關(guān)注農(nóng)村城鎮(zhèn)化建設(shè)與發(fā)展的數(shù)學問題

1、關(guān)注農(nóng)村城鎮(zhèn)化建設(shè)與發(fā)展的數(shù)學問題湖南祁東二中 譚揚 421600湖南祁東育賢中學 周友良 4216002006年黨中央在農(nóng)村工作中以建設(shè)社會主義新農(nóng)村為工作重點，下面例析以此為背景的相關(guān)數(shù)學問題。一以農(nóng)村城鎮(zhèn)化建設(shè)為背景的數(shù)學問題例1洪橋鎮(zhèn)洪豐科技工業(yè)園有A、B、C、D四間工廠坐落在邊長為2km的正方形頂點上，為了響應(yīng)縣委四大家科技興縣、科技強縣的號召，決定優(yōu)化洪豐科技工業(yè)園投資環(huán)境，確保交通暢順，繁榮經(jīng)濟，鎮(zhèn)政府決定建立一個使得任何兩間工廠都有通道的道路網(wǎng).(1)請你設(shè)計一個道路網(wǎng)，使它的總長不超過5.5km；(2)請你設(shè)計一個總長度最短的道路網(wǎng).方法提供：這是一道策略開放題，要探索各種可

2、行的方案，然后逐一比較、取舍，逐漸逼近題目的指標.(1)若沿正方形邊界修建道路網(wǎng)，總長8km，遠遠大于指標，不合要求；若沿正方形的對角線修建道路網(wǎng)，總長為4km，向指標逼近了一步，但仍不合要求.由于正方形的對稱性，過它的中心O，作EFAB，建一條公共道路EF，設(shè)OE=OF=x(如下圖所示)，則道路網(wǎng)總長度為y=2x+4， (*)依題要求有2x+45.5，即48x2-40x+70，解得 x.由此可知，當公共道路長kmEFkm，有無數(shù)種方案滿足要求.(2)為了求函數(shù)的最小值，把(*)化為x的方程12x2+4(y-8)x+32-y2=0.xR+，=16(y-8)2-412(32-y2)0，即y2-4

3、y-80y2+25.4642，此時x=-=1-0.42265.故當公共道路長為0.8453km時，道路網(wǎng)總長最短，為5.4642km.二以招商引資，農(nóng)產(chǎn)品深加工為背景的數(shù)學問題例2某外商到一開發(fā)區(qū)投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元.（1）若扣除投資及各種經(jīng)費，則從第幾年開始獲取純利潤？（2）若干年后，外商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；純利潤總和最大時，以16萬元出售該廠，問哪種方案最合算？.解：由題意知，每年的經(jīng)費是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)純利潤與年數(shù)的關(guān)系為f(n),則

4、f(n)=50n12n+472=2n2+40n72(1)獲純利潤就是要求f(n)0,2n2+40n720，解得2n18.由nN知從第三年開始獲利.（2）年平均利潤=402(n+)16.當且僅當n=6時取等號.故此方案先獲利616+48=144（萬美元），此時n=6,f(n)=2(n10)2+128.當n=10時，f(n)|max=128.故第種方案共獲利128+16=144（萬美元）.故比較兩種方案，獲利都是144萬美元，但第種方案只需6年，而第種方案需10年，故選擇第種方案.三以創(chuàng)辦農(nóng)家樂、農(nóng)村生態(tài)旅游為背景的數(shù)學問題例3從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，四明山投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅

5、游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設(shè)對旅游業(yè)的促進作用，預(yù)計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識；考查綜合運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，本題有很強的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點和重點題型.知識依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識點.錯解分析：

6、(1)問an、bn實際上是兩個數(shù)列的前n項和，易與“通項”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差.技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800(1)萬元，第n年投入為800(1)n1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為an=800+800(1)+800(1)n1=800(1)k1=40001()n第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400(1+)，第n年旅游業(yè)收入400(1+)n1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400(1+

7、)+400(1+)k1=400()k1.=1600()n1(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bnan0，即：1600()n140001()n0，令x=()n，代入上式得：5x27x+20.解此不等式，得x，或x1(舍去).即()n，由此得n5.至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.四以農(nóng)村污水治理為背景的數(shù)學問題例4有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質(zhì)量分數(shù)，已知目前污染源以每天p克的污

8、染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分數(shù)滿足關(guān)系式g(t)= +g(0)- e(p0)，其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分數(shù).（1）當湖水污染質(zhì)量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質(zhì)量分數(shù)； （2）求證：當g(0) 時，湖泊的污染程度將越來越嚴重； （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？ 解（1）g(t)為常數(shù)， 有g(shù)(0)-=0， g(0)= .(2) 我們易證得0t1t2， 則g(t1)-g(t2)=g(0)- e-g(0)- e=g(0)- e-e=g(0)- ，g(0)0，t1e， g(t1)g(t2).故湖水污染質(zhì)

9、量分數(shù)隨時間變化而增加，污染越來越嚴重.(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)e，設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)=e，t= ln20，故需要ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.五以封山育林、防風固沙為背景的數(shù)學問題例2。. 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示：1998年1999年2000年新植畝數(shù)100014001800沙地畝數(shù)252002400022400而一旦植完，則不會被沙化.問：（1）每年沙化的畝數(shù)為多

10、少？ （2）到那一年可綠化完全部荒沙地？解：（1）由表知，每年比上一年多造林400畝. 因為1999年新植1400畝，故當年沙地應(yīng)降為畝，但當年實際沙地面積為24000畝，所以1999年沙化土地為200畝. 同理2000年沙化土地為200畝.所以每年沙化的土地面積為200畝.（2）由(1)知，每年林木的“有效面積”應(yīng)比實造面積少200畝. 設(shè)2000年及其以后各年的造林畝數(shù)分別為、，則n年造林面積總和為： . 由題意： 化簡得 , 解得： .故8年，即到2007年可綠化完全部沙地. 六以節(jié)約水資源為背景的數(shù)學問題例1. （水塔供水問題）某工廠有容量為300噸的水塔一個，每天從早上6時起到晚上1

11、0時止供應(yīng)該廠生活和生產(chǎn)用水。已知該廠生活用水為每小時10噸，工業(yè)用水量W（噸）與時間（單位：小時，定義早上6時=0）的函數(shù)關(guān)系式為，水塔的進水量有10級，第一級每小時進水10噸，以后每提高一級，每小時的進水量增加10噸，若某天水塔原有水100噸，在供水同時打開進水管。 （1）設(shè)進水量選用第級，寫出在時刻水的存有量； （2）問進水量選擇第幾級，既能保證該廠用水（水塔中水不空）又不會使水溢出。 讀懂題目：題目涉及的關(guān)鍵詞比較多：生活用水量、工業(yè)用水量、水的存有量、進水量、原有量。其數(shù)量關(guān)系為：存有量=進水量用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工業(yè)用水量。第一問的關(guān)鍵點是求“進水量選用第級”。第二問的關(guān)鍵點是“水塔中水不空不溢”轉(zhuǎn)化為“存有量”。 建立數(shù)學模型：存有量=進水量用水量+原有量，而用水量=生活用水量+工業(yè)用水量=10在選用第級的進水量時，時刻水的存有量為，要使水搭中水不空不溢，則，問題轉(zhuǎn)化為確定，使，在（）上恒成立。 求解數(shù)學模型：面對上述不等式，如何求解？是否會轉(zhuǎn)化為“對一切恒成立，”是否會作一個代換“令”