河南省鄭州市2020屆高三數(shù)學(xué)第三次質(zhì)量預(yù)測試卷理

1、鄭州市2020年高中畢業(yè)年級第三次質(zhì)量預(yù)測理科數(shù)學(xué)試題卷本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.考生應(yīng)首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效.交 卷時(shí)只交答題卡.第I卷（選擇題共 60分）、選擇題（本大題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）2.3.已知集合A= xA. ( 1 , 3)已知 z = ( 1 + i )I Jx1 v 2,集合 B=y | y=(2 i ),則 | z |“0VRK 2”是“方程. 0,3)22二十一=1表示橢圓”的2 m2）,xC R,

2、則集合An B等于. (0, 3).充分不必要條件C .必要不充分條件.既不充分也不必要條件4.已知 cos ( 2019 + & ) 2一， ），貝U COS a25.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征.如函數(shù)4xf(x)= 的圖象大致是l4x-16.等比數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和為 Sn ,若 S2n = 4 ( a1 + a3 + + a2n_1) ( n e N ), a1a2 a3= 27,則 a5 =A . 81B. 24C.

3、 - 81D. 247 .某同學(xué)10次測評成績的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，總體的中位數(shù)為12.若要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則4x+ 2y的值是A. 12B. 14C . 16D. 188 .關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗(yàn). 受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的試驗(yàn)來估計(jì)的值，試驗(yàn)步驟如下：先請高二年級n名同學(xué)每人在小卡片上隨機(jī)寫下一個(gè)實(shí)數(shù)對(x, y) (0<x<1, 0vyv1);若卡片上的x, y能與1構(gòu)成銳角三角形，則將此卡片上交；統(tǒng)計(jì)上交的卡片數(shù)，記為m;根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)n, m估計(jì) 的4( n- m)C . n),(A>0, co > 0,4

4、m值.那么可以估計(jì)的值約為A . m B . nm nn9 .已知函數(shù) f (x) = Asin (cox +I I < )的部分圖象如圖所示，則使 f (a + x)2f (ax) =0成立的a的最小正值為A. B.一C . D.一10 .如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的體積是A 19V5Lb, 26L54541922C . -D2211 .F1,F2是雙曲線 x_- y=1 (a>0,b>0)a b2=-a,則雙曲線離心率的取值范圍為A.百，i) B.夜，+8)12 .設(shè)函數(shù) f (x)在R上存

5、在導(dǎo)函數(shù)(0, +2 上有 2 f (x) 3x2 >0,取值范圍為A . - 1 , 1BC. 1 , +8)d3uuir uum的左右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn) P滿足PF1 PF2c . (1, V3d . (1, 723, (x) , x e r,有 f( x) f( x) = x，在2f (nn- 2) f (nrj) > 3m+ 6m 4,則頭數(shù) m 的. (8,1.(00, 1 U 1 , +8)第n卷（非選擇題共 90分）本卷包括必考題和選考題兩部分.第 13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22-23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題（本大題共 4小題

6、，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.）13 .已知向量 a= （1,入），b=（入，2）,若（a+b） / （ ab）,貝U 入=.14 . 12本相同的資料書分配給三個(gè)班級，要求每班至少一本且至多六本，則不同的分配方法 共有 種.15 .設(shè)函數(shù)h （x）的定義域?yàn)镈,若滿足條件：存在m, n D,使h （x）在m, n上的值域 為2m, 2n,則稱h （x）為“倍脹函數(shù)”.若函數(shù)f （x） = ax （a>1）為“倍脹函數(shù)”， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.16 .已知數(shù)列an滿足 a = 1, an+1 = 2 an + 1,若集合 M= n | n（n + 1）> t （an

7、 + 1）,ne N 中有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .三、解答題：本大題共 6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（一）必考題：共 60分17 .（本小題滿分12分）在4ABC中，AB= 2必,AC= 志,AD為 ABC的內(nèi)角平分線， AD= 2.BD .(I )求的值；DC(n)求角a的大小.18.(本小題滿分12分)如圖， ABC AB= BC= 2, Z ABO 90° , E, F分別為AB, AC邊的中點(diǎn)，以 EF為折痕把AEF折起，使點(diǎn) A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PB= BE.(I )證明：EF，平面PBE;(n)設(shè)N為線段PF上動點(diǎn)，求直線 BN與平

8、面PCF所成角的正弦值的最大值.19.(本小題滿分12分)在我國，大學(xué)生就業(yè)壓力日益嚴(yán)峻，伴隨著政府政策引導(dǎo)與社會觀念的轉(zhuǎn)變，大學(xué)生創(chuàng)業(yè)意識，就業(yè)方向也悄然發(fā)生轉(zhuǎn)變.某大學(xué)生在國家提供的稅收，擔(dān)保貸款等很多方面的政策扶持下選擇加盟某專營店自主創(chuàng)業(yè)，該專營店統(tǒng)計(jì)了近五年來創(chuàng)收利潤數(shù)yi (單位：萬元)與時(shí)間ti (單位：年)的數(shù)據(jù)，列表如下：li12345 y.2,42.74.1647.91(I)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說明(計(jì)算結(jié)果精確到 0. 01) .(若| r | >0. 75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)一y)

9、Xtiyt - nly附t相關(guān)系數(shù)公式二二廠"-=r=心二河,一萬心仙一切加一處參考數(shù)據(jù)頌苑7, 5",(H)該專營店為吸引顧客，特推出兩種促銷方案.方案一：每滿500元可減50元；方案二：每滿500元可抽獎(jiǎng)一次，每次中獎(jiǎng)的概率都為 2,中獎(jiǎng)就可以獲得 100元現(xiàn)金5獎(jiǎng)勵(lì)，假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立.某位顧客購買了 1050元的產(chǎn)品，該顧客選擇參加兩次抽獎(jiǎng)，求該顧客獲得 100元現(xiàn)金 獎(jiǎng)勵(lì)的概率.某位顧客購買了 1500元的產(chǎn)品，作為專營店老板，是希望該顧客直接選擇返回150元現(xiàn)金，還是選擇參加三次抽獎(jiǎng)？說明理由.20 .(本小題滿分12分)已知拋物線 C: y2=2p

10、x (p>0),圓 E: (x 3) 2+y2= 1 .uur(1) F是拋物線C的焦點(diǎn)，A是拋物線C上的定點(diǎn)，AF = (0, 2),求拋物線C的方程；(n)在(I)的條件下，過點(diǎn) F的直線l與圓E相切，設(shè)直線l交拋物線C于P, Q兩 點(diǎn)，則在x軸上是否存在點(diǎn) M使/ PMO=QMOO為坐標(biāo)原點(diǎn))？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由.21 .(本小題滿分12分)x e 已知函數(shù) f(x) =一 + a(xlnx) , aC Rx(I)當(dāng)a= e時(shí)，求f (x)的最小值；(n)若f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求參數(shù) a的取值范圍.(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一

11、題作答.如果多做，則按所做的 第一題計(jì)分.22 .(本小題滿分10分)選彳% 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程x= 一 2一 t在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線G:y=什ty=x2 .以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為 p = 4 VFsin oc .4uuu uuu(I)若直線l與x, y軸的交點(diǎn)分別為 A, B,點(diǎn)P在C1上，求BA BP的取值范圍；(n)若直線l與C2交于M N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為(一2, 1),求I I QMI I QN| |的值.23 .(本小題滿分10分)選彳4-5:不等式選講已知函數(shù) f (x) = |

12、x+ 1 | + a | x+ 2 | .(I )求a=1時(shí)，f (x) w 3的解集；(n)若f (x)有最小值，求a的取值范圍，并寫出相應(yīng)的最小值.、選擇題（本大題共1. D 2 , D 3.C 4.C二、填空題:本大題共2020年高中畢業(yè)年級第三次質(zhì)量預(yù)測理科數(shù)學(xué)參考答案12個(gè)小題，每小題5分，共60分）5.D 6.C 7.A 8.C 9.B 10.A 11.B 12.B4小題,每小題5分，共20分,把答案填寫在答題卡上.2513.72. 14 . 25. 15.(1,ee) , 16. 1 t -.4三、解答題:本大題共 6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.

13、解:(1)在ABD中，由正弦定理得:在 ACD中，由正弦定理得：-CD.A sin 2BDsin 2AC Lsin ADC因?yàn)?sinADB sin ADC ,AC 3, AB(2)在 ABD中,由余弦定理得BD2 AB2AD22AB在ACD中,由余弦定理得CD2 AC2AD22AC又叫CD2A 16 8.3cos 2 7 43cosA 2-B-,L sinADB_ AAD cos 2A AD cos2A 一、 A又不 ，故二,A 二L L 12分 222 6318.解：（1）E,F分別為AB,AC邊的中點(diǎn)，所以EF / BC.1分因?yàn)?ABC 90o,所以 EF BE,EF PE又因?yàn)锽E

14、I PE E 所以EF 平面PBE.16ABACcos-L24 3cos公 L211分.3分10分b分(2)取BE的中點(diǎn)O,連接PO,由(1)知EF 平面PBE,EF 平面BCFE,所以平面PBE 平面BCFE因?yàn)镻B BE PE,所以PO BE,又因?yàn)镻O 平面PBE,平面PBEI平面BCFE BE所以PO 平面BCFE . .6分過O作OM / BC交CF于M ,分別以O(shè)B,OM,OP所在直線為x, y,z軸建立空間直角坐標(biāo) 系，如圖所示.311 uuur 1. 3mLl1. 3.8分P(0,0,) C(；,2,0)F( -,1,0) PC (1,2, T),PF ( ；1,)222222

15、2uur uurN為線段PF上一動點(diǎn)設(shè)N (x,y,z),由PN PF(0 1),得5 2, T(1 ),齦 1 T1).9分ur設(shè)平面PCF的法向量為m (x,y,z),UULUTirPC m 則 uuuu irPF m-x 2y21-x y23z2與2 zur取m0(1,1, . 3).10 分設(shè)直線BN與平面PCF所成角，unr ir2.5 2 21.11分uur irbn msin |cos BN m | -uur u |BN|m|4.7035直線BN與平面PCF所成角的正弦值的最大值為 兇0.12分3519.解：(1)由題知F 3,y 4.7,ti yi85.2, J 6 t )2.

16、10,. ：(» y)2. 22.78i 1, i 1I i 1ntiyi nty i 114.7.227.814.72, 56.9514.715.0950.97 0.75 3 分故y與t的線性相關(guān)程度很高，可用線性線性回歸模型擬合(2)顧客選擇參加兩次抽獎(jiǎng)，設(shè)他獲得100元現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)為事件一一一1 2 3 12A. P(A) C2 6分5 5 25設(shè)X表示顧客在三次抽獎(jiǎng)中中獎(jiǎng)的次數(shù)，由于顧客每次抽獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立，則X B(3,2) 8 分52 , - 所以 E(X) np 3 1.2 10分5由于顧客每中一次可獲得100元現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，因此該顧客在三次抽獎(jiǎng)中可獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金額的均值為 1

17、.2 100 120 11分由于顧客參加三次抽獎(jiǎng)獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)的均值120小于直接返現(xiàn)的150元，所以專營店老板希望顧客參加抽獎(jiǎng)12分20.解：(1)拋物線C的焦點(diǎn)為F(p,0) , 1分2uurp由 AF (0,2)知 A(：, 2), 2分代入拋物線方程得 p 2,故拋物線C的方程為：y2 4x 4分(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)F (1,0)的直線不可能與圓 E相切；所以過拋物線焦點(diǎn)與圓相切的直線的斜率存在，設(shè)直線斜率為k,則所求的直線方程為 y k(x 1),所以圓心到直線l的距離為d12kL當(dāng)直線,與圓相切時(shí)，有d 1_|2k|_、32 , k 一1k3所以所求的切線方程為y易x 1

18、)或y爭x 1)不妨設(shè)直線 : yT(X1),交拋物線于P(xi, y) ,Q(X2, y2)兩點(diǎn),聯(lián)立方程組y2 ya 9(x4x),得 X2 14x 1 0.所以 x1 x214,x1 x21,.8分假設(shè)存在點(diǎn)M(t,0)使,PMO QMO則kpMkQM0.所以kPMkQMyy2X1tx2 tV(X1 1X1 t. 3, Jx2 t1)3 r(X1 1)(X2 t) (X2 1)(X1 t) T(Xi t)(X2 t)-3 2x1X2 (t 1)(X13(X1 t)(X2 t).32 (t 1) 14 2tX2) 2t(Xi t)(X2 t)3 ( 12 12t)03 (Xi t)(X2

19、t)即t 1故存在點(diǎn)M( 1,0)符合條件10分當(dāng)直線l : y 乎(x 1)時(shí),由對稱性易知點(diǎn) M( 1,0)也符合條件 11分綜上存在點(diǎn)M( 1,0)使 PMO QMO12分21.解析X，、 e(1) f (x) a(x 1n x), te義域(0,)Xf (X)嗎a區(qū)1XX(X 1)(ex ax)2xX 、e 時(shí)，f (x) e*,由于 ex ex在(0,x)恒成立,故f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，f(x)在(1,)單調(diào)遞增.故 f (X)minf(1) a e 0. f(x)(x % ax) x當(dāng)a e時(shí)，f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，f(x)在(1,)單調(diào)遞增f (x)min f (

20、1) a e 0, f(x)只有一個(gè)零點(diǎn) 6分當(dāng) a e時(shí)，ax ex,故ex ax ex ex 0在(0,)恒成立，故 f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，f (x)在(1,)單調(diào)遞增.f(x)minf (1) a e 0.故當(dāng)a e時(shí)，f(x)沒有零點(diǎn) 8分x當(dāng)a e時(shí)，令ex ax 0,得xxa, (x) e-,(x)x(x 1)e2x(x)在(0,1)單調(diào)遞減，(x)在(1,)單調(diào)遞增(x)m.(1) e,10分(x)在(0,)有兩個(gè)零點(diǎn) x1,x2, 0 x1 1x2f(x)在(0, X)單調(diào)遞減，在(x1,1)單調(diào)遞增，在(1,x2)單調(diào)遞減，在(x2,)單調(diào)遞增,f(1) a e 0,又x0時(shí)，f(x) ,x + 時(shí)f(x)此時(shí)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),綜上f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a e12分22.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)解：(1)由題意可知：直線l