專題橢圓中的定點定值問題

1、橢圓中的定點定值問題(n)直線MP勺方程為,聯(lián)立橢圓方程得:1.橢圓C:3)的右焦點為F (1, 0),且(回,田)在橢圓C上.(1)求橢圓的標準方程；(2)動直線 l過點F,且與橢圓X ,那么點P的坐標為恒成立？假設存在,求出點解：(1)由題意知c=1 .由橢圓定義得C交于A、B兩點,試問 x軸上是否存在定點Q,使得Q的坐標；假設不存在,請說明理由.,同理可得點 Q的坐標為:上 -3,因橢圓C方程為 叵(2)假設在x軸上存在點Q (m, 0),使得目或1恒成立.那么直線PQ的方程為:當直線l的斜率不存在時,A(1,), B(1,田),由于(區(qū)I,化簡得 匚三即當山時,山I ,故直線PQ過定點

2、山卜面證實區(qū)I時,日恒成立.3.,橢圓C過點A (1, g),兩個焦點為(-1 , 0), (1, 0).當直線l的斜率為0時,0)貝以(1)求橢圓C的方程；(2) E, F是橢圓C上的兩個動點,如果直線 AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證實直線 率為定值,并求出這個定值.EF的斜符合題意. 當直線l的斜率不為0時,設直線l的方程為x=ty+1解：(1)由題意,c=1,可設橢圓方程為 ,解得b2=3, b2 1+b2 4b*(舍去)4由x=ty+1及叵得2 , 2所以橢圓方程為 工+J.4 3(2)設直線AE方程為：y=k綜上所述：在恒成立.2.如圖,中央在坐標原點,焦點分別在回軸和可軸上的

3、橢圓目,習都過點3的離心率均為(I)求橢圓 目與橢圓3的標準方程；(n)過點 網(wǎng)引兩條斜率分別為 2d的直線分別交S ,目于點p, Q 當日 時,問直線pq是否過定點？假設過定點,求出定點坐標；假設不 過定點,請說明理由.x設 E (xE, yE), F所以由韋達定理得:(xF, yF),算e+=4- k)所以：, .L3+4kz2-12在上式中以-K代K,可得(i-l)十彳,0 44k (3-2k) x+4 (1 - k ) 2-12=0 ,由于點A (1,旦)在橢圓上,24k (3-2k)3+4 k 24 4-k) 2-12-W3+4 k 2,yE=k xE+-| - k 又直線AF的斜率

4、與AE的斜率互為相反數(shù),324 q+k) -12F- 3+4k23,yF= - kF+-2+k所以直線EF的斜率K-EFVf ¥e旺 XE二工,即直線EF的斜率為定值,其值為 12224.橢圓E: ' +2 a2Z_=1 (a>b>0)經(jīng)過點(0,臟),離心率為 近,點O為坐標原點.3(I)求橢圓E的標準方程；(n)過左焦點F任作一直線l ,交橢圓E于P、Q兩點.(i )求加?瓦的取值范圍；(ii )假設直線l不垂直于坐標軸,記弦 PQ的中點為 M過F作PQ的垂線FN交直線OM于點N,證實: 點N在一條定直線上.解：(I )由題意可得b=y5 e=c=V6,a 3

5、又a2 b2=c2 ,解得(n) (i ) F ( 2,a=y%, c=2,即有橢圓方程為 工+直二二1；6 20),當直線的斜率不存在時,設 P (x1,yi), Q；/ i求橢圓C的方程；假設過橢圓C的下頂點D點作兩條互相垂直的直線分別與橢圓 C相交于點P, M求證：直線PM經(jīng)過 一定點；,橢圓C的萬程十+y2二(x2, y2),直線方程為 x=- 2,可得 P ( - 2,立),Q ( - 2,30P?0Q=4-？=；當直線的斜率存在,設 l ： y=k (x+2),設3 33P (x1, y1), Q (x2, y2),八、3 廠、TL-/ 口 ,、代入橢圓萬程 x2+3y2=6,可得

6、(1+3k2) x2+12k2x+12k2 - 6=0, x1+x2=一士且一1+3/x1x2二 l+3k2證實：由題意得 PD MDW斜率存在且不為 0,設直線PD的斜率為k,貝U PD y=kx 1,由,y=ky - 1父2得3 + F = 1l.Sk9k2+l9k2 - 11廣些1),用-J代k,得9k2+1km(*A/+9J+9OP? 0Q=x1x2+y1y2=x1x2+k2 (x1+2) (x2+2)=(1+k2) x1x2+2k2 (x1+x2) +4k2= (1+k2) ?12k2 -6l+3k2+2k2? (- 12)+4k2l+3k29k-I 9- k2取一 18k , 18

7、k10kPM:18k2810k2 - 6 10 飛l+3k2綜上可得,3 3k%,由 k2>0, 3k2+1 >1,可得-6< OP?OQ<10y=10k9k2+l k2+9什|, .直線PMS過定點T4(0,4)5OP?OQ的取值范圍是-6,解:橢圓C的中央到右準線的距離k2+9(ii )證實：由直線l的斜率一定存在,且不為 0,可設PQ y=k (x+2), FN y=-l (x+2),設d=va2-b2、 箕 1 + Kp ,12k2- 6k2(x0, y0),貝U x0=由 x1+x2=- q,可得 x0=2l+3k2l+3kz4=y0=k (x0+2)2k3k

8、2+l,直線 OM勺斜率為kOM=-2=-A,直線 OM y=-Lx, 打 3k3k令 t=a2 - 5, t >0,貝U 1二"+4)=t+ +9>21 理 +9=4/5 +9,尸-告(升2)得】k=- 31 ,即有k取何彳t, N的橫坐標均為-3,那么點N在一條定直線x=-3上. y=v當且僅當t=2向,/二5+2遙時,等號成立,橢圓 準線的距離的最小值為Vs+2.C的中央到右6 .橢圓的右焦點到直線25.橢圓C工+ a2-=1 (a>b> 0).b2離為二,離心率 w ,因是橢圓上的兩動點,動點不滿足叵的距(1)假設橢圓C過點(3, 0)和(2V2 ).

9、一,(其中由于常數(shù)).(1)求橢圓標準方程；(2)當 山且直線凹與區(qū)斜率均存在時,求 x 的最小值；(3)假設可是線段 口的中點,且,問是否存在常數(shù) 目和平面內(nèi)兩定點x| ,使得動點回滿足 I I I ,假設存在,求出因的值和定點三J ；假設不存在,請說明理 由.解：(1)由題設可知：右焦點到直線3 的距離為：叵岡,又叵,匚m(2)設,連接OM OP由相切條件知.叵.,橢圓標準方程為.設囚那么由匚三口得囚得,當且僅當 a 時取等所以為定值.(3)LH228.分別過橢圓E:二+J=1 (a>b>0)左、右焦點F1、F2的動直線11、12相交于P點,與橢圓Ea b分別交于 A、B與C、

10、D不同四點,直線OA OB OC OD的斜率分別為 k1、k2、k3、k4,且滿足k1+k2=k3+k4,當11與x軸重合時,|AB|=2jl, |CD|=3/33上,所以.所以,所以回點是橢圓上的點,(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在定點 M N,使得|PM|+|PN|為定值？假設存在, 假設不存在,說明理由.解：(1)當 11 與 x 軸重合時,k1+k2=k3+k4=0,即 k3=-k4, 12 垂直于 x 軸,得 |AB|=2a=2 b,|CD|=&-7.橢圓設該橢圓的左、,那么由橢圓的定義L L22解得a=J5, b=&, .橢圓E的方程為.V 士的右焦點為F2 (

11、1, 0),點 國 在橢圓上.(2)焦點F1、F2坐標分別為(-1, 0), (1,當直線11或12斜率不存在時,P點坐標為(-當直線11 , 12斜率存在時,設斜率分別為 m1,0),1, 0)或(1, m20),2 V2(1)求橢圓方程;點 I在圓 X 上,M在第一象限,過 M作圓匚三I的切線交橢圓于 P、Q兩點,問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是,求出定值,如不 是,說明理由.解：(1)日右焦點為 日設 A (x1 , y1), B (x2, y2),由,3x 1 + x 9-2+Sid/=1(2+3巨)在橢圓上所以橢圓方程為x=XI *21 X X21X|K 2,.

12、k1+k2=k3+k4, 由題意知m1w m2之-2 一叫2-2mJ) x2+6叫,+3叫2-6=0 ,叫2-2,同理 k3+k4=叱2-2,即(m1m2+2 (m2 m1) =0,m1m2+2=0 設 P (x, y),那么由當直線11或12斜率不存在時,P點坐標為(-1, 0)或(1, 0)也滿足,2點P (x, y)點在橢圓工2工2=1上,存在點M, N其坐標分別為(0, -1)、(0, 1),使得|PM|+|PN|為定值2訴.9.如圖,在平面直角坐標系從原點O向圓R (x-x0)2廿2xOy中,橢圓 C:工+工=1,設R (x0,24 122+ (y-y0) 2=8作兩條切線,分別交橢

13、圓于點24 (l+k/)1224 (1+ ()_36+72 k J=l+2k/*12l+2k12=36(1)假設直線OP OQM相垂直,求圓 R的方程；(2)假設直線OP OQ的斜率存在,并記為 k1, k2,求證：(3)試問OP2+OQ21否為定值？ 假設是, 求出該值；假設不是, 解：(1)由圓R的方程知,圓R的半徑的半徑 尸2sL 由于直線OP, OQM相垂直,且和圓 R相切,所以|0R仁五尸4,即孫2+了02二16,又點R在橢圓C上,所以y0)是橢圓C上的任一點,巳Q.(ii )當直線 W落在坐標軸上時,顯然有 OP2+OQ2=36綜上：OP2+OQ2=3 6法二：(i)當直線OP,

14、OQ不落在坐標軸上時,設 P (x1, y1),由于2k1k2+1=0,所以即*2222 1=0,即y1y2=x 1*'由于P (x1 , y1), Q (x2, y2),在橢圓C上,所以,聯(lián)立,解得(2)由于直線所以同理24 12f 22打了1F=124 12 122+=1Q (x2, y2),'不二±2我*卒二十工我 所以所求圓R的方程為(宜±2五)2+ (y±2&) 2=8OP: y=k1x, OQ y=k2x ,與圓 R相切,124 12 1(X一1口)(1+k/)k1 , k2化簡得d+Y)口+%北)蟲/ +婷-8=.所以(12-

15、*)小汶,整理得/+餐24,所以vj +噲(12-+ (12*/) =12,所以 OP2+OQ2=36(ii )當直線 OP OQ落在坐標軸上日顯然有 OP2+OQ2=36綜上：OP2+OQ2=3 6k2 - C2x0+2k2y0)葉上/+¥口'一 8二.,是方程(x02 - 8 ) k2 - 2x0y0k+y02 - 8=0的兩個不相等的實數(shù)根,-b+Jb 2 - 4皿一小2-云；由于點r(x0, y0)在橢圓C上,所以2a2a君說 Hn ?1 ?尤凹2xa 1 Hn行+誦: 1,即 V.= 12-亍乂口, 所以 k/z二一2 _ g = -2,即 2k1k2+1=0.(3

16、) OP2+OQ21定值,定值為 36,理由如下：法一：(i)當直線 OP.不落在坐標軸上時,設 P (x1, y1), Q (x2, y2),224二0l+2ki10.橢圓C:(1)求橢圓日的方程；(2)假設直線二：且以 為直徑的圓經(jīng)過橢圓解：(1)由題意可知 X |(2)由方程組聯(lián)立.x2v2 解得124 12=12 24kl1+2 ki2'山 )與橢圓回交于不同的兩點 四,岡(四,岡不是左、右頂點), 目的右頂點R .求證：直線三過定點,并求出定點的坐標.所以橢圓的方程為B所以：,：l+2k12,同理,得x22+y2224 (l+k23)l+2k/由,即,又橢圓的右頂點為,所以所

17、以：,H .24 (1+kJ) 24 (l+k23)l+2kt2l+2k22整理得解得或日均滿足此時,圓x2+y2=5與l的交點P1, P2也滿足 3時,直線二的方程為,過定點 叵,與題意矛盾,舍去;綜上,當圓的方程為直線二的方程為x2+y2=5時,圓與l的交點P1, P2滿足斜率之積k1k2為定值 區(qū).故直線二過定點,且定點的坐標為12.橢圓,經(jīng)過點區(qū)),且兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直11.橢圓目的離心率為 ®,點叵I在橢圓C上,O為坐標原點.角三角形.(1)求橢圓方程;(I )求橢圓可(n)設動直線的方程；二與橢圓可有且僅有一個公共點,是否存在圓心在坐標原點,半徑為定值的定圓

18、(2)過橢圓右頂點的兩條斜率乘積為的直線分別交橢圓于 三J兩點,試問：直線 山是否過C,定點？假設過定點,請求出此定點,假設不過,請說明理由.使得二與圓C相交于不在坐標軸上的兩點 回,回,記直線網(wǎng),國 的斜率分別為 可 為定值,假設存在,求出定圓的方程并求出三的值,假設不存在,請說明理由.回,滿足國解：(1)根據(jù)題意解：(I )由題意,得區(qū)| , a2=b2+c2 ,又由于點在橢圓C上,所以解得a=2, b=1, 回 ,所以橢圓C的方程為叵當Ld的斜率存在時,設(n)結(jié)論：存在符合條件的圓,且此圓的方程為證實如下：假設存在符合條件的圓,并設此圓的方程為x2+y2=5 .x2+y2=r2 (r&

19、gt;0).當直線l的斜率存在時,設l的方程為y=kx+m.由方程組得(4k2+1)x2+8kmx+4m2 - 4=0,由于直線l與橢圓C有且僅有所以,即 m2=4k2+1.由方程組.2Sl 三(舍).過定點(0,0),當臼斜率不存在時也符合,即直線 山恒過定點(0,0).得(k2+1) x2+2kmx+m2- r2=0 ,貝U14.橢圓的離心率為 s,以原點日為圓心,橢圓目的長半軸為半設 P1 (x1, y1), P2 (x2, y2),那么 iri徑的圓與直線相切.設直線OP1, OP2的斜率分別為 k1, k2,(1)求橢圓日標準方程；(2)點回為動直線i與橢圓回的兩個交點,問：在國軸上

20、是否存在點回,所以為定值？假設存在,試求出點國的坐標和定值,假設不存在,說明理由.要使得,將 m2=4k2+1代入上式,得k1k2為定值,那么 口,即r2=5,驗證符合題意.所以當圓的方程為 x2+y2=5時,圓與的交點P1, P2滿足k1k2為定值 區(qū).當直線l的斜率不存在時,由題意知的方程為x=±2,又以原點O為圓心,橢圓C的長軸長為半徑的圓為且與直線相切,所以所以.所以橢圓C的標準方程為代入得c=2,(2)由 X 得所以當 叵 時,三角形 臼 的面積的最小值為 百(2)設三) ,那么橢圓力在點五| 處的切線為:根據(jù)題意,假設日軸上存在定點e (m 0),又回過點三I,所以 日也

21、滿足 日使得要使上式為定值,即與 k無關,此時,所以在日軸上存在定點E (犬,0)使得15.橢圓具有如下性質(zhì)：假設橢圓的方程為處的切線方程為為定值.所以三I都在 臼即直線山的方程為目,又三j在四上,得區(qū).為定值,且定值為因.,那么橢圓在其上一點日,試運用該性質(zhì)解決以下問題：橢圓和橢圓(1)如圖 半軸交于(2)如圖(1),點W為力在第一象限中的任意一點,過 W作日的切線L L分別與0軸和日軸的正 叵兩點,求三I面積的最小值； (2),過橢圓0上任意一點包作21的兩條切線耳和句,切點分別為山, 當點在橢圓力上運動時,是否存在定圓恒 與直線臼相切？假設存在,求出圓的方程；假設 不存在,請說明理由.解

22、：(1)設 I T ,那么橢圓J在點回處的切線方程為又點 在橢圓的第一象限上,所以EI ,故原點回到直線所以直線三J始終與圓 回16.直線的距離為：相切.被圓 臼截得的弦長恰與橢圓等,橢圓回的離心率 (I )求橢圓回的方程；(H)過點目 的動直線交橢圓日于兩點,試問:國,使得無論二如何轉(zhuǎn)動,以 回 為直徑的圓恒過定點 日?假設存在,求出點 由.解：(I)由題設可求得,又日.那么的短軸長相在坐標平面上是否存在一個定點可的坐標,假設不存在,請說明理目的方程是 目(n)假設直線二與日軸重合,那么以 回 為直徑的圓為直徑的圓為只能是事實上點直徑的圓為程并整理得,假設直線二垂直于可軸,那么以舊為,由此可

23、知所求點 T如果存在,就是所求的點,證實如下：當直線1的斜率不存在,即直線1與日軸重合時,以士為;當直線二的斜率存在,設直線方程為臼 ,代入橢圓方,設點尸1的坐標為所以有綜上所述,存在兩定點A 啦,0, B 修,0,使得直線NA與NB的斜率之積為定值.18.在平角坐標系叵中,橢圓的離心率 ,且過點臼,橢圓回所以滿足條件.,即以回 為直徑的圓恒定過點,綜上可知,在坐標平面上存在一個定點的長軸的兩端點為 于四,岡兩點.區(qū),點回為橢圓上異于W ,回的動點,定直線臼與直線閆,月分別交x y17.直線 l : y=x+d,圓 O: x2 + y2 = 4,橢圓 E： J + b'=1 (a>

24、;b>0)的離心率 e =1求橢圓目的方程；2在E1軸上是否存在定點經(jīng)過以三J為直徑的圓,假設存在,求定點坐標；假設不存在,說明理由.直線(1)(2)l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等.求橢圓E的方程；動直線1 斜率存在與橢圓 E交于P, Q兩個不同點,且 OPQ的面積SA OPQ= 1,解：1為線段PQ的中點,問：在x軸上是否存在兩個定點 A, B,使得直線NA與NB的斜率之積為定值? 存在,求出A, B的坐標,假設不存在,說明理由.解：1設橢圓半焦距為 c,_JL圓心O到l的距離d = Vi-i = V3,那么l被圓O截得的弦長為2,所以b=1,設國,日由題意得 e= 2 ,b=

25、1,a2= 4, b2=1.,橢圓 E的方程為 4+1=1.(2)設 P (x1, y1), Q (x2, y2),直線 l1 的方程為：y=kx+mry=kx+n：rx.*消去 y 得(1 + 4k2) x2 + 8kmx+ 4m2- 4= 0.3 kitx1 +x2= 1 +北 , x1 x 2= l+4k：.4也d|PQ| =Ul-k* |x 1x2| =l+4k3原點O到直線l1的距離d = YJ ,那么SAOPQ=5|PQ|.2|m| 十"亡=1 +4k2,令 1+4k2=n,2|m| n=2m2, 1+4k2 = 2m2l + 4k 二=n,4kjtyi+ya=1,N為

26、PQ中點,xN= 22k=一】一4k , yN=二=一趙,. 1 + 4k2=2m2,xN= m, yN=2n.- + 2y- = 1.假設x軸上存在兩定點 A s, 0, By5(t, 0) (swt),那么直線NA的斜率k1=冷直線NB的斜率k2 = $一 k1k2=(右一Q * (抬一工)=2求一2(5 -Xy+Sl當且僅當 s+t = 0, st = 2 時,k1k2=那么 s = # , t ="也的斜率分別為0,3,知.以 三J為直徑的圓的方程為,.二橢圓目的方程為t=4,解得山 或二J存在定點 回,叵19.如圖,在平面直角坐標系國 中,習、目分別是橢圓焦點,回分別是橢圓

27、W的左、右頂點,工J為線段叵的中點,且回.1求橢圓的方程；2假設-1為橢圓勾上的動點異于點 、K,連接回并 延長交橢圓于點回,連接回、團并分別延長交橢圓于 點R ,回,連接回,設直線臼、回的斜率存在且分別為 0、習.試問是否存在常數(shù) 園,使得 求出園的值；假設不存在,說明理由.恒成立？假設存在,經(jīng)過以山為直徑的圓.的左、右解:(1) 日為線段區(qū)的中點,LxJ,從而也J ,故橢圓J的方程目 ；2存在滿足條件的常數(shù)可那么直線目的方程為12d,代入橢圓方程巨,整理得,所以點回到直線 回 的距離以 ,從而 ,故點 日(2)假設存在點R ,使得 UI為定值,設同理,點當直線回與J軸重合時,有從而當直線目與回軸垂直時,LJX,故目 ,從而存在滿足條件的常數(shù),區(qū)I由上 ,解得國國 ,所以假設存在點W,此時20.如圖,在平面直角坐標系口中,橢圓習的標準方程為叵,直線1與回軸交于點,臼 為定值2 .根據(jù)對稱性,只需考慮直線 回過點山 ,設目又設直線山的方程為 I x |,與橢圓w聯(lián)立方程組,化簡得三二J,所以 二,m ,所以將上述關系代入,