傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換之間最本質(zhì)的區(qū)別Word版

1、傅立葉變換就是將任一個(gè)函數(shù)展開成一系列正弦函數(shù)的形式，從而能夠在頻域進(jìn)行頻譜分析。而拉 普拉斯變換是復(fù)頻域，它的的引進(jìn)主要是對微分方程起到了簡便的變換作用，試想2階的微分方程就夠麻煩的了，高階就別指望手動(dòng)解了，數(shù)學(xué)系的牛人別見怪。所 以拉式變換就將時(shí)域的微分方程變換成代數(shù)方程。而到了離散系統(tǒng)中，又出現(xiàn)了差分方程，因此人們就想既然連續(xù)系統(tǒng)中有拉式變換，那么是不是離散系統(tǒng)中也會(huì)有 一個(gè)方法能夠起到相同的簡化作用呢？于是Z變化就提了出來。傅立葉變換：時(shí)域變到實(shí)頻域，主要是想得到頻率信息，而且只能得到頻域信息。主要用于信號處 理。拉普拉斯變換：復(fù)頻域，處理微分方程是一把好手，古典控制就是一個(gè)典型的應(yīng)用

2、。z變換：現(xiàn)代控制理論的東西，相當(dāng)于把微分方程離散化了。第四章 Z變換1 Z變換的定 義(1) 序列 的ZT：   (2) 復(fù)變函數(shù) 的IZT： ， 是復(fù)變量。(3) 稱 與 為一對Z變換對。簡記為 或      (4) 序列的ZT是 的冪級數(shù)。 代表了時(shí)延， 是單位時(shí)延。(5) 單邊ZT：(6) 雙邊ZT：2 ZT收斂域 ROC定義：使給定序列 的Z變換 中的求和級數(shù)收斂的z的集合。收斂的充要條件是它(3) 有限長序列的ROC序列 在 或 (其中 )時(shí) 。收斂域至少是 。序列的左右端點(diǎn)只會(huì)影響其在0和

3、處的收斂情況：當(dāng) 時(shí)，收斂域?yàn)?( 除外)當(dāng) 時(shí)，收斂域?yàn)?( 除外)當(dāng) 時(shí)，收斂域?yàn)?( 除外)右邊序列的ROC序列 在 時(shí) 。如果 ，則序列為因果序列。ROC的情況：當(dāng) 時(shí)，ROC為 ；當(dāng) 時(shí)，ROC為 。左邊序列的ROC序列 在 時(shí) 。如果 ，則序列為反因果序列。ROC的情況：當(dāng) 時(shí)，ROC為 ；當(dāng) 時(shí)，ROC為 。雙邊序列的ROC序列在整個(gè)區(qū)間都有定義。雙邊序列可以看成是左邊序列和右邊序列的組合，于是如果 存在且 ，則雙邊序列的ROC為 ，否則，ROC為空集，即雙邊序列不存在ZT。注意：求得的是級數(shù)收斂的充分而非必要條件，實(shí)際收斂域可能會(huì)更大；實(shí)際的離散信號通常都是因果序列，此時(shí)單邊Z

4、T與雙邊ZT是一致的，收斂域也相同，都是z平 面上的某個(gè)圓外面的區(qū)域。關(guān)于極點(diǎn)與ROC關(guān)系的一些結(jié)論：一般地講，序列的ZT在其ROC內(nèi)是解析的，因此ROC內(nèi)不應(yīng)包含任何極點(diǎn)，且ROC是連通 的。序列ZT的ROC是以極點(diǎn)為邊界的。右邊序列ZT的ROC，是以其模最大的有限極點(diǎn)的模為半徑的圓外面的區(qū)域(不包括圓周)。左邊序列ZT的ROC，是以其模最小的非零極點(diǎn)的模為半徑的圓內(nèi)部的區(qū)域(不包括圓周)。雙邊序列ZT的ROC，是以模的大小相鄰近的兩個(gè)極點(diǎn)的模為半徑的兩個(gè)圓所形成的圓環(huán)區(qū)域 (不包括兩個(gè)圓周)。3 常用序列及 其ZT單位沖激序列d(n)定義：ZT：ROC：注意：單位沖激序列不是單位沖激函數(shù)的

5、簡單離散抽樣。單位階躍序列u(n)定義：ZT：序列的單邊ZT用雙邊ZT表示為：序列是因果序列的充要條件是：序列是反因果序列的充要條件是：矩形脈沖序列GN(n)定義：ZT： ( )注意：矩形脈沖序列亦非單位矩形脈沖信號的簡單離散抽樣，它們之間還存在一個(gè)時(shí)移關(guān)系。單位斜變序列nu(n)單邊指數(shù)序列anu(n)4 ZT的性質(zhì)(1) 線性性： ( )(2) 時(shí)域平移性：(i) 雙邊ZT：                  &

6、#160;  (a) 左移：    ( )(b) 右移： ( )(c) 序列時(shí)移最多只會(huì)使ZT在 處的零、極點(diǎn)情況發(fā)生變化。              (ii) 單邊ZT：左移：右移： ( )       對因果序列：(3) 時(shí)域擴(kuò)展性：定義： ，a 是擴(kuò)展因子。a>1 時(shí)，相當(dāng)于在原序列每兩點(diǎn)之間插入(a-1) 個(gè)零。a<-1時(shí)，相當(dāng)于原序列先反褶，然后每兩點(diǎn)之間

7、插入(-a-1) 個(gè)零。ROC： 或如序列是偶對稱的，則如序列是奇對稱的，則如果一個(gè)偶對稱或奇對稱序列的ZT含有一個(gè)非零的零點(diǎn)(或極點(diǎn)) ，那么它必含有另外一個(gè)與互為倒數(shù)的零點(diǎn)(或極點(diǎn)) 。(4) 時(shí)域共軛性：(i)      ( )(ii) 如果序列是實(shí)序列，則(iii) 如果實(shí)序列的ZT含有一個(gè)零點(diǎn)(或極點(diǎn)) ，那么它必含有另外一個(gè)與之共軛對稱的零點(diǎn)(或極點(diǎn)) 。(5) z域 尺度變換(或序列指數(shù)加權(quán))性：用復(fù)指數(shù)序列 去調(diào)制一個(gè)序列時(shí)，可以調(diào)制其相位特性。       (6) z域 微分(

8、或序列線性加權(quán))性：              (i)       ( )              (ii) ROC唯一可能的變化是加上或去掉0或 。           

9、60;  (iii)    ( )初值定理： 是因果序列， ，則 。終值定理： 是因果序列， ，則只有在 存在時(shí)才能用, 此時(shí) 的極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)(如果位于單位圓上則只能位于 ，且是一階極點(diǎn))。逆Z變換的求解部分分式展開法： 基本思路：把 展開成常見部分分式之和，然后分別求各部分的逆變換，最后把各逆變換相加即可得到 。通常做法展開的對象是 ，而不是 。冪級數(shù)展開法： 把 按 展成冪級數(shù)，那么其系數(shù)組成的序列 即為所求。這種方法有時(shí)給不出一個(gè)閉式表達(dá)式。6 離散時(shí)間系 統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)及其分類：定義：離散時(shí)間系統(tǒng)就是輸入輸出都是序列的系統(tǒng)。輸入 通常稱為激勵(lì)，輸出

10、稱為響應(yīng)。輸入輸出的對應(yīng)關(guān)系可簡記為系統(tǒng)的響應(yīng)可以分為零狀態(tài)響應(yīng)(系統(tǒng)處于零狀態(tài)時(shí)對應(yīng)的響應(yīng))和零輸入響應(yīng)(沒有激勵(lì)時(shí)系統(tǒng) 的響應(yīng))。線性離散時(shí)間系統(tǒng)：對任意一組常數(shù) ( )，滿足條件                                   

11、60;            的系統(tǒng)。否則就是非線性系統(tǒng)。時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)：在同樣起始狀態(tài)下，系統(tǒng)響應(yīng)特性與激勵(lì)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)。即： 。否則就是時(shí)變系統(tǒng)。       (2) LTI離 散時(shí)間系統(tǒng)的表示方法：一般用差分方程來描述。有三種基本的內(nèi)部數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系：單位延時(shí)、乘系數(shù)和相加。差分方程的一般形式是：       (3) 離散時(shí)間系統(tǒng) 響應(yīng)的ZT法求解的基

12、本步驟：求出激勵(lì)的ZT；對表示離散系統(tǒng)的差分方程兩邊施加ZT；把激勵(lì)的ZT代入，求出響應(yīng)的ZT；求IZT，即可得到系統(tǒng)的響應(yīng)。離散時(shí)間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義1：定義 為離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。它表示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與因果序列激勵(lì)的ZT之比值。定義2：定義離散系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為系統(tǒng)對單位沖激序列 的零狀態(tài)響應(yīng)，并記作為 ，即定義3：離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為為系統(tǒng)對單位階躍序列u(n) 的零狀態(tài)響應(yīng)。第五章 離散傅里葉變換1 離散傅里葉 變換(DFT)的推導(dǎo)(1)      時(shí)域抽樣：目的：解決信號的離散化問題。效果：連續(xù)信號離散化使得信號的頻

13、譜被周期延拓。(2)      時(shí)域截?cái)啵涸颍汗こ躺蠠o法處理時(shí)間無限信號。方法：通過窗函數(shù)(一般用矩形窗)對信號進(jìn)行逐段截取。結(jié)果：時(shí)域乘以矩形脈沖信號，頻域相當(dāng)于和抽樣函數(shù)卷積。(3)      時(shí)域周期延拓：目的：要使頻率離散，就要使時(shí)域變成周期信號。方法：周期延拓中的搬移通過與 的卷積來實(shí)現(xiàn)。表示：延拓后的波形在數(shù)學(xué)上可表示為原始波形與沖激串序列的卷積。結(jié)果：周期延拓后的周期函數(shù)具有離散譜。(4)      經(jīng)抽樣、截?cái)嗪脱油睾?，信號時(shí)域

14、和頻域都是離散、周期的。過程見圖1。圖1 DFT推導(dǎo)過程示意圖(5)      處理后信號的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換：(i)                  是離散函數(shù)，僅在離散頻率點(diǎn) 處存在沖激，強(qiáng)度為 ，其余各點(diǎn)為0。(ii)             

15、;    是周期函數(shù)，周期為 ，每個(gè)周期內(nèi)有 個(gè)不同的幅值。(iii)               時(shí)域的離散時(shí)間間隔(或周期)與頻域的周期(或離散間隔)互為倒數(shù)。2 DFT及 IDFT的定義(1)     DFT定義：設(shè) 是連續(xù)函數(shù) 的 個(gè)抽樣值 ，這N個(gè) 點(diǎn)的寬度為N的DFT為：(2)     IDFT定義：設(shè) 是連續(xù)頻率函數(shù) 的 個(gè)抽樣值 ，

16、 這N個(gè) 點(diǎn)的寬度為N的IDFT為：(3)     稱為N點(diǎn)DFT的變換核函數(shù)， 稱為N點(diǎn) IDFT的變換核函數(shù)。它們互為共軛。(4)     同樣的信號，寬度不同的DFT會(huì)有不同的結(jié)果。DFT正逆變換的對應(yīng)關(guān)系是唯一的，或者說它們是互逆的。(5)     引入(i)      用途：(a)      正逆變換的核函數(shù)分別可以表示為 和 。(b)  

17、0;  核函數(shù)的正交性可以表示為：         (c)      DFT可以表示為：(d)     IDFT可以表示為：(ii)    性質(zhì)：周期性和對稱性：(a)      (b)     (c)      (d)

18、     (e)      (f)      3 離散譜的性 質(zhì)(1)      離散譜定義：稱 為離散序列 的DFT離散譜，簡稱離散譜。(2)      性質(zhì)：(i)      周期性：序列的N點(diǎn)的DFT離散譜是周期為N的 序列。(ii)    共

19、扼對稱性：如果 為實(shí)序列，則其N點(diǎn)的DFT關(guān)于原 點(diǎn)和N/2都具有共軛對稱性。即 ； ；(iii)   幅度對稱性：如果 為實(shí)序列，則其N點(diǎn)的DFT關(guān)于原 點(diǎn)和N/2都具有幅度對稱性。即 ； ；(3)      改寫：(i) 簡記 為(ii)簡記 為(iii)       DFT對簡記為： 或(iv)      (v)4 DFT總結(jié)(1)      DFT的

20、定義是針對任意的離散序列 中的有限個(gè)離散抽樣 的，它并不要求該序列具有周期性。(2)      由DFT求出的離散譜 是離散的周期函數(shù)，周期為 、離散間隔為 。離散譜關(guān)于變元k的周期為N。(3)      如果稱離散譜經(jīng)過IDFT所得到的序列為重建信號， ，則重建信號是離散的周期函數(shù)，周期為 (對應(yīng)離散譜的離散間隔的倒數(shù))、離散間隔為 (對應(yīng)離散譜周期的倒數(shù))。(4)      經(jīng)IDFT重建信號的基頻就是頻域的離散間隔，或時(shí)域周期的倒數(shù)，為 。

21、(5)      實(shí)序列的離散譜關(guān)于原點(diǎn)和 (如果N是偶數(shù))是共軛 對稱和幅度對稱的。因此，真正有用的頻譜信息可以從0 范圍獲得，從低頻到高頻。(6)      在時(shí)域和頻域 范圍內(nèi)的N點(diǎn)分別是各自的主值區(qū)間或 主值周期。5 DFT性質(zhì)(1)      線性性： 對任意常數(shù) ( )，有(2)      奇偶虛實(shí)性：(i)     DFT的反褶、平移：先把有限

22、長序列周期延拓，再作相應(yīng)反褶或平移，最后取主值區(qū)間的序列作為最終結(jié)果。(ii)   DFT有如下的奇偶虛實(shí)特性：                            奇 奇；偶 偶；實(shí)偶 實(shí)偶；實(shí)奇 虛奇；