公式為的計(jì)算公式為通過這個(gè)例子，可以得到計(jì)算通過這個(gè)例子，可以得到計(jì)算出射角出射角的公式為的公式為2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法46 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特

31、征方程的根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)純虛根（實(shí)部為零）。此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài). . sjw8 8根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)確定交點(diǎn)的方法有二確定交點(diǎn)的方法有二： （1 1）把把 代入特征方程式代入特征方程式； （2 2）利用勞斯判據(jù)利用勞斯判據(jù)。( (勞斯表第一列元素不勞斯表第一列元素不 變號，但有為零項(xiàng)變號，但有為零項(xiàng)) )2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法47例例4.5 4.5 設(shè)有開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)有開環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算臨界放大系數(shù)。試確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算臨界放大系數(shù)

32、。 2( )(1)(0.51)(1)(2)KKKKKWss sss ss32( )3220BKDssssK設(shè)設(shè) 時(shí)根軌跡與虛軸相交時(shí)根軌跡與虛軸相交，于是令上式中于是令上式中sjwKlKK解解: : 方法（方法（1 1） 根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，可得閉環(huán)特征方程式為根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，可得閉環(huán)特征方程式為2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法48 則得則得 亦即亦即 解得解得： ，對應(yīng)根軌跡的起點(diǎn)對應(yīng)根軌跡的起點(diǎn)； , ,對應(yīng)根軌跡與虛軸相交。對應(yīng)根軌跡與虛軸相交。 0, 0lKKKw23()23(2)0BlDjKjwwww2323020lKwww2, 3lKKKw 3lKKK

33、交點(diǎn)處的（臨界放大系數(shù)）為交點(diǎn)處的（臨界放大系數(shù)）為:2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法49 當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程將會遇到當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，解特征方程將會遇到困難，此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益困難，此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。的臨界值和根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法503213s2s2KK1s223KK0s2KK方法（方法（2 2） 用勞斯判據(jù)計(jì)算交點(diǎn)和臨界放大系數(shù)用勞斯判據(jù)計(jì)算交點(diǎn)和臨界放大系數(shù)32( )3220BKDssssK勞斯表勞斯表特征方程特征方程=0臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定

34、則得臨界放大系數(shù)則得臨界放大系數(shù)3KlKK2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法51根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可根據(jù)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)可根據(jù) 行的輔助方程求得，行的輔助方程求得，即即令上式中令上式中 ，即得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為，即得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 3KK1,22sj 2s2320KsK2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法52閉環(huán)特征方程還可寫為：閉環(huán)特征方程還可寫為：式中：式中： 是一個(gè)常數(shù)，它是各特征根之和。是一個(gè)常數(shù)，它是各特征根之和。2mn 1111()0nnnkjnjWssRsa sa111nnjjjjaRp9 9根軌跡的走向根軌跡的走向( (根之和根之和) )

35、 當(dāng)當(dāng)n-m=2時(shí)時(shí), ,一些根軌跡右行一些根軌跡右行, ,則另一些根軌跡必則另一些根軌跡必左行左行。理由理由： 11111()()()nmnnnkjgijjjiW sspKszsp s與與Kg無關(guān)，有限值無關(guān)，有限值閉環(huán)極點(diǎn)2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法53 當(dāng)一些根隨當(dāng)一些根隨Kg的增加而增加時(shí)，必有另一的增加而增加時(shí)，必有另一些根隨些根隨Kg的增加而減小的增加而減小。 當(dāng)當(dāng)Kg變化時(shí)，隨變化時(shí)，隨Kg變化的變化的n個(gè)閉環(huán)特征根的和個(gè)閉環(huán)特征根的和具有常數(shù)性。具有常數(shù)性。 在根軌跡圖上表現(xiàn)為一些根軌跡分支向左延在根軌跡圖上表現(xiàn)為一些根軌跡分支向左延伸，另外一些分支必向右

36、延伸。伸，另外一些分支必向右延伸。( (根軌跡的根軌跡的自自平衡性平衡性) )結(jié)論結(jié)論:(:( n-m=2時(shí)時(shí)) )2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法54（1 1）起點(diǎn)起點(diǎn)（ ）: : 開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)即根軌跡開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)即根軌跡 的起點(diǎn)的起點(diǎn)。（2 2）終點(diǎn)終點(diǎn)（ ）: :根軌跡的終點(diǎn)即開環(huán)傳遞函數(shù)根軌跡的終點(diǎn)即開環(huán)傳遞函數(shù) 的零點(diǎn)的零點(diǎn)（包括包括 個(gè)有限零點(diǎn)個(gè)有限零點(diǎn) 和和 個(gè)無限零點(diǎn)個(gè)無限零點(diǎn)）。）。（3 3）根軌跡條數(shù)及對稱性根軌跡條數(shù)及對稱性: :根軌跡條數(shù)為根軌跡條數(shù)為 ， 根軌跡對稱于實(shí)軸根軌跡對稱于實(shí)軸。（4 4）實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡: :實(shí)軸上

37、根軌跡右側(cè)的開環(huán)零實(shí)軸上根軌跡右側(cè)的開環(huán)零 點(diǎn)點(diǎn), ,極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和應(yīng)是奇數(shù)極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和應(yīng)是奇數(shù)。0gKgK max( ,)n mnmm根軌跡的九條繪制法則：根軌跡的九條繪制法則：2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法55（5 5）分離點(diǎn)與會合點(diǎn)。分離點(diǎn)與會合點(diǎn)滿足方程）分離點(diǎn)與會合點(diǎn)。分離點(diǎn)與會合點(diǎn)滿足方程 10 0kkWsWs或（6 6）根軌跡的漸近線。）根軌跡的漸近線。 漸近線的傾角漸近線的傾角 180 (12 )(0,1,2,)nm漸近線交點(diǎn)漸近線交點(diǎn) 11nmjijikpznms2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法56（9 9）根軌跡走向。）根軌跡走向。 如果

38、特征方程的階次如果特征方程的階次 ，則一些根軌，則一些根軌 跡右行時(shí)，另一些根軌跡必左行。跡右行時(shí)，另一些根軌跡必左行。2mn入射角入射角njmiijosr111180111180njmiijosc出射角出射角（7 7）根軌跡的出射角與入射角。）根軌跡的出射角與入射角。 （8 8）與虛軸交點(diǎn)。）與虛軸交點(diǎn)。 將將 代入閉環(huán)特征方程，令方程兩邊實(shí)部代入閉環(huán)特征方程，令方程兩邊實(shí)部和虛部分別相等，求出和虛部分別相等，求出 和臨界和臨界 。sjwgKw2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法57 根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增 益值益值Kg的增

39、加而運(yùn)動的，要用的增加而運(yùn)動的，要用箭頭箭頭標(biāo)示根軌標(biāo)示根軌 跡運(yùn)動的方向跡運(yùn)動的方向。 根軌跡的起點(diǎn)根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn)開環(huán)極點(diǎn)- -pi) )用符號用符號“”標(biāo)標(biāo) 示；根軌跡的終點(diǎn)示；根軌跡的終點(diǎn)( (開環(huán)零點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)- -zj) )用符號用符號“o o”標(biāo)標(biāo) 示。示。手工繪圖時(shí)還需注意：手工繪圖時(shí)還需注意：2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法58 設(shè)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為( )1(1)gKKKKWssTss sT4.2.2 4.2.2 自動控制系統(tǒng)的根軌跡自動控制系統(tǒng)的根軌跡1. 1. 二階系統(tǒng)的根軌跡二階系

40、統(tǒng)的根軌跡21, 2KngnKTKTww(1)KKsTs2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法59( )0KWs2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法60二階系統(tǒng)的根軌跡圖如右圖所示。二階系統(tǒng)的根軌跡圖如右圖所示。gK如果要使得系統(tǒng)的阻尼比為如果要使得系統(tǒng)的阻尼比為 12則從原點(diǎn)作阻尼線則從原點(diǎn)作阻尼線0R, 交根軌跡于交根軌跡于R（見右圖見右圖）。）。 開環(huán)放大系數(shù)開環(huán)放大系數(shù) 應(yīng)為應(yīng)為 KK12KKT上式和第三章第三節(jié)用分析法所得的二階工程最佳參數(shù)相同上式和第三章第三節(jié)用分析法所得的二階工程最佳參數(shù)相同 1cos2線：阻阻尼尼求最佳阻尼時(shí)候的求最佳阻尼時(shí)候的Kk?1

41、11miibgKjjlTKKL2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法61 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，開環(huán)傳遞函數(shù)為()()( ) (0.2)0.2 (51)(0.2)gKKsaK saWsasss s+=+2 2開環(huán)具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)開環(huán)具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法62( )0KWs =復(fù)平面上的根軌跡是一個(gè)圓（證明詳見教材）復(fù)平面上的根軌跡是一個(gè)圓（證明詳見教材）()( )(0.2)gKKsaWss s+=+2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法63(0, a)1 a 時(shí)時(shí)的的根根軌軌跡跡S1S2

42、()( )(0.2)gKKsaWss s+=+2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法642022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法65二階系統(tǒng)附加一個(gè)二階系統(tǒng)附加一個(gè)極點(diǎn)極點(diǎn)的系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖如下圖。的系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖如下圖。開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為( ) (1)(1)KKKWss sTs3. 3. 三階系統(tǒng)的根軌跡三階系統(tǒng)的根軌跡(1)(4)gKs ss14T 2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法662022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法672022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法68本例說明：二階系統(tǒng)中附加一個(gè)極點(diǎn)，隨著本例說明：二階系統(tǒng)

43、中附加一個(gè)極點(diǎn)，隨著 增大，根軌跡會增大，根軌跡會向右變化，并穿過虛軸，使系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。向右變化，并穿過虛軸，使系統(tǒng)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。gK 467. 01s( )(1)(4)gKKWss ss2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法692022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法70已知系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。已知系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。 2( )(4)(420)gkKWss sss 共有共有4 4個(gè)根軌跡分支，連續(xù)且對稱于實(shí)軸個(gè)根軌跡分支，連續(xù)且對稱于實(shí)軸。 實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上由實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上由0 0到到-4-4的線段。

44、的線段。解、解、 根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn) -p1=0、-p2=-4、-p3=-2+4j、-p4=-2-4j； 終止于終止于4 4個(gè)無限零點(diǎn)（沒有有限零點(diǎn)個(gè)無限零點(diǎn)（沒有有限零點(diǎn)) )。 例題例題2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法71漸近線與橫軸的夾角為漸近線與橫軸的夾角為取取=0、l、2、3時(shí)，分別為時(shí)，分別為45、135、225、315。21 0,1,2,345 , 135nm (4)(4)漸近線漸近線: :114 2 42 424nmijijkpzjjn ms 漸近線在橫軸上的公共交點(diǎn)為漸近線在橫軸上的公共交點(diǎn)為2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根

45、軌跡法72求解上式可得三個(gè)分離點(diǎn)為求解上式可得三個(gè)分離點(diǎn)為 123222.4522.45ddjdj 分離角分離角(21)0,1dll=2=2時(shí)，時(shí)，090 0kWs(5) (5) 分離點(diǎn)和分離角分離點(diǎn)和分離角2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法73復(fù)數(shù)極點(diǎn)復(fù)數(shù)極點(diǎn)p3和和p4的出射角的出射角04900003180(1206090 )90 42336(808)0gsjKjwwwww， 帶帶入入2(4)(420)0gs sssK：特特征征方方程程111180nmscjiji(6) (6) 出射角出射角(7)(7)與虛軸的交點(diǎn)與虛軸的交點(diǎn)103.25gKw 0-4jws3p1p2p4p

46、0600900120-2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法740-2-4jws0gK 0gK 0gK 0gK gK gK gK gK 10 (3.25)gK 10 (3.25)gK1d3d2d0900900900902022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法75一些常見的開環(huán)零、極點(diǎn)分布及其相應(yīng)的根軌跡一些常見的開環(huán)零、極點(diǎn)分布及其相應(yīng)的根軌跡2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法76111()(1)( )(1)()gkaKKszKT sWssTss sp 4.2.3 4.2.3 零度根軌跡零度根軌跡：如果負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母中：如果負(fù)反饋系統(tǒng)開

47、環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母中S 最高次冪系數(shù)不同號最高次冪系數(shù)不同號，或者，或者正反饋正反饋系統(tǒng)開環(huán)傳函的系統(tǒng)開環(huán)傳函的分子、分母中分子、分母中s最高次冪同號，系統(tǒng)根軌跡為零度根最高次冪同號，系統(tǒng)根軌跡為零度根軌跡。軌跡。1( )0KWs11()1()gszs spK最高次冪系數(shù)不同號：最高次冪系數(shù)不同號：2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法77由根軌跡方程由根軌跡方程 1-Wk(s)=0 0 推得相角條件為推得相角條件為11()()2mniiijszsp 所以，零度根軌跡和常規(guī)（所以，零度根軌跡和常規(guī)（180）根軌跡相比）根軌跡相比凡是凡是和相角有關(guān)系和相角有關(guān)系的繪制法則都要發(fā)生

48、變化。的繪制法則都要發(fā)生變化。11()( )1( )()miingjjszN sD sKsp正反饋時(shí)：正反饋時(shí)：0 0度度2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法782,(0,1,2,)nm111360nmsrjiji111360nmscjiji入射角入射角出射角出射角變化的繪制法則：變化的繪制法則：v實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的根軌跡：若實(shí)軸上某點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)若實(shí)軸上某點(diǎn)右側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn) 的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該點(diǎn)在實(shí)軸的根軌跡上。的個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該點(diǎn)在實(shí)軸的根軌跡上。v漸進(jìn)線與實(shí)軸的夾角為：漸進(jìn)線與實(shí)軸的夾角為： v根軌跡的起始角和終止角根軌跡的起始角和終止角 2022年1

49、月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法79 例例4.7 4.7 試?yán)L制下圖示系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制下圖示系統(tǒng)的根軌跡。 解解 （1 1） 二個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：二個(gè)開環(huán)極點(diǎn)： ， ； 一個(gè)有限零點(diǎn)：一個(gè)有限零點(diǎn)： 和一個(gè)無限零點(diǎn)。和一個(gè)無限零點(diǎn)。 00p111TpaTz11 111kaakK TsTWsTs sT 2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法80（2 2）實(shí)軸上根軌跡：）實(shí)軸上根軌跡： 在實(shí)軸的在實(shí)軸的 和和 區(qū)間存在根軌跡。區(qū)間存在根軌跡。（3 3）分離點(diǎn)與會合點(diǎn)：）分離點(diǎn)與會合點(diǎn)： 分離點(diǎn)與會合點(diǎn)分別為分離點(diǎn)與會合點(diǎn)分別為 110T1aT 0kWs11111aaTsTT2111

50、1aaTsTT2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法81 根軌跡如下圖所示根軌跡如下圖所示。 不難證明，復(fù)平面上的軌跡是一個(gè)圓，圓心為有限不難證明，復(fù)平面上的軌跡是一個(gè)圓，圓心為有限零點(diǎn)零點(diǎn) ，半徑為，半徑為 。 aTz1111TTa2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法8210(1)( )(101)ksW sss定義：定義：以非根軌跡增益以非根軌跡增益( (比如比例微分環(huán)節(jié)或慣性比如比例微分環(huán)節(jié)或慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) ) )為可變參數(shù)繪制的根軌跡。為可變參數(shù)繪制的根軌跡。5( )(1)(1)kW ssssT閉環(huán)特征閉環(huán)特征方程方程等效開環(huán)等效開環(huán)系統(tǒng)系統(tǒng)與

51、常規(guī)（常義）根軌跡的與常規(guī)（常義）根軌跡的開環(huán)傳函具有相同形式開環(huán)傳函具有相同形式繪制思路：繪制思路：4.2.4 4.2.4 參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法83 假設(shè)系統(tǒng)的可變參數(shù)是某一時(shí)間常數(shù)假設(shè)系統(tǒng)的可變參數(shù)是某一時(shí)間常數(shù)T，原特征，原特征方程式變?yōu)榉匠淌阶優(yōu)?( )( ) ( )( )gTkeqTK N sTNsWsWsD sDs式中，式中， 、 分別為等效的開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分分別為等效的開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式，母多項(xiàng)式，T的位置與原根軌跡放大系數(shù)的位置與原根軌跡放大系數(shù) 完全相同。完全相同。( )TNs( )TDsgK2022年1月17日

52、第四章第四章 根軌跡法根軌跡法84該系統(tǒng)在繪制以該系統(tǒng)在繪制以 為參變量的根軌跡時(shí)，應(yīng)遵循為參變量的根軌跡時(shí)，應(yīng)遵循零度根軌跡零度根軌跡的繪的繪制規(guī)則。制規(guī)則。例例4.9 4.9 給定控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為給定控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試作出以試作出以為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分析為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分析取何值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。取何值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解解: : 閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程 改寫為改寫為 等效開環(huán)傳遞函數(shù)為等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 ,0(2)KsaWsassa 212(21)(1)0KWsssssssaaaa (1)110(21)eqsWsss a(1)( )(21)eqs

53、Wsss a用所有不含用所有不含的項(xiàng)做分母的項(xiàng)做分母2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法85相應(yīng)的根軌跡繪于右圖。相應(yīng)的根軌跡繪于右圖。由圖可知，當(dāng)由圖可知，當(dāng) 時(shí)系統(tǒng)時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍： 例例4.9 4.9 系統(tǒng)的根軌跡系統(tǒng)的根軌跡1a 10 a本例說明，盡管在許多情況下，都是繪制常義根軌本例說明，盡管在許多情況下，都是繪制常義根軌跡，但是在繪制參數(shù)根軌跡、研究正反饋系統(tǒng)、處跡，但是在繪制參數(shù)根軌跡、研究正反饋系統(tǒng)、處理非最小相位系統(tǒng)時(shí)，都有可能遇到繪制零度根軌理非最小相位系統(tǒng)時(shí)，都有可能遇到繪制零度根軌跡的情形。跡

54、的情形。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法86 4.3 4.3 用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性 根軌跡繪出以后，對于一定的根軌跡繪出以后，對于一定的 值，即可利用值，即可利用幅值條件，確定相應(yīng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）。如幅值條件，確定相應(yīng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）。如果閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)是已知的，則可以根據(jù)閉環(huán)系果閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)是已知的，則可以根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)的位置以及已知的輸入信號，分析系統(tǒng)零、極點(diǎn)的位置以及已知的輸入信號，分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。統(tǒng)的暫態(tài)特性。gK2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法87 根據(jù)已知的根據(jù)已知的 值，在根軌跡上確定特征

55、根的位置值，在根軌跡上確定特征根的位置時(shí)，可以采用時(shí)，可以采用試探法試探法。 gK取試驗(yàn)點(diǎn)取試驗(yàn)點(diǎn) 連接連接 與開環(huán)零極點(diǎn)與開環(huán)零極點(diǎn)0s0s對于對于n=m的系統(tǒng)，可先在實(shí)軸上選實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，找出閉的系統(tǒng)，可先在實(shí)軸上選實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，找出閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)后再確定閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)。環(huán)實(shí)極點(diǎn)后再確定閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)。量得模值，帶入幅量得模值，帶入幅 值條件，求得值條件，求得Kg值。值。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法88 1140KgWss ssK由圖可知：在由圖可知：在 有一實(shí)根，有一實(shí)根，設(shè)其為設(shè)其為: :4 11Rs 實(shí)根求法：實(shí)根求法：1. 試探法試探法 2. 作圖法作圖法由特征方程求得由特征方程求得

56、 時(shí)的一個(gè)特征根：時(shí)的一個(gè)特征根：10gK 114.6Rs-= 14gKKWss ss10gK 例例4.11 4.11 系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，確定系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，確定 的閉環(huán)極點(diǎn)。的閉環(huán)極點(diǎn)。解解 閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法89設(shè)另外兩個(gè)復(fù)根為：設(shè)另外兩個(gè)復(fù)根為：由特征方程得由特征方程得: :根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系有：根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系有：可求得二共軛復(fù)根可求得二共軛復(fù)根: :2232RjRjswsw 321231454ggs ssKsssKsRsRsR12312212325,0.24.6 0.20.2,1.46gRRRR R Rj

57、jKssswww 2,30.21.46Rj 2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法90例例4.11 4.11 已知系統(tǒng)如圖，繪制根軌跡，并確定已知系統(tǒng)如圖，繪制根軌跡，并確定=0.5=0.5時(shí)的時(shí)的Kg值及對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。值及對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。-112 0.5 cos60s0.3337j0.578 ：作作圖圖求求得得解：解： 12gKKWss ss2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法913 s2.3326由特征方程根與系數(shù)的關(guān)系由特征方程根與系數(shù)的關(guān)系求得另一實(shí)根為求得另一實(shí)根為：3s=s2.3326s s+1 s+21.0383gK由幅值條件求得由幅值條件求得：202

58、2年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法92 4.3.2 4.3.2 用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能 控制系統(tǒng)分析：控制系統(tǒng)分析： 定性分析穩(wěn)定性分析。定性分析穩(wěn)定性分析。 定量分析暫態(tài)響應(yīng)分析，定量計(jì)算性能指標(biāo)。定量分析暫態(tài)響應(yīng)分析，定量計(jì)算性能指標(biāo)。 控制系統(tǒng)的性能由閉環(huán)零、極點(diǎn)的位置決定的?？刂葡到y(tǒng)的性能由閉環(huán)零、極點(diǎn)的位置決定的。根軌跡是閉環(huán)特征根隨參數(shù)變化的軌跡，根軌跡法分根軌跡是閉環(huán)特征根隨參數(shù)變化的軌跡，根軌跡法分析系統(tǒng)性能的析系統(tǒng)性能的最大優(yōu)點(diǎn)最大優(yōu)點(diǎn)就是可以就是可以直觀直觀地看出系統(tǒng)參數(shù)地看出系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)的變化-參數(shù)的可

59、視化參數(shù)的可視化，這也正，這也正是時(shí)域法的不足。選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，使閉環(huán)極點(diǎn)位于是時(shí)域法的不足。選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，使閉環(huán)極點(diǎn)位于恰當(dāng)?shù)奈恢?，獲得理想的系統(tǒng)性能。恰當(dāng)?shù)奈恢茫@得理想的系統(tǒng)性能。2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法93(1)(1)閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)。一般當(dāng)時(shí)一般當(dāng)時(shí) ，可忽略，可忽略極點(diǎn)的影響。這就是所謂極點(diǎn)的影響。這就是所謂的概念。使高階下降的概念。使高階下降階，從而簡化系統(tǒng)分析。階，從而簡化系統(tǒng)分析。 由根軌跡求出閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置后，就由根軌跡求出閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置后，就可以按第三章所介紹的方法來分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。可以按第三

60、章所介紹的方法來分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。215RR2R2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法94 假設(shè)假設(shè) 不變不變隨著阻尼角隨著阻尼角 的改變，極點(diǎn)將沿著以的改變，極點(diǎn)將沿著以 為半為半徑的圓弧移動。徑的圓弧移動。arccosnwnw(2) (2) 閉環(huán)極點(diǎn)為一對復(fù)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)為一對復(fù)極點(diǎn)由由 （或阻尼角（或阻尼角 ）和）和 決定系統(tǒng)的暫態(tài)決定系統(tǒng)的暫態(tài)特性。特性。nwarccos2022年1月17日第四章第四章 根軌跡法根軌跡法95 假設(shè)假設(shè) 不變不變則隨著則隨著 增大，極點(diǎn)將沿矢量方向延伸。增大，極點(diǎn)將沿矢量方向延伸。nw等阻尼等阻尼線線促使系統(tǒng)以較快的促使系統(tǒng)以較快的速度達(dá)到穩(wěn)