話說(shuō)高考解幾求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的消參法的

1、話說(shuō)高考解幾求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的消參法的“消”中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師梁關(guān)化 2015，4，5 高考的解幾大題，常常是求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。較難的題往往要用消參法求解。消參法的主要步驟是：設(shè)；列；消。設(shè)，就是把引起動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或相關(guān)線的方程的參數(shù)設(shè)為參數(shù)。列，就是根據(jù)明的（題目已知條件）和暗的（已知條件隱含的條件）條件，把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)和參數(shù)滿足的方程列出（一般n個(gè)參數(shù)需要(n+1)個(gè)方程式方能消去）。消，就是從列出的(n+1)個(gè)方程式中消去n個(gè)參數(shù)，保留只含有動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)x,y的等式。 如何消去參數(shù)？這就要具體問(wèn)題具體分析。常用方法的有：代入法，加減法，平方后加減法，變形后乘除法等。下面就2015年廣州

2、市和深圳市一模的兩題解法話說(shuō)消參法中的奇妙的“消”例1（2015年廣州一模，略去（3）小題） 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn),的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且，三點(diǎn)不共線. (1) 求橢圓的方程；(2) 求點(diǎn)的軌跡方程；略解：（1）用待定法得 橢圓的方程為 . （2）（用消參法）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)當(dāng)時(shí)，有， 當(dāng)，則點(diǎn)或,此時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為或 ，其坐標(biāo)也滿足方程. 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即點(diǎn)，由得 ，解方程組 得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.同理, 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.點(diǎn)的軌跡方程為 , 除去四個(gè)點(diǎn), ,. （這里用的就是變形后乘除法。如果不把（

3、1）（2）式變形后相乘就很難利用（3）消去參數(shù)）例2（2015年深圳一模）已知橢圓的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)傾斜角為的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為（1）求橢圓的方程；（2）若動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線垂足為，求點(diǎn)的軌跡方程略解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得， 故橢圓的方程可設(shè)為，則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 過(guò)右焦點(diǎn)傾斜角為的直線方程為 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)記為，由消去，得，解得， 因?yàn)?，解?故橢圓的方程為 （2）（用消參法）（i）當(dāng)切線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)的方程為，（k,m為參數(shù)）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得， 消去并整理，得， 因?yàn)橹本€和橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)， 化簡(jiǎn)并整理，得 （1）因?yàn)橹本€與垂直，所以直線的方程為：，聯(lián)立 解得 把（2），（3）兩式兩邊分別平方相加得，把（1）式代入上式得 （4） （ii）當(dāng)切線的斜率為時(shí)，此時(shí)，符合（4）式 （iii）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí) 或，符合（4）式 綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為 （這里用到平方后加減法。如果不把（2）（3）式平方后相加就很難利用（1）消去參數(shù)。）由上面兩例解法我們體會(huì)到消參法的“消”真奇妙，這印證了一句名言：具體問(wèn)題具