高數(shù)不定積分

1、不定積分第四章 定積分與不定積分重難點(diǎn)解析（一）.關(guān)于原函數(shù)與不定積分概念的幾點(diǎn)說明 1. 原函數(shù)與不定積分是兩個(gè)不同的概念，它們之間有著密切的聯(lián)系。對(duì)于定義在某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)f（x），若存在函數(shù)F（x），使得該區(qū)間上的每一點(diǎn)x處都有F/（x）=f（x），則稱F（x）是f（x）在該區(qū)間上的原函數(shù)。而表達(dá)式F（x）+C（C為任意常數(shù)）稱為f（x）的不定積分。2. f（x）的原來函數(shù)若存在，則原函數(shù)有無限多，但任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差某個(gè)常數(shù)。因此求f（x）的不定積分f（x）dx時(shí)，只需求出f（x）的一個(gè)原函數(shù)F（x），再加上一個(gè)任意常數(shù)C即可，即f（x）dx = F（x）+C。3. 原函

2、數(shù)F（x）與不定積分f（x）dx是個(gè)體與全體的關(guān)系，F(xiàn)（x）只是f（x）的某個(gè)原函數(shù)，而f（x）dx是f（x）的全部原函數(shù)，因此一個(gè)原函數(shù)只是加上任意常數(shù)C后，即F（x）+C才能成為f（x）的不定積分。例如x2 + 1，x2-3，x2+12都是2x的原函數(shù)，但都不是2x的不定積分，只有x2 + C才是2x的不定積分（其中C是任意常數(shù)）。4. f（x）的不定積分f（x）dx中隱含著積分常C，因此計(jì)算過程中當(dāng)不定積分號(hào)消失后一定要加上一個(gè)任意的常數(shù)C。5. 原函數(shù)存在的條件：如果函數(shù)f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，則在此區(qū)間上f（x）的原函數(shù)一定存在。由于初等函數(shù)在其定義域區(qū)間上都是連續(xù)的，所以初等函數(shù)在

3、其定義區(qū)間上都有原函數(shù)，值得注意的是，有些初等函數(shù)的原函數(shù)很難求出來，甚至不能表為初等函數(shù)，例如下列不定積分 dx  都不能“積”出來，但它們的原函數(shù)還是存在的。 （二）換元積分法的幾點(diǎn)說明換元積分法是把原來的被積表達(dá)式做適當(dāng)?shù)膿Q元，使之化為適合基本積分公式表中的某一形式，再求不定積分的方法。1.     第一換元積分法（湊微分法）：根據(jù)一階微分形式的不變性，若 dF（u）=f（u）du 則 dF（u（x）=f（u）du利用不定積分與微分的互逆關(guān)系，可以把它轉(zhuǎn)化為不定積分的換元公式：fu（x）du（x）= f（u）du （ 令u = u（x）

4、= F（u）+ C （ 求積分） = F（u（x）+ C （ 令 u = u（x） 在具體問題中，湊微分要根據(jù)被積函數(shù)的形式特點(diǎn)靈活運(yùn)用。 2.     第二換元積分法：令x=（x），常用于被積函數(shù)含 或 等形式。3. 同一個(gè)不定積分，往往可用多種換元方法求解，這時(shí)所得結(jié)果在形式可能不一致，但實(shí)質(zhì)上僅相差一常數(shù)，這可通過對(duì)積分結(jié)果進(jìn)行導(dǎo)運(yùn)算來驗(yàn)證。（三）關(guān)于積分形式不變性如果f（x）dx=F（x）+C，那么有f（u）du=F（u）+C，其中u =（x）是x的可微函數(shù)。這個(gè)道理說明：（1）.積分變量x無論是自變量，還是中間變量，積分公式的形式不變，這一特性

5、叫做積分形式不變性。 （2）.根據(jù)這個(gè)定理，基本積分公式中的x既可以看作是自變量，也可以看作是函數(shù)（可微函數(shù)），因此基本積分公式中的公式應(yīng)用范圍就擴(kuò)大了。 （四）分部積分法設(shè)u=u（x），v=v（x）是可微函數(shù)，且u/（x）v（x）或u（x）v/（x）有原函數(shù)，則有分部積分公式：u（x）v/（x）dx=u（x）v（x）-v（x）u/（x）dx或 udu = uv - vdu當(dāng)被積分函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘機(jī)形式時(shí)，如果用以前的方法都不易計(jì)算，則可考慮用分部積分法求解。顯然，用分部積分法計(jì)算不定積分時(shí)，關(guān)鍵是如何恰當(dāng)?shù)倪x擇誰做u，誰做v/。如果選擇不當(dāng)，就有可能求不出積分的結(jié)果或者計(jì)算很困難

6、，一般說來選擇u和v/的原則是：1. 根據(jù)v/容易求出v； 2. vu/dx要比u v/dx容易計(jì)算。 （五）關(guān)于定積分的定義9 由定積分的定義可以看出，定積分是一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值與被積函數(shù)f（x）及積分區(qū)間a，b有關(guān)，與區(qū)間a，b的分法和點(diǎn)的取法無關(guān)，而且與積分變量用什么字母也無關(guān)，所以有f（x）dx= f（t）dt = f（u）du函數(shù)f（x）在a，b上可積的條件與f（x）在a，b上連續(xù)或可導(dǎo)的條件相比是最弱的條件，即f（x）在a，b上有以下關(guān)系： 可導(dǎo) 連續(xù) 可積反之都不一定成立 （六）有關(guān)定積分的性質(zhì) 在定積分的性質(zhì)中，除了類似于不定積分的線性性質(zhì)以外，還要記住下列基本公式：

7、 f（x）dx = - f（x）dx  f（x）dx=0 1dx = b- a 定積分關(guān)于積分的區(qū)間的 可加性是一個(gè)很重要并且在計(jì)算定積分時(shí)常用的性質(zhì)，即， f（x）dx + f（x）dx = f（x）dx  （七）關(guān)于牛頓- 萊布尼茨公式  牛頓-萊布尼茨公式不僅在定積分這部分內(nèi)容中，而且在整個(gè)微積分學(xué)中都是一個(gè)重要的結(jié)論，主要表現(xiàn)在以下方面：1. 當(dāng)被積函數(shù)連續(xù)時(shí)定積分的計(jì)算可通過求原函數(shù)來進(jìn)行：若F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則 f（x）dx =F（b）- F（a） 因此這個(gè)公式揭示了定積分與不定積分的本質(zhì)聯(lián)系。這種本質(zhì)的聯(lián)系還可以由下

8、列兩個(gè)公式來闡明：  f（x）dx = f（x） f（t）dt = f（x） （八） 換元積分法的運(yùn)用  定積分的換元法與不定積分的換元法類似，差別在于：在定積分的換元積分法中，每進(jìn)行一次變量替換，同時(shí)要將定積分的上下限做相應(yīng)的改變，而在關(guān)于新的積分變量的原函數(shù)求出后，不要將新的變量解換成舊積分變量。 （九） 定積分的應(yīng)用 定積分的幾何應(yīng)用：記住面積、弧長(zhǎng)和旋轉(zhuǎn)體積的計(jì)算公式。對(duì)于面積的問題，選擇合適的積分變量，有時(shí)可簡(jiǎn)化計(jì)算；對(duì)于弧長(zhǎng)問題，要先計(jì)算 ；對(duì) 于旋轉(zhuǎn)體積問題，要分清是繞軸OX還是繞OY軸旋轉(zhuǎn)。 （十）關(guān)于廣義的

9、積分 廣義積分是定積分的推廣，以無窮積分為例，我們知道  f（x）dx = f（x）dx 要記住 的收斂性。  在計(jì)算收斂的廣義積分時(shí)也有類似于牛頓-萊布尼茨公式的計(jì)算式，即若F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，則  f（x）dx = F（x） = F（+）- F（a） 其中F（+）表示極限 F（b），如果此極限存在，則廣義積分收斂，且即可由此求出其值，如果此極限不存在，則廣義積分發(fā)散。在求廣義積分的值時(shí)，也有與定積分類似的換元積分法和分部積分法。三角函數(shù)求導(dǎo)公式  (sinx)' = cosx(cosx)' = - si

10、nx(tanx)'=1/(cosx)2=(secx)2=1+(tanx)2-(cotx)'=1/(sinx)2=(cscx)2=1+(cotx)2(secx)'=tanx·secx(cscx)'=-cotx·cscx(arcsinx)'=1/(1-x2)1/2(arccosx)'=-1/(1-x2)1/2(arctanx)'=1/(1+x2)(arccotx)'=-1/(1+x2)(arcsecx)'=1/(|x|(x2-1)1/2)(arccscx)'=-1/(|x|(x2-1)1/2)(si

11、nhx)'=coshx(coshx)'=sinhx(tanhx)'=1/(coshx)2=(sechx)2(coth)'=-1/(sinhx)2=-(cschx)2(sechx)'=-tanhx·sechx(cschx)'=-cothx·cschx(arsinhx)'=1/(x2+1)1/2(arcoshx)'=1/(x2-1)1/2(artanhx)'=1/(x2-1) (|x|<1)(arcothx)'=1/(x2-1) (|x|>1)(arsechx)'=1/(x(1-

12、x2)1/2)(arcschx)'=1/(x(1+x2)1/2) 21、兩角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB   sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB   cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB  tan(A+B) =tanAtanB-1tanBtan

13、A+    tan(A-B) =tanAtanB1tanBtanA+- cot(A+B) =cotAcotB1-cotAcotB+    cot(A-B) =cotAcotB1cotAcotB-+ 2、倍角公式 tan2A =Atan12tanA2-    Sin2A=2SinACosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 3、

14、半角公式 sin(2A)=2cos1A-   cos(2A)=2cos1A+ tan(2A)=AAcos1cos1+-   cot(2A)=AAcos1cos1-+   tan(2A)=AAsincos1-=AAcos1sin+ 4、誘導(dǎo)公式  sin(-a) = -sina    cos(-a) = cosa sin(2p-a) = cosa&#

15、160;   cos(2p-a) = sina    sin(2p+a) = cosa  cos(2p+a) = -sina sin(-a) = sina   cos(-a) = -cosa   sin(+a) = -sina   cos(+a) = -cosa tgA=tanA =aacossin 5、萬能公式 sina=2)2(tan12tan2aa+    cosa=22)2(tan1)2(tan1aa+-    tana=2)2(tan12tan2aa- 6、其他非重點(diǎn)三角函數(shù) csc(a)